1、特征根求解通项公式第 1 页 共 5 页特征方程法求解递推关系中的数列通项考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列 的项满足 ，其中 求这个数列的通项公式.na1nabcd,10c采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进,dcx行阐述.定理 1.设上述递推关系式的特征方程的根为 ，则当 时， 为常数列，即0x10an，其中 是以 为公比的等比数列，即0101,; xbaxann 时当 nbc.0,bc证明：
2、因为 由特征方程得 作换元,.10cdx,0xan则 .)(01 nnn cbadcax当 时， ，数列 是以 为公比的等比数列，故0axbnb ;1n当 时， ， 为 0 数列，故 （证毕）1 .N,1n下面列举两例，说明定理 1 的应用.例 1已知数列 满足： 求na ,4,231aann .n解：作方程 .,230xx则当 时， 数列 是以 为公比的等比数列.于是41a1101bnb3.N,)1(223,)(2)( nabnnn例 2已知数列 满足递推关系： 其中 为虚数单位.n1iann i当 取何值时，数列 是常数数列？1a解：作方程 则,)32(ix.5360i要使 为常数，即则必
3、须n1xa现在考虑一个分式递推问题（*）.例 3已知数列 满足性质：对于 且 求 的通项公式.n ,324,N1nna,1na将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.特征根求解通项公式第 2 页 共 5 页定理 2.如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中na1aNnhraqpnn1p、 q、 r、 h 均为常数，且 ） ，那么，可作特征方程 .rhrqph1,0 x（1）当特征方程有两个相同的根 （称作特征根）时，若 则,a;N,n若 ，则 其中 特别地，当存在1 ,1bn .N,)1(1nrpnabn 使 时，无穷数列 不存在.,0n0n n（2）当特征方程有两个相
4、异的根 、 （称作特征根）时，则 ， 其中12 12nca,N).(,N,)( 211221anrpacn 其 中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换 ,dn则 hraqpnn1rpan)( hdrqpn)(hdn)(2 是特征方程的根， .0)(2qphrhrqp将该式代入式得 .N,)(1ndnn将 代入特征方程可整理得 这与已知条件 矛盾.故特征方程的根rpx,qrphqrph于是 ,.0r当 ，即 = 时，由式得 故01d1da ,N,0nb.N,ndan当 即 时，由、两式可得 此时可对式作如下变化：.d.)(1 rprphrdnn 特征根求解通项公式第 3 页 共 5 页由 是方
5、程 的两个相同的根可以求得hrxqp .2rhp ,12prph将此式代入式得 .N,1nrpdn令 则 故数列 是以 为公差的等差数列.N,ndbn .,1bn nbrp .,)(1rpn其中 .11adb当 时，0,Nn .N,1nbdn当存在 使 时， 无意义.故此时，无穷数列 是不存在的.,00nb000nna na再证明定理的第（2）部分如下：特征方程有两个相异的根 、 ，其中必有一个特征根不等于 ，不妨令 于是12 1.12可作变换 .N,21nacn故 ，将 代入再整理得21n hraqpnn1N,)(2211 qrpacn由第（1）部分的证明过程知 不是特征方程的根，故rpx
6、.,21rp故 所以由式可得：.0,21rrN,21211 nrphqarpcnn特征方程 有两个相异根 、 方程 有两个相异根 、x120)(2qphxr 1特征根求解通项公式第 4 页 共 5 页，而方程 与方程 又是同解方程.2xrphq0)(2qphx 221,rphq将上两式代入式得 N,2121211 ncrparcnn 当 即 时，数列 是等比数列，公比为 .此时对于 都有,011n rp21Nn.)()( 122121 nnn rparpc当 即 时，上式也成立.011由 且 可知2nac2.N,1nc所以 (证毕).,1n注:当 时, 会退化为常数;当 时, 可化归为较易解的
7、递推关系,qrphhan0rhraqpnn1在此不再赘述.现在求解前述例 3 的分类递推问题 .）（ 解:依定理作特征方程 变形得 其根为 故特征方程有,324x,042x.2,1两个相异的根，使用定理 2 的第（2）部分，则有 .N,)1()( 11221 nrpacnn .N,)51nn .,1)5(212ncann即 .N,)5(24nn特征根求解通项公式第 5 页 共 5 页例 4已知数列 满足：对于 都有na,Nn.3251nna（1）若 求 （2）若 求 （3）若 求 （4）当 取哪些值时，无穷,51;n,1;na,61;n1a数列 不存在？na解：作特征方程 .35x变形得 ,0
8、212x特征方程有两个相同的特征根 依定理 2 的第（1）部分解答.（1） 对于 都有.,511a,Nn;5na（2） 3 rpnabn)1(1 513)(531n,812n令 ，得 .故数列 从第 5 项开始都不存在，0n5na当 4， 时， .N71bn（3） ,561a.1a .,8)(1 Nnrpnbn 令 则 对于,0n.7.0b,n .,743581nban（4）显然当 时，数列从第 2 项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，31时，数列 是存在的，当 时，则有51ana5a令 则得 且 2.N,8)1(11 nrpbn ,0nbN,1351na当 （其中 且 N2）时，数列 从第 项开始便不存在.35ann于是知：当 在集合 或 且 2上取值时，无穷数列 都不存在。1,:135 na
