1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网函数的单调性（教案）(绵阳中学 数学组)赵志明一、教学目标：1、理解增函数和减函数的定义；2、会利用定义证明函数的单调性；3、了解函数单调区间的概念，并能根据图象说出函数的单调区间；4、通过本节知识的学习，使学生理解数形结合等思想方法在分析解决问题中的作用,领会从特殊到一般,从直观到抽象,从感性到理性的数学思维方法。二、重点和难点:1、教学重点:函数单调性的概念和判断；2、教学难点:利用函数单调 性的定义或者函数的图 象判断函数的单调性。三、教学方法和手段:1、教学方法:采用探索发现 法和启发式讲解法；2、教学手段:利用多媒体直 观、形象的动
2、态功能，为函数单调性概念的理解提供直观、形象的认知基础; 同时对函数在某一区间内的 变化趋势进行动态演示，帮助学生理解。四、教学过程：（一）问题情境：(1)近六届世界杯进球数如下表： 画成折线图： 问题 1：随着年份的不同，进球数有什么变化？进球数的变化和图象的变化有什么联系？ (2)绵阳市某天的气温 变化曲线图：问题 2：随着时间的变化，温度的变化趋势是？（上升？下降？）事实上，在生活中，有很多数据的变化是有规律的，了解这些数据的变化年份 进球数1990 1151994 1371998 1712002 1612006 1472010 145 份份20120620198194190150130
3、10170高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网xy24-211-1 0规律，对我们的生活很有帮助。观察满足函数关系的数据变化规律往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的， 这就是我们今天要研究的函数的单调性。（板书课题）（二）建构定义:1、引入直观性定义：观察下列 函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）问题 3:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）问题 4:函数 在区间 内 y 随 x 的增大而增大，在区间 内 2()fxy 随 x 的增大而减小；总结到一般情况下：在区间 D 内 在区间 D 内图象图象特征 从左到右，图象上升 从左到右，
4、图象下降数量特征 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小教师说明直观性定义：称左边的函数在区间 D 上单调递 增函数，右 边的函数则称为区间 I 上单调递减函数。2、严格数学语言定义：多媒体展示：图象在区间 D 内呈上升趋势当 x 的值增大时，函数值 y 也增大区间内有两个点 、 ，当 时，有12x21x)(21xff问题 5：若区间内有两点 时，有 ，能否推出 是单调递)(21f f增函数？oxy-1112(2)fx(1)1fxy2()f1x02xyx2()f102高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网32yfx-4215431-1-2-1-5-3 -2ox构造反例
5、，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。定义：一般地，设函数 的定义域为 I:)(xf如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 ，当 时，12x、 21x都有 ，那么就说函数 在区间 上是单调递增函数。)(21fxf)(xf由学生类比得到减函数的定义：如果对于定义域 I 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，21x、 21都有 ，那么就说函数 在区间 D上是单调递减函数。)(21xff)(xf注:(1) 三大特征： 属于同一区 间；任意性；有大小：通常规定 ；21, 21x(2)相对于定义 域，函数的单调性可以是函数的局部性质。举例： 在 上是单调增函数
6、，但在整个定义域上不是增（减）函数。2xy),0(三)定义应用 :例 1、下图是定义在 5， 5上的函数 的图象，根据图象说出函数)(xfy的单调 区间，以及在每一单调区间上， 是增函数还是减函数。)(xfy )(f分析：动画演示，帮助学生理解。解： 的 单调区间有 5，2），2， 1），1，3），3，5。)(xfy其中 在5，2）,1，3）上是减函数；在2 ，1）， 3，5）上是增函数。强调单调区间的写法：问题 6：可否写成5，2）U2，1）？问题 7：写成5， 2）还是写成5，2？多媒体展示构造反例说明：（1）单调区间一般不能求并集；（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。高考资源网（）
7、您身边的高考专家 版权所有高考资源网例 2、试判断函数 在区间（0，）上是增函数还是减函数？并给予xf2)(证明。分析：问 1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？2：如何用定义法判定函数单调性？3：用定义判定函数单调性的关键是什么？（提示如何比较 3 和 2 的大小，从而引入作差法）证明：函数 在（0， ）上是增函数xf2)(设 是(0,)上的任意两个 值,且 ，1x、 21x则 )()()( 212xff ）（ 1x）（ 2221)()1又 ，故 ，210x02102x则 ，即：)(ff )(1ff因此，函数 在（0，）上是增函数。2总结定义法证明函数单调性的步骤：1、取值:设任意 属于
8、给定区间，且 ；21x、 21x2、作差变形: 变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；)(ff3、定号:确定 的正负号；214、下结论:由定义得出函数的 单调性。思考题：在上面证明中，你能理解 的任意性的意义吗？12x、解答：有了“任意性 ”在区间 内不管取哪两个值，其 证明过程都是一样的。四、课堂练习：（1）课本 P65 页 1，（2）证明:函数 在 上是减函数。 （动画演示帮助理解）xy3），（ 0取值下结论定号作差变形高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网课堂思考： )0(kxy )0(kxy函数 单调区间单调性课后思考：函数 在 R 上单调递增，那么， 的符号有什么规律？若单调)(xf 21)(xff递减，又该如何?五、回顾小结：1、函数单调性的定义；2、判定函数单调性：（1）方法：图象法，定义法；（2）定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论。六、课后作业：1、必做题：课后练习 1，4，6，2、选做题: 课后练习 7七、板书设计函数单调性一、函数单调性概念1、单调递增函数2、单调递减函数3、单调区间 (主板书)二、例题及解答例 1例 2(副板书)议练活动(辅助性板书).精品资料。欢迎使用。高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网
