力学例题.doc

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1、1. 一质点作平面运动,已知加速度为 tAaxcos2, tBaysin2,其中 A,B,均为正常数,且 0,BA。初始条件为 t=0 时, 0,0yxv,0,0yAx。试求该质点的运动轨迹。解 由加速度的定义dtvaxy分别积分上式,并代入初始条件,得 txx tAtdAdav0210 sincos(1)ttyy BBcoin(2)由速度的定义dtxvy分别积分上式,并代入初始条件和式(1) 、式(2) ,得t tx tAtdAdv00cossin(3)t ty BBy ico(4)式(3)和式(4)为质点运动的运动学方程,消去参数 t,即得质点的运动轨迹方程12Ax这一结果表明,指点运动的

2、轨迹为椭圆。2. 已知一质点由静止出发,它的加速度在 X 轴和 Y 轴上的分量分别为 tax10和215tay(SI 制) 。试求 5s 时质点的速度和位置。解 取指点的出发点为坐标原点。由题意知质点的加速度为 tdvax10(1)25ty由初始条件 t=0 时, 00yxv,对式(1)进行积分,有2tdt(2)3025ttvy即jti (3)将 st5代入式(3)有)/(6251(smjiv又由速度的定义及初始条件 0t时, 0yx对式(2)进行分离变量并积分,有tdx32ty0435即 jtir43(4)将 st5代入式(4)有 )(412536(mji3. 一质点沿半径为 R 的圆周轨道

3、运动,初速为 0v,其加速度方向与速度方向之间的夹角恒定,如图所示。试求速度大小与时间的关系。解 有题意有 ant而 dtvRan2所以 dtv/t2分离变量 Rvtan12(1)对上式积分,并代入初始条件 t=0 时, 0v,得t0(2)整理式(2)得tvRv00tan4. 有一条宽度均匀的小河,河宽为 d,已知靠岸边水流速度为 0,水的流速按正比增大,河中心水流速度最快,流速为 0。现有一人以不变的划船速度 u 沿垂直于水流方向划一艘小船从河岸某点渡河。试求小船的运动轨迹。解 取河岸为参照系,建立如图所示的直角坐标系,由题意可知,初始条件为t=0 时, 00yx, uvyx0, (1)由题

4、意,水流速度可表示为kv水又当 2dy时, 0水 。故/ 因此ydv0水(2)对小船有 dtxx水(3)tyuvy结合式(1) 、 (2) ,对式(3)积分,并应用初始条件得 20tdx(4)uy对式(4)消去 t,得20dvx(5)这就是小船渡河的运动轨迹方程,其为抛物线。这里需要注意的是,式(5)只适用于小船划至河中心之前,对于后半程小船的轨迹很容易从对称性获得020)(vuyuvx(6)5. 设有一架飞机从 A 处向东飞到 B 处,然后又向西飞回到 A 处,飞机相对空气保持不变的速率 v,而空气相对于地面的速率为 u,A 与 B 间的距离为 l。在下列三种情况下,试求飞机来回飞行的时间。

5、(1) 空气是静止的(即 u=0) ;(2) 空气的速度向东;(3) 空气的速度向北。解 取地面为绝对参照系,空气为相对参照系。(1)空气是静止的,即 u=0,则飞机往返飞行速度大小均匀为 v。飞机往返所需时间为 BAtt1vll2(2)由速度变换定理,飞机由 A 到 B 向东飞行时的速度大小为uvAB由 B 到 A 向西飞行时的速度大小为因此,飞机往返飞行所需时间为 )(122 vulvlulttBA 21)(v(3)当空气的速度 u 向北时,飞机相对于地面的飞行速度 v 及飞机相对空气的速度v与u 间由相对运动关系有uv因此,飞机对地飞行速度的大小为2故飞机往返飞行所需时间2123 )(v

6、utvllttBA 6. 如图所示,质量为 M 的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动,一质量为 m 的小球水平向右飞行,以速度 (对地)与滑块斜面相碰,碰后竖1v直向上弹起,速率为 v2(对地) ,若碰撞时间为t,试计算此过程中滑块对地的平均作用力和滑块速度增量的大小。解:(1) 小球 m 在与 M 碰撞过程中给 M 的竖直方向冲力在数值上应等于 M 对小球的竖直冲力,而此冲力应等于小球在竖直方向的动量变化率即: tvf2由牛顿第三定律,小球以此力作用于 M,其方向向下。对 M,由牛顿第二定律,在竖直方向上NMgf0NMgf又由牛顿第三定律,M 给地面的平均作用力也为 MgtmvgfF2方向竖直向

7、下。(2) 同理,M 受到小球的水平方向冲力大小应为 ,方向与 m 原运动方向一致。tvf1根据牛顿第二定律,对 M 有tvf利用上式的 ,即可得 。fmv/17. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴 AC 自由转动,转动惯量为 J0,环的半径为 R,初始时环的角速度为 0,质量为 m 的小球静止在环内最高处 A 点,由于某种微小干扰,小球沿环向下滑动,问小球滑到与环心 O 在同一高度的 B 点和环的最低处的 C 点时,环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的,小球可视为质点,环截面半径 rR)解:选小球和环为系统,运动过程中所受合外力矩为零,角动量守恒,对地球、小球和环

8、系统机械能守恒,取过环心的水平面为势能零点。对 B 点时: )(200mRJ)(121 20BvRg式中 vB 表示小球在 B 点时相对于地面的竖直分速度,也等于它相对于环的速度。由式得: )/(20J代入式得: 02JmRgvB当小球滑到 C 点时,由角动量守恒定律,系统的角速度又回复至 0,又由机械能守恒定律知,小球在 C 的动能完全由重力势能转换而来,即: )2(1gmvc vc R48. 从一个半径为 R 的均匀薄板上挖去一个直径为 R 的圆板,所形成的圆洞中心在距原薄板中心 R2 处(如图) ,所剩薄板的质量为 m。求此时薄板对通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量。解:由于转动惯量具

9、有可加性,所以已挖洞的圆板的转动惯量 J 加上挖去的圆板补回原位后对原中心的转动惯量 J1,就等于整个完整圆板对中心的转动惯量 J2。设板的密度为,厚度为 a,则对于通过原中心而与板面垂直的轴 421132 2RaRmJ41mJ123a又由于 ,则Rma342代入上面求 J 的公式,最后可得 241R9. 空气对自由落体的阻力决定于许多因素,一个有用的近似假设是,空气阻力 f的大小与落体的速度 成正比而方向相反,即 kf,其中 k 为大于零的常数,其数值与速度无关,而由其它因素确定。就物体在空气中由静止开始的自由下落考虑,并将 Y 轴的正方向取为竖直向下。 (1)试证,物体运动的收尾速度(即物

10、体不再加速时的速度) kmgvr;(2)试求出速度随时间变化的关系式,并作出 v对 t的曲线图;(3)试定性地画出这种运动的 y对 t以及 a对 t的曲线图。证 (1)物体在下落过程中除受重力外,还受空气阻力。因此,其 y方向的合力为kvmg。根据牛顿运动定律,有mdtv(1)物体下落的加速度kga(2)当收尾时,即物体不再加速时: 0a,由式(2)得kvr(3)(2)将式(3)代入式(1)后分离变量,得dtmr故vtrdmk00积分,有tvrln得)1(tmkre(4)tv的曲线图如图(a)所示。(3)由式(4)及 dtyv可得dtevttmkrr00)(tr1tmkrrevt而tkgdta

11、ty及 ta的曲线图如图(b) 、 (c)所示。10. 如图所示,若使邮件沿着地球的某一直径的隧道传递,试求邮件通过地心时的速率。已知地球的半径约为 m6104.,密度约为 3/105.mkg。解 设邮件在隧道 P 点,如图所示,其在距离地心为 r 处所受到的万有引力为234rmGf)(式中的负号表示 f与 方向相反,m 为邮件的质量。 根据牛顿运动定律,得2)34(dtrG即rdt2)((1)其中:34。为了简化计算,设邮件刚进入隧道时开始记时,则方程(1)的解可表示为 tRrcos (2)式中 R 为地球半径。式(2)对时间求导,即得邮件传递的速度vin (3)由式(3)可知,邮件通过地心

12、时速率最大,即Gm34316 05.67.10. )/(973s11. 设在地球表面附近,一质量为 kg50.的火箭(含燃料) ,从尾部喷出气体的速率为 sm/10.23。试求:(1)每秒需喷出多少气体,才能使火箭最初向上的加速度大小为 94;(2)若火箭的质量比为 6,该火箭的最后速率。解 (1)取火箭和燃料为研究系统。设在某一时刻 t,系统质量为 M,在随后的 dt时间内有质量 d的燃料变为气体,则 dtMtm。在地球表面附近向上发射火箭时,系统受到向下的重力 Mg和喷出气体向上的推力u,按牛顿运动定律有agdt(1)整理得 uMtm)(初始时刻火箭质量 0,要使火箭获得的最初加速度为 0

13、a,则需要每秒喷出的气体为 3501.2)9.48()(uagdt/168.33sk(2)为求火箭的最后速率可将式(1)改写为dtvMgdtu即 v(2)根据初始条件,有 tMv gdud0001积分,得火箭的速率tln(3)由火箭质量与时间的关系,有 td0可得火箭到达最后速率的时刻 mt满足 600Mtm解得dtttm5)(600(4)把式(4)代入式(3)可得火箭的最后速率 tmgMugtMuvmm6lnln0035318.96l1.2)/(047s12. 如图(a)所示,一质量为 ,长度为 l的均质绳子,以匀角速度 绕固定端旋转。设绳子不伸长,重力忽略不计。试求离固定端距离为 r处绳中

14、的张力。解 以固定端为原点 O,选取距 点 r至 之间的一微小段绳子作为研究对象,如图(b) ,其受力示情况如图(c)所示。设 处受力为 rT(), 处受力为)(rT,这一微小段绳子的运动方程为 lMmrTr22)( rdr0)(lirdlMdT2(1)利用条件 lr时, 0)(lT,有rlrT2)(2)积分可得)(2)(2rlr(3)从结果可得,张力 T在绳中不同位置处,是不同的。在绳的末端附近,张力最小;在绳的固定端附近,张力最大。13. 有一条单位长度为 的匀质细绳,开始时盘绕在光滑的水平桌面上(其所占的体积可忽略不计) 。试求:现以一恒定的加速度 a竖直向上提绳,当提起 y高度时,作用在绳端上的力为多少?若以一恒定速度 v竖直向上提绳时,当提起 高度时,作用在绳端上的力又为多少?解 取坐标 OY,如图所示,以已提起的高度为 y的细绳为研究对象,由牛顿运动定律,有 dtyvgF)(1)即 a2(2)当 a为恒量时,由 dyva及 0时 v,可得2(3)将式(3)代入式(2)得 题 1-20 图yagF1= )3(当 v为恒量时, 0a,代入式(2)得 22v= )(yg14. 一长为 l的细绳(质量不计)一端固定,另一端系一小球。当小球处于平衡位置时,给其一个水平的初速度 0v,要使小球能沿圆周运动而细绳不会松弛,试求 0v值应为多大?

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