1、 习题五 Z 变换数字信号处理精品课1习题五 Z 变换1 求以下序列的 z 变换，并画出零极点图和收敛域。分析：Z 变换定义 ，nnzxzXx)()(n 的取值是 的有值范围。Z 变换的收敛域)(是满足 Mznx的 z 值范围。解：(1) 由 Z 变换的定义可知： nnzazX)( nnzaz01n01)(1)1)(22azazz)(21)(2nux)1(2)(3nunx ,4为 常 数 ）00(,si51,)co()(6 rArxn|a习题五 Z 变换数字信号处理精品课2zaza,0 1, 1 , 零 点 为 ：极 点 为 ： 即 ：且收 敛 域 ：解：(2) 由 z 变换的定义可知： nn
2、nzuX)(21)(0)(nn12z2 zz即 ：收 敛 域 ：0 21 z零 点 为 ：极 点 为 ：解:（3 ） nnnzuzX)1()2)( 1)2(nz1nzz2z21 z即 ：收 敛 域 ：0 z零 点 为 ：极 点 为 ：)(21)(unxn)()(nunx习题五 Z 变换数字信号处理精品课3解： (4) 1)(nzzX，11)()(nnzdz 21)(zzn|。的 收 敛 域 为故 的 收 敛 域 相 同 ，的 收 敛 域 和因 为 1|)()(ll()(zzXdXz ,0零 点 为 ：极 点 为 ：解：(5) 设 )(sin)(0uy则有 1|cos21in20zzzyzYnn
3、 ，而 )()(x zYdzX 1|,)cos21(in202zz因此，收敛域为 ： zzejj ,0,1, 0零 点 为 ： （ 极 点 为 二 阶 ）极 点 为 ： 解：(6) )(,1)4(x为 常 数 ）0i5x1)(cos()(6rnuArnxn习题五 Z 变换数字信号处理精品课41 ,cos21)( cos2insincss)( )()(o(c ii)(s) 201 201000 zzz zzzzY uunny设 。：的 收 敛 域 为则 而的 收 敛 域 为则 | )( cos21)()() )( 201rzzXzrArYnyAxz 2 . 假如 的 z 变换代数表示式是下式，问
4、 可能有多少nx )(X不同的收敛域。)83451)() 222zzzX分析： ）要 单 独 讨 论，（环 状、圆 外、圆 内：有 三 种 收 敛 域 ：双 边 序 列 的 收 敛 域 为 ：特 殊 情 况 有 ：左 边 序 列 的 收 敛 域 为 ：因 果 序 列 的 收 敛 域 为 ：右 边 序 列 的 收 敛 域 为 ：特 殊 情 况 有 ：有 限 长 序 列 的 收 敛 域 为 0 , 0 , ,0 , 21212zRnzzRnxxxx解 : 对 X(Z)的分子和分母进行因式分解得)431)(2)(1( 1ZjjZX(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 ,
5、-3/4)(1)(4(2) 12ZZX习题五 Z 变换数字信号处理精品课5 X(Z)的收敛域为 : (1) 1/2 (2) | Z | (3) | Z | 3/4 ， 为右边序列， 请看 aazXzzXzz1 ,1)(3 41 ,412)( 2 ,421)( ,.3 反 变 换的部 分 分 式 法 求 以 下留 数 定 理用 长 除 法分析：长除法：对右边序列（包括因果序列） H（z）的分子、分母都要按z 的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列） H（z）的分子、分母都要按 z 的升幂排列。部分分式法：若 X（ z）用 z 的正幂表示，则按 X(z)/z 写成部分分式，然后求各极点的留数，最后
6、利用已知变换关系求 z 反变换可得x（ n） 。留数定理法： 。号 （ 负 号 ）”数 时 要 取 “用 围 线 外 极 点 留，号 （ 负 号 ）必 取用 围 线 内 极 点 留 数 时 不）（ 。现 的 错 误 这 是 常 出，相 抵 消）（来 和不 能 用，消 的 形 式 才 能 相 抵的 表 达 式 中 也 要 化 成因 而注 意 留 数 表 示 是）（ 2 )1/( )/(1 ) ()( Re1 1 kk kn knnzzzX zXzXs（1） （i）长除法： 1214)(zzX,2/|,/1而 收 敛 域 为 ：极 点 为按 降 幂 排 列 分 母 要为 因 果 序 列 ， 所 以
7、 分 子因 而 知 )(nx2142z习题五 Z 变换数字信号处理精品课6112z214z021 42)(nnzzX所以： )(21)(uxn（1）(ii)留数定理法：, 设 c 为cndzjn12)(内的逆时针方向闭合曲线：2z当 时，0n在 c 内有nzz211一个单极点2则 0 ,21Re)( nzsnxn，是 因 果 序 列由 于 )(nx0 0 时 ，故)(21)( nunx所 以（1）(iii)部分分式法：习题五 Z 变换数字信号处理精品课721142)( zzX因为 所以 )(21)(nunx（2）(i). 长除法：,41,4zz而 收 敛 域 为由 于 极 点 为因而 是左边序
8、列,所以要按 的)(nx升幂排列：218zz241287z321z12478 8)(nnzzzX所以 )1()()( ux（2）(ii)留数定理法:内的逆时针方向闭合曲线41 )( 1)(1，为设 zcdzXjnxcn时 ：当 0 习题五 Z 变换数字信号处理精品课8在 c 外有一个单极点 1)(nzX41z)0( ,)4(7 Re1nzXsxzn时 ：当 0 n在 c 内有一个单极点1)(zXz 0,8)(Re01nzXsxzn，内 无 极 点在时 ：当 0 cn,)(x则 ：综上所述，有： )1()47(8)nun(2)(iii). 部分分式法：478)(2zzX则 1417)因为 则 是
9、左边序列z)(nx所以 )1(78)(u(3)(i). 长除法：因为极点为 ，由 可知, 为az1z)(nx因果序列, 因而要按 的降幂排列:221)()(zazaz1习题五 Z 变换数字信号处理精品课91)()1(zaa221)()(zaza则 1)()(nnzaazX所以 )1()()1)( uaanxn(3)(ii). 留数定理法: azdzXjnxcn c )(21)(1为， 设内的逆时针方向闭合曲线。习题五 Z 变换数字信号处理精品课10)1()1()1)( 0 )(1 )(Re)(Re)0(, c)( )0,1( )(Re)( 1 0 0111 nuanaxxaazXszXsxzznnazaXsnxzcz nnnn所 以。此 时 是 因 果 序 列 ，时 ： 由 于当 两 个 单 极 点 内 有在时 ：当 一 个 单 极 点内 有在时 ：当(3)(iii). 部分分式法：zzzX1)1()2则 1)aa所以 )()()() nunanx)1()1()1a4. 有一右边序列 ，其 变换为)(nxz )1(2()zzX
