1、分类讨论求极限例 已知数列 、 都是由正数组成的等比数列，公比分别为 ，其中 ，nab qp,且 ， ，设 ， 为数列 的前 项和，求 . 1pqnncSnC1limnS（1997 年全国高考试题，理科难度 0.33）解： 11qbpaSnnn. 111 nnn pq分两种情况讨论；（1）当 时， ，故 ，p0qq 1limnS 111li nnn npqpbqap0011pqap1（2）当 时， ，10pq 1limnS1li 11 nnn qpbqa0011. 11pbqa说明：该题综合考查了数列的基础知识、恒等变形的能力，分类讨论的数学思想方法和求极限的方法自变量趋向无穷时函数的极限例
2、求下列极限：（1） 42415limxx（2） li223x分析：第（1）题中，当 时，分子、分母都趋于无穷大，属于“ ”型，变x 形的一般方法是分子、分母同除以 x 的最高次幂，再应用极限的运算法则第（2）题中，当 时，分式 与 都趋向于，这种形式叫1232x“”型，变形的一般方法是先通分，变成“ ”型或 “ ”型，再求极限0解：（1） 215lim215li 4444 xxx .02lililim442xxx（2） )12()(lim1li 323 xxx )(2li)(li23 xxxx41)0()1(lim)2(li xxx说明：“ ”型的式子求极限类似于数列极限的求法无穷减无穷型极限
3、求解例 求极限：（1） )1(lim22xxx （2）分析：含根式的函数求极限，一般要先进行变形，进行分子、分母有理化，再求极限解：（1）原式 221limxxx 221lix .1li22 xxx（2）原式 2211limx .li22 xxx说明：当 时， ，因此021111 222 xxxx利用运算法则求极限例 计算下列极限：（1） ； 123714lim222 nnn （2） . nn93li 1（1992 年全国高考试题，文科难度 0.63）解： （1）原式132limn. 2li23linn（2）原式 31limnn. 4014li n说明：该题计算时，要先求和，再求所得代数式的极
4、限，不能将只适用有限个数列的加、减、乘、除的数列极限的四则运算法则，照搬到无限个数列的加、减、乘、除，超出了法则的适用范围，下面的计算是错误的：（1）原式 123lim14li1lim22 nnn（2）原式 41302793li27li9li3li 1 nnnn用二项式定理展开或逆用等比数列和公式化简求极限例 设 ，求 *Npnpn1lim1分析：把 用二项式定理展开或逆用等比数列和公式即可求得1p解： 12111 )()(pppp nCnCnppppp nCnCn )1()1(132211 11lim11pnpn或：逆用等比数列求和公式：原式 pn nn111li 21pp个说明：要注意 p
5、 是与 n 无关的正整数， 不是无限项，对某些分式求极限应1pn先对式子进行必要的变形，使之成为便于求极限的形式，以利问题的解决，经常用到的技巧是分母、分子有理化或按二项式定理展开等等零乘无穷型转化为无穷除无穷型例 求 .)1(limnn分析：当 时，所求极限相当于 型，需要设法化为我们熟悉的 型0解： n)(li.21lim)(1linnnnn说明：对于这种含有根号的 型的极限，可采取分子有理化或分母有理化来实0现如本题是通过分子有理化，从而化为 ，即为 型，也可以将分子、分母n1同除以 n 的最高次幂即 ，完成极限的计算n根据极限确定字母的范围例 已知 ，求实数 m 的取值范围16)2(4
6、lim2nn分析：这是一个已知极限的值求参数的范围问题，我们仍然从求极限入手来解决解： 164216li)(li2 nnn于是 ，即 14m,4m说明：在解题过程中，运用了逆向思维，由 可知，164216linn的极限必为 0，而 的充要条件是 ，于是解不等式 nm42nqq42m零比零型的极限例 求 xx1lim10分析：这是一个 型的极限，显然当 时，直接从函数 分子、分母中00xx110约去 x 有困难，但是 当 时也趋近于 0，此时 x 化为 ，这就11x )(10启发我们通过换元来解决这一难题，即设 ，则 1y10y解：设 ，则 ，于是，当 时， 10xy10x原式 10limli8
7、9110 yyy 说明：本题采用的换元法是把 化为 ，这是一种变量代换灵活地运x用这种代换，可以解决一些 型的极限问题0例如对于 ，我们一般采用因式分解，然后约去 ，得1lim2x 1x到 其实也可以采用这种代换，即设 ，则当 时， ，这)(li1x t0t样就有 .2)(li1)(lili 02021 ttxt组合与极限的综合题例 ) (lim12nCA0 B2 C D 41分析：将组合项展开后化简再求极限解： 12lin.41264lim)(li!)(!)(li22nnn故应选 D说明：本题考查组合的运算和数列极限的概念高考填空题1计算 ._)2(limnn2若数列 的通项公式是 ，则a)
8、N(1*nan ._)(lim21nna3计算： ._)13(linn1解析 22121lim2li ennn nn说明：利用数列极限公式 ，把原题的代数式稍加变形即可获解本题enli主要考查灵活运用数列极限公式的能力2解析 .21,)(aan.231)21(lim li2nn说明：本题的思考障碍点是如何求 ？只要懂得在通项公式中令 ，可立得1a1n的具体值，本题考查数列极限的基本知识1a3解析 nn)13(lim22lien说明：本题考查数列极限公式的应用根据已知极限和四则运算求其它极限例 若 ，且 存在，则12limnanali ._)1(limnnaA0 B C D不存在分析：根据题设知
9、 和 均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求na得结论解： ,lim,12li存 在nn0li 0lili nnn aa又 21li,2n 210limli)(lim)1(li nnnnn aaa即 .2选 C说明： 是关键，不能错误地认为 ， nali 0lina0)1(linna两个数列 、 的极限存在是两个数列的和差、积存在极限的充分条件但b的极限不一定存在nba化简表达式再求数列的极限例 求下列极限（1） 127153lim222 nnn （2） nn2419li（3） 21513limn 分析：先运用等差数列、等比数列的前 n 项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再
10、进行极限的四则运算解：（1）原式 1)(7li2nlim)2(li2nn（2）原式 nnnn 213li4213li43012lim1334nn（3）原式 .2lim253li nn说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为而得到（1）的结果是 00li,01lim,01li 222nnn无穷比无穷和字母讨论的数列极限例 求下列极限：（1） （2）nn3452lim11)0(limann分析：第（1）题属“ ”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子第（2）题中当 a 的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势）不同，因此要分各种情形进行讨论解：（1）原式 43215lim34215li nnnn.415034li32lim15nnn（2）当 时， ，10a01limlinna当 时， .10lililili1li1limnnnnn aa说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为0lina
