1、第10章 振动与波10-13 一简谐振动的运动方程为，求圆频率 、频率 、周期T、振幅A 和初相位 。分析：可采用比较法求解。将题给运动方程与简谐运动方程的一般式作比较，即可求得各量。)cos(tAx解：将 与 比较，可得0.2cos(8)4xt)cos(tAx， ，mrad/，sT1814zHT10-14 一边长为a的正方形木块浮于静水中，其浸入水中部分的高度为a/2，用手轻轻地把木块下压，使之浸入水中的部分高度为a，然后放手，试证明，如不计水的粘滞阻力，木块将作简谐振动，并求其振动的周期和频率。分 析 ： 要 证 明 木 块 作 简 谐 运 动 ， 需 要 分 析 木 块 在 平 衡 位
2、置 附 近 上 下 运 动 时 ， 它 所 受的 合 外 力 F与 位 移 x间 的 关 系 ， 如 果 满 足 ， 则 木 块 作 简 谐 运 动 。 通 过 即FkxFkx可 求 得 振 动 周 期 和 频 率 。mT2mkT21证 ： 木 块 处 于 平 衡 状 态 时 ， 。 当 木 块 上 下 作 微 小 振0agg浮 力动 时 ， 取 木 块 处 于 力 平 衡 时 的 质 心 位 置 为 坐 标 原 点 O， 竖 直 向 下 为 x轴 正 向 。 则 当 木块 向 下 偏 移 x位 移 时 ， 则 木 块 所 受 合 外 力 为 22()adxFmgxmtt233211dgat式
3、 中 令 是 一 常 数 。22ga可 得 木 块 运 动 的 微 分 方 程 为20dxt这 表 明 木 块 在 其 平 衡 位 置 上 下 所 作 的 微 小 振 动 是 简 谐 运 动 。由 于 （ ） ， 可 得 其 振 动 周 期 和 频 率 分 别 为22gam31a，gaT2agT2110-15 已知简谐振动图线如图所示，求谐振动方程及速度表达式。解 由振动图线知： mA0.当 时， ；当 时， 。0tx1st0x将 ， 代入 ，得：.co()xt，即cos2.1.，则5.032又 时， ，由图知 ，要求0tsinuA0usin所以： 32将 , 代入 ，得 st0xcos()A
4、t)32cos(02.即： ， 则)32co(23又因 ，则sin0usin()0故： ，所以：232/12rad谐振动方程为： )(3cos(0.mtx速度表达式为： .5in/12us10-16 简谐振动的角频率为 ，开始时在位移为7.5cm，速度为0.75m/s，速度rad/方向与位移(1) 一致；(2) 相反。分别求这两种情况下的振动方程。分析 在 角频率 已 知 的 条 件 下 ， 确 定 振 幅 A和 初 相 是 求 解 简 谐 运 动 方 程 的 关键 。解 由题意知， 。当 时， ， cm/s。10rads0tcmx5.707u振 幅 ： 2220()(.)1.6()0uAxc
5、初 相 ： 075arctn()arctn()1.4ux(1) 速度方向与位移一致时 0sin0uA得到初 相 ： 4振动方程为： )(41cos(6.0cmtx(2) 速度方向与位移相反时： 0sin0uA得到初 相 ： 4振动方程为： )(41cos(6.cmtx10-17 一质量 的小球作简谐振动，速度的最大值 ，振幅m02kgmax0.3/suA=0.020m，当 时， =0.030m/s。试求：tu（1） 振动的周期；（2） 谐振动方程；（3）t=0.5s时，物体受力的大小和方向。解：(1)根据速度的最大值公式 ，得maxuA0.31.5()2rads则周期： )(2.4512sT（
6、2）由 03in0.3situA时 ，故 sin2谐振动方程为： （m ）.cos(1.5)xt(3)将 代入加速度公式 ，得0.5ts )cos(2tAa2 23(.)0.0.045sin()ma物体受力的大小为： .(.)si91FN方向与位移相反。10-18 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅 ，周期T=0.50s当t=0时，20A（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在 处，向负方向运动；21.0xm（4）物体在 向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。21.0xm分 析 ： 在 振 幅 A和 周 期 T已 知 的 条 件 下 ， 确 定 初 相 是 求
7、 解 简 谐 运 动 方 程 的 关 键 。初 相 的 确 定 通 常 有 两 种 方 法 。 （ 1） 解 析 法 ： 由 振 动 方 程 出 发 ， 根 据 初 始 条 件 ， 即 时时 ， 和 来 确 定 值 。 （ 2） 旋 转 矢 量 法 ： 将 质 点 P在 Ox轴 上 振 动 的0t00v初 始 位 置 和 速 度 的 方 向 与 旋 转 矢 量 图 相 对 应 来 确 定 。 旋 转 矢 量 法 比 较 直 观 、x方 便 ， 在 分 析 中 常 采 用 。解 ： 由 题 给 条 件 知 ， 而 初 相 可 采 用 分 析sradTmA4,1.22 中 的 两 种 不 同 方
8、法 来 求 。解 析 法 ： 根 据 简 谐 运 动 方 程 ， 当 时 有 ，)cos(tx0tcos0Ax。 当0sinuA(1) 时 ， ， 则 ；x01cos01(2) 时 ， ， 则 ， 因 ， ，220sin0usi取 ；2(3) 时 ， ， 则 ， 由 ，mx201.31cos230sin0uA， 取 ；sin3(4) 时 ， ， 则 ， 由 ，x201.41cos2430sin0u， 取 。sin43旋 转 矢 量 法 ： 分 别 画 出 四 个 不 同 初 始 状 态 的 旋 转 矢 量 图 ， 它 们 所 对 应 的 初 相 分 别 为， ， ， 。012342振 幅 、
9、角 频 率 、 初 相 均 确 定 后 ， 则 各 相 应 状 态 下 的 运 动 方 程 为A(1) .)cos()xtm(2) 20(3) .s(4)(3t(4) 2.01cos(4)(3xtm10-19 简谐振动方程为 ，求物体由 运动到 所用最少0.2cost)(4xA-2时间?解 由 得：t物体由 运动到 所用最少时间为 ：A-23t即 ()s10-20 试证明：（ 1）在一个周期中，简谐运动的动能和势能对时间的平均值都等于2kA4（2）在一个周期中，简谐运动的动能和势能对位置的平均值分别等于 和2kA3。6证 （ 1） 因 为 简 谐 运 动 的 动 能 和 势 能 分 别 为 )
10、(sin212tkAEKcoP所 以 在 一 个 周 期 中 ， 动 能 与 势 能 对 时 间 的 平 均 值 分 别 为 4)(sin21220 kAdtkATEKco220tP（ 2） 因 简谐运动的势能 ，则 势能在 一 个 周 期 中 对位置的平均值为21kxEP2261kAdxA所以动 能在 一 个 周 期 中 对位置的平均值为 23EEppk10-21 一物体同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式分别为 12=4cos(t+)cm653-x,试求合振动的振幅和初相。解 因 为 12故 合 振 动 振 幅 为 )(1cos2121 cmAA合 振 动 初 相 位 为 1212
11、arctn(siin)/(os610-22两个同方向的谐振动方程分别为 和1=0.cos(t+)3x。求合振动的振动方程。2=0.15cos(t+)m6x解 因 为 612故 合 振 动 振 幅 为 ： )(261.0)cos(2121 mAA合 振 动 初 相 位 为 ： 1212(sinsi)/(scos)0.75)arctgd合振动的振动方程为： )(75.0co(6. mtx10-23 一平面简谐波的波动方程为 ，求它的振幅、角y.2s1t.3xSI频率、频率、周期、波速与波长分 析 采 用 比 较 法 。 将 题 给 的 波 动 方 程 改 写 成 波 动 方 程 的 余 弦 函 数
12、 形 式 ， 比 较 可得 振幅 、角 频 率 、 波 速 ， 从 而 求 出 频率、周期与波长。Au解 将 题 给 的 波 动 方 程 改 写 为 与平面简谐波的波动方程)38(125cos.0xty比 较 后 可 得 振幅 ，角 频 率 ，波 速cos()xyAtmA25.0srad125， 故 有38m， ，ZH9.125T20.125206.T10-24 已知平面简谐波的表达式 ，求：y0cos(t.x)(1) x=0处振动的初相及x=4m，t=2s时的相位；(2) x1=0处与x 2=2m处的相位差。解 (1)将题给方程写成波动方程的一般形式 ，得cs()yAt42o0.xty当 时
13、，有 ，与波动方程的一般式比较，得0xty2cos0.将 ， 代入相位 中，得此时的相位为s4t )4(xt2)(2(2) x1=0处与x 2=2m处的相位差为 214()()4xxttt10-25 平面简谐波的振幅为 5.0cm，频率为100H Z，波速为 400m/s，沿X 轴正方向传播，以波源 (设在坐标原点O) 处的质点在乎衡位置且正向 y轴正方向运动时作为计时起点求：(1)波源的振动方程；(2)波动方程。解 (1)在已知振幅、频率、波速和初始条件的情况下，可以确定角频率 和初相 的值。即： )(2012srad又根据初始条件： 时， ，得t 0coyAu，2波源的振动方程为： 0.5
14、cs()(ytm(2) 简谐波的波动方程为 cos().os2()4020.52)(xxYAt t10-26 一平面简谐波沿x轴正向传播，波速 =5m/s波源位于y轴原点处，波源的振动曲线如图中所示。求：(1)波源的振动方程；(2)波动方程解 (1)由题给条件 ，sTmA4,02.=5m/s，可得2(/)4radT当 时，波源质点经平衡位置向正方向运动，因而由旋转矢量法可得该质点的初相0t为 。波源位于 轴原点处，则波源的振动方程为2y0.2cos()(tm(2)将已知量代入简谐波的波动方程的一般形式 ，得cs)xYAt0.2cos()(52xYt10-27 为了保持波源的振动不变，需要消耗4
15、.0W的功率。若波源发出的是球面波(设介质不吸收波的能量)。求距离波源 5.0m和10.0m处的能流密度。分 析 波 的 传 播 伴 随 着 能 量 的 传 播 。 由 于 波 源 在 单 位 时 间 内 提 供 的 能 量 恒 定 ，且 介 质 不 吸 收 能 量 ， 故 对 于 球 面 波 而 言 ， 单 位 时 间 内 通 过 任 意 半 径 的 球 面 的 能 量(即 平 均 能 流 )相 同 ， 都 等 于 波 源 消 耗 的 功 率 。 而 在 同 一 个 球 面 上 各 处 的 能 流 密 度 相P同 ， 因 此 ， 可 求 出 不 同 位 置 的 能 流 密 度 。SI解 由
16、分 析 可 知 ， 半 径 r处 的 能 流 密 度 为 24Ir当 时，分别有mrr0.1.521、 212.710PIWmr3222.8.410-28 一平面简谐波的频率为500Hz，在密度 空气中以31.kg的速度传播，达到人耳时振幅约为 。试求波在耳中的平均1340ms A60.1能量密度和声强。解 波在耳中的平均能量密度 221v26.104.mJ声强就是声波的能流密度，即 23.8.WuI10-29 两相干波源 和 相距为5m,其振幅相同，频率都是100Hz ，相位差为 ，二1S2 波的传播速度为400m/s。试以 连线为坐标轴 ，以 连线中点为原点，求x1S2间因干涉而静止的各点
17、的坐标。1S2分析 在 均 匀 介 质 中 ， 两 列 波 相 遇 时 的 相 位 差 ， 一 般 由 它 们 的 初 相 差和 由 它 们 的 波 程 差 而 引 起 的 相 位 差 两 部 分 组 成 ， 即122r。 因 此 ， 两列振幅相同的相干波 因干涉而静止的各点的位置，可2()r根据相消条件 来确定。)1(k解 以 连线中点为原点，以 、 连线为坐标轴 。两 波 的 波 长 均 为S21S2x 40.m在 、 两 点 的 连 线 间 ， 设 任 意 一 点 P距 原 点 为 x。 因 ，12 2.5r， 则 两 列 波 在 点 P的 相 位 差 为.5rx2121()()(r根
18、据 分 析 中 所 述 ， 干 涉 静 止 的 点 应 满 足 方 程()()xk得 ,210因 ， 故 。 即 在 、 之 间 的 连 线 上 共 有 3个 静 止 点2.5.x1k1S2即 ： 。,0m10-30 两相干波波源位于同一介质中的A、B两点，如图所示。其振幅相等、频率均为100HZ,B比A的相位超前。若A 、B相距30.0 m，波速为400 m/s，试求AB连线上因干涉而静止的各点的位置。分析 两列相干波相遇时的相位为 。因此,两列振幅相同的相21()r干波因干涉而静止的点的位置，可根据相消条件 获 得 。k解 以 A、 B两 点 的 中 点 O为 原 点 ， 取 坐 标 如
19、图 1030(b)所 示 。 两 波 的 波 长均 为 。 在 A、 B连 线 上 可 分 三 个 部 分 进 行 讨 论 。4.0mv（ 1） 位 于 点 A左 侧 部 分2()()14BABAr因 该 范 围 内 两 列 波 相 位 差 恒 为 2 的 整 数 倍 ， 故 干 涉 后 质点 振 动 处 处 加 强 ， 没 有 静 止 的 点 。（ 2） 位 于 点 B右 侧 部 分 ()()16BAAr显 然 该 范 围 内 质 点 振 动 也 都 是 加 强 ， 无 干 涉 静 止 的 点 。（ 3） 在 A、 B两 点 的 连 线 间 ， 设 任 意 一 点 P距 原 点 为 x。 因， 则 两 列 波 在 点 p的 相 位 差 为15Brxrx， 2()()(1BABAr根 据 分 析 中 所 述 ， 干 涉 静 止 的 点 应 满 足 方 程(1)()xk得 2012， ， ，因 ， 故 ， 即15x7k0,24,68,0,4.xmm故 在 A、 B之 间 的 连 线 上 距 A点 共 有 1m,3m,29m(15个 静 止 点 ) 。习题 10-30 图
