1、1. 一质点作平面运动，已知加速度为 tAaxcos2， tBaysin2，其中 A,B,均为正常数，且 0,BA。初始条件为 t=0 时， 0,0yxv，0,0yAx。试求该质点的运动轨迹。解 由加速度的定义dtvaxy分别积分上式，并代入初始条件，得 txx tAtdAdav0210 sincos(1)ttyy BBcoin(2)由速度的定义dtxvy分别积分上式，并代入初始条件和式（1） 、式（2） ，得t tx tAtdAdv00cossin（3）t ty BBy ico（4）式（3）和式（4）为质点运动的运动学方程，消去参数 t，即得质点的运动轨迹方程12Ax这一结果表明，指点运动的
2、轨迹为椭圆。2. 已知一质点由静止出发，它的加速度在 X 轴和 Y 轴上的分量分别为 tax10和215tay（SI 制） 。试求 5s 时质点的速度和位置。解 取指点的出发点为坐标原点。由题意知质点的加速度为 tdvax10（1）25ty由初始条件 t=0 时， 00yxv，对式（1）进行积分，有2tdt（2）3025ttvy即jti （3）将 st5代入式（3）有)/(6251(smjiv又由速度的定义及初始条件 0t时， 0yx对式（2）进行分离变量并积分，有tdx32ty0435即 jtir43（4）将 st5代入式（4）有 )(412536(mji3. 一质点沿半径为 R 的圆周轨道
3、运动，初速为 0v，其加速度方向与速度方向之间的夹角恒定，如图所示。试求速度大小与时间的关系。解 有题意有 ant而 dtvRan2所以 dtv/t2分离变量 Rvtan12（1）对上式积分，并代入初始条件 t=0 时， 0v，得t0（2）整理式（2）得tvRv00tan4. 有一条宽度均匀的小河，河宽为 d，已知靠岸边水流速度为 0，水的流速按正比增大，河中心水流速度最快，流速为 0。现有一人以不变的划船速度 u 沿垂直于水流方向划一艘小船从河岸某点渡河。试求小船的运动轨迹。解 取河岸为参照系，建立如图所示的直角坐标系，由题意可知，初始条件为t=0 时， 00yx， uvyx0, （1）由题
4、意，水流速度可表示为kv水又当 2dy时， 0水 。故/ 因此ydv0水（2）对小船有 dtxx水（3）tyuvy结合式（1） 、 （2） ，对式（3）积分，并应用初始条件得 20tdx（4）uy对式（4）消去 t，得20dvx（5）这就是小船渡河的运动轨迹方程，其为抛物线。这里需要注意的是，式（5）只适用于小船划至河中心之前，对于后半程小船的轨迹很容易从对称性获得020)(vuyuvx（6）5. 设有一架飞机从 A 处向东飞到 B 处，然后又向西飞回到 A 处，飞机相对空气保持不变的速率 v，而空气相对于地面的速率为 u，A 与 B 间的距离为 l。在下列三种情况下，试求飞机来回飞行的时间。
5、（1） 空气是静止的（即 u=0） ；（2） 空气的速度向东；（3） 空气的速度向北。解 取地面为绝对参照系，空气为相对参照系。（1）空气是静止的，即 u=0，则飞机往返飞行速度大小均匀为 v。飞机往返所需时间为 BAtt1vll2（2）由速度变换定理，飞机由 A 到 B 向东飞行时的速度大小为uvAB由 B 到 A 向西飞行时的速度大小为因此，飞机往返飞行所需时间为 )(122 vulvlulttBA 21)(v（3）当空气的速度 u 向北时，飞机相对于地面的飞行速度 v 及飞机相对空气的速度v与u 间由相对运动关系有uv因此，飞机对地飞行速度的大小为2故飞机往返飞行所需时间2123 )(v
6、utvllttBA 6. 如图所示，质量为 M 的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动，一质量为 m 的小球水平向右飞行，以速度 （对地）与滑块斜面相碰，碰后竖1v直向上弹起，速率为 v2（对地） ，若碰撞时间为t，试计算此过程中滑块对地的平均作用力和滑块速度增量的大小。解：(1) 小球 m 在与 M 碰撞过程中给 M 的竖直方向冲力在数值上应等于 M 对小球的竖直冲力，而此冲力应等于小球在竖直方向的动量变化率即： tvf2由牛顿第三定律，小球以此力作用于 M，其方向向下。对 M，由牛顿第二定律，在竖直方向上NMgf0NMgf又由牛顿第三定律，M 给地面的平均作用力也为 MgtmvgfF2方向竖直向
7、下。(2) 同理，M 受到小球的水平方向冲力大小应为 ，方向与 m 原运动方向一致。tvf1根据牛顿第二定律，对 M 有tvf利用上式的 ，即可得 。fmv/17. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴 AC 自由转动，转动惯量为 J0，环的半径为 R，初始时环的角速度为 0，质量为 m 的小球静止在环内最高处 A 点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心 O 在同一高度的 B 点和环的最低处的 C 点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大？（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径 rR）解：选小球和环为系统，运动过程中所受合外力矩为零，角动量守恒，对地球、小球和环
8、系统机械能守恒，取过环心的水平面为势能零点。对 B 点时： )(200mRJ)(121 20BvRg式中 vB 表示小球在 B 点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速度。由式得： )/(20J代入式得： 02JmRgvB当小球滑到 C 点时，由角动量守恒定律，系统的角速度又回复至 0，又由机械能守恒定律知，小球在 C 的动能完全由重力势能转换而来，即： )2(1gmvc vc R48. 从一个半径为 R 的均匀薄板上挖去一个直径为 R 的圆板，所形成的圆洞中心在距原薄板中心 R2 处（如图） ，所剩薄板的质量为 m。求此时薄板对通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量。解：由于转动惯量具
9、有可加性，所以已挖洞的圆板的转动惯量 J 加上挖去的圆板补回原位后对原中心的转动惯量 J1，就等于整个完整圆板对中心的转动惯量 J2。设板的密度为，厚度为 a，则对于通过原中心而与板面垂直的轴 421132 2RaRmJ41mJ123a又由于 ，则Rma342代入上面求 J 的公式，最后可得 241R9. 空气对自由落体的阻力决定于许多因素，一个有用的近似假设是，空气阻力 f的大小与落体的速度 成正比而方向相反，即 kf，其中 k 为大于零的常数，其数值与速度无关，而由其它因素确定。就物体在空气中由静止开始的自由下落考虑，并将 Y 轴的正方向取为竖直向下。 （1）试证，物体运动的收尾速度（即物
10、体不再加速时的速度） kmgvr；（2）试求出速度随时间变化的关系式，并作出 v对 t的曲线图；（3）试定性地画出这种运动的 y对 t以及 a对 t的曲线图。证 （1）物体在下落过程中除受重力外，还受空气阻力。因此，其 y方向的合力为kvmg。根据牛顿运动定律，有mdtv（1）物体下落的加速度kga（2）当收尾时，即物体不再加速时： 0a，由式（2）得kvr（3）（2）将式（3）代入式（1）后分离变量，得dtmr故vtrdmk00积分，有tvrln得)1(tmkre（4）tv的曲线图如图（a）所示。（3）由式（4）及 dtyv可得dtevttmkrr00)(tr1tmkrrevt而tkgdta
11、ty及 ta的曲线图如图（b） 、 （c）所示。10. 如图所示，若使邮件沿着地球的某一直径的隧道传递，试求邮件通过地心时的速率。已知地球的半径约为 m6104.，密度约为 3/105.mkg。解 设邮件在隧道 P 点，如图所示，其在距离地心为 r 处所受到的万有引力为234rmGf)(式中的负号表示 f与 方向相反，m 为邮件的质量。 根据牛顿运动定律，得2)34(dtrG即rdt2)(（1）其中：34。为了简化计算，设邮件刚进入隧道时开始记时，则方程（1）的解可表示为 tRrcos （2）式中 R 为地球半径。式（2）对时间求导，即得邮件传递的速度vin （3）由式（3）可知，邮件通过地心
12、时速率最大，即Gm34316 05.67.10. )/(973s11. 设在地球表面附近，一质量为 kg50.的火箭（含燃料） ，从尾部喷出气体的速率为 sm/10.23。试求：（1）每秒需喷出多少气体，才能使火箭最初向上的加速度大小为 94；（2）若火箭的质量比为 6，该火箭的最后速率。解 （1）取火箭和燃料为研究系统。设在某一时刻 t，系统质量为 M，在随后的 dt时间内有质量 d的燃料变为气体，则 dtMtm。在地球表面附近向上发射火箭时，系统受到向下的重力 Mg和喷出气体向上的推力u，按牛顿运动定律有agdt(1)整理得 uMtm)(初始时刻火箭质量 0，要使火箭获得的最初加速度为 0
13、a，则需要每秒喷出的气体为 3501.2)9.48()(uagdt/168.33sk（2）为求火箭的最后速率可将式（1）改写为dtvMgdtu即 v(2)根据初始条件，有 tMv gdud0001积分，得火箭的速率tln(3)由火箭质量与时间的关系，有 td0可得火箭到达最后速率的时刻 mt满足 600Mtm解得dtttm5)(600(4)把式（4）代入式（3）可得火箭的最后速率 tmgMugtMuvmm6lnln0035318.96l1.2)/(047s12. 如图（a）所示，一质量为 ，长度为 l的均质绳子，以匀角速度 绕固定端旋转。设绳子不伸长，重力忽略不计。试求离固定端距离为 r处绳中
14、的张力。解 以固定端为原点 O，选取距 点 r至 之间的一微小段绳子作为研究对象，如图（b） ，其受力示情况如图（c）所示。设 处受力为 rT()， 处受力为)(rT，这一微小段绳子的运动方程为 lMmrTr22)( rdr0)(lirdlMdT2(1)利用条件 lr时， 0)(lT，有rlrT2)(2)积分可得)(2)(2rlr(3)从结果可得，张力 T在绳中不同位置处，是不同的。在绳的末端附近，张力最小；在绳的固定端附近，张力最大。13. 有一条单位长度为 的匀质细绳，开始时盘绕在光滑的水平桌面上（其所占的体积可忽略不计） 。试求：现以一恒定的加速度 a竖直向上提绳，当提起 y高度时，作用在绳端上的力为多少？若以一恒定速度 v竖直向上提绳时，当提起 高度时，作用在绳端上的力又为多少？解 取坐标 OY，如图所示，以已提起的高度为 y的细绳为研究对象，由牛顿运动定律，有 dtyvgF)(1)即 a2(2)当 a为恒量时，由 dyva及 0时 v，可得2(3)将式（3）代入式（2）得 题 1-20 图yagF1= )3(当 v为恒量时， 0a,代入式（2）得 22v= )(yg14. 一长为 l的细绳（质量不计）一端固定，另一端系一小球。当小球处于平衡位置时，给其一个水平的初速度 0v，要使小球能沿圆周运动而细绳不会松弛，试求 0v值应为多大？
