1、第 2 章质点运动学习题解答 5 第 2 章质点运动学习题解答第二章基本知识小结基本概念 2)(dtrvadtrvtr)(（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：）00,vrt直角坐标系 与 x,y,z 轴夹角的余弦分别为 , 22zyxrkzjyixrr.zryx/,/与 x,y,z 轴夹角的余弦分别为 vvkvjiv zyxzyx , 22.zx/,/,/与 x,y,z 轴夹角的余弦分别为 aakjai zyxzyx , 22./,/,/azx 222, dtzvadtyvadtxvazyzzyxx ),(),(),( zyxzyxzy自然坐标系 |,; vdts
2、vsr 222, ataana nn )()(ttvts极坐标系 2, vvrrrdtvtr,相对运动 对于两个相对平动的参考系（时空变换）,0 tr（速度变换）v（加速度变换）0a若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有： zyxaavvVvtt, y yVo x o xz z第 2 章质点运动学习题解答 6 第 2 章质点运动学习题解答2.1.1 质点运动学方程为： jitr5)23(,求质点轨迹并用图表示.jtir)14()32(解： 轨迹方程为 的直线.5,yxy ，消去参数 t 得轨迹方程,t 0534yx2.1.2 质点运动学方程为 .求质点轨迹；求自 t
3、= -1 到 t=1 质点的kjeirtt22位移。解：由运动学方程可知： ，所以，质点是在 z=2 平面内1,22xyzyxtt的第一像限的一条双曲线上运动。 jeier)()()1( 22。所以，位移大小：ji2537.7 90arcos|arcosz 45)2(|y 13arcos|arcosx ,257.2.7)53.()(| zyxyr轴 夹 角与 轴 夹 角与 轴 夹 角与2.1.3 质点运动学方程为 . 求质点轨迹；求质点自 t=0 至 t=1 的jti)32(4位移.解： ，消去参数 t 得：32,4tytx 2)(yx jijir245)0(12.2.1 雷达站于某瞬时测得飞
4、机位置为 7.3,10mR0.75s 后测得 ，R 1,R2 均在铅直面内，求飞机瞬3.9,4202mR时速率的近似值和飞行方向（ 角）解： ，在图示的矢量三角形中，应用余弦定ttv12理，可求得： mRR58.3494.cos2041201)s(2mtv /8.657./5839/据正弦定理： )1sin()sin( 121 RRxy5xy5/35/4R 1R1 R2R 1 2第 2 章质点运动学习题解答 7 第 2 章质点运动学习题解答 89.34,41.180,93. 58.34/sin20/)sin()sin(122RR2.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为 y=x2/20
5、0(长度：毫米) 。第一次观察到圆柱体在 x=249mm 处，经过时间 2ms 后，圆柱体移到x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。解：由于 t 很小，所以， ，trv其中， 152493,212xjyixrmst .60/)4(0/)(211y。其大小jijtyitxv .85.7/；与 x 轴夹角ms/6.9).8()5.7(| 22 5.12)386.0arco(.1arcosarcsvx2.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者 17m；另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京 2320km，收听者离收音机 2m，问谁先听到声音？声速为 340m/s，电磁波传播的速率为 3
6、.0108m/s.解：声音传播情况如图所示，北京人听到演奏声音所需时间： st05.34/17广州人听到演奏声音所需时间： st 136.4021.32832.2.5 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以 90km/h 速率行驶， 3min 后以 70km/h 速率向北偏西 30方向行驶，求列车的平均加速度。解： tvta12对矢量三角形应用余弦定理： smhkv/69.12/69.45 370903co221 ，由正弦定理：2/07.3.stva 30sini2v 5,76.09.45/sini2v2.2.6 ，R 为正常数，求 t=0, /2 时的速度和加速度。ktjitRr2snco，求
7、 t=0,1 时的速度和加速度（写出正交分解式） 。kjtitr65.4332解： kjtitdtrvcoss/yx0 x1 x217m340m/s2320km,3108m/s340m/s2mv230v1=90km/h v2=70km/hv西北第 2 章质点运动学习题解答 8 第 2 章质点运动学习题解答jRakiRviRakjvtitdtatt tt|,2| ,|,2|.snco/2/2/ 00 ；tjdtjr 369/,1893 kjakjiviv tttt |,183|,| 100 2.3.1 图中 a、b 和 c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的 x-t 图像，试说明每种运动的特点（
8、即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）解：质点直线运动的速度，在 x-t 图像中为曲线斜率。dtxv/由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线 运动，设直线与x 轴正向夹角为 ，则速度 txtgv/对于 a 种运动： stgtmxstgv xt 5.1302|,0|,/3120 对于 b 种运动： ttt xt 32.7/|,1|,/ 001 对于 c 种运动： mtgstmstgvtx 542|,5|,45001 2.3.2 质点直线运动的运动学方程为 x=acost,a 为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）解： ta
9、dtvatdtxvtax xcos/,sin/,cos 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围： xx,2.3.3 跳伞运动员的速度为 ，v 铅直向下，,q 为正常量，求其加速度，讨qtev1论时间足够长时（即 t）速度、加速度的变化趋势。解： 22 )1()1()()( qtqtqtttqtqt eedtva 因为 v0，a0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当 t时，v，a0，说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。2.3.4 直线运行的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原运行速率为 v0=180km/h，其速率变化规律如图所示。求列车行至 x=1.5km 时的加速度。解
10、： .sin/),5cos( 500 xvdx，将 v0=180km/h,x=1.5km 代入dxvtdxva 201in22210 /7./9678s4.3 smhk2.3.5 在水平桌面上放置 A、 B 两物体，用一根不可伸v(km/h)v=v0cosx/5x(km)1.5v010203010203045120-10-200x(m)t(s)abcABaA0.5g0 x第 2 章质点运动学习题解答 9 第 2 章质点运动学习题解答长的绳索按图示的装置把它们连接起来，C 点与桌面固定，已知物体 A 的加速度 aA=0.5g，求物体 B 的加速度。解：设整个绳长为 L，取图示坐标 o-x，则 3
11、xA+(-4xB) = L对时间求两次导数，3a A=4aB，所以 aB = 3aA/4=30.5g/4 = 3g/82.3.6 质点沿直线的运动学方程为 x=10t+3t2. 将坐标原点沿 o-x 正方向移动 2m，运动学方程如何？初速度有无变化？将计时起点前移 1s，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变不变？解：x=10t+3t 2，v=dx/dt=10+6t，a=dv/dt=6 ，t=0 时，x=0,v=10将坐标原点向 x 轴正向移动 2m，即令 x=x-2，x=x+2，则运动学方程为：x=10t+3t 2-2，v=dx/dt=10+6t，v=v将计时起点前移 1s
12、，即令 t=t+1，t=t-1 ，则运动学方程变为：x = 10(t-1) + 3(t-1)2 = 10t 10 + 3t2 - 6t + 3 = 4t + 3t2 7v=dx/dt=4+6t，t=0 时，x= -7，v=4，加速度 a 不变。2.4.1 质点从坐标原点出发时开始计时，沿 x 轴运动，其加速度 ax = 2t (cms-2)，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后 6s 时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。初速度 v0=0； 初速度 v0 的大小为 9cm/s，方向与加速度方向相反。解： 200,2,20 tvtdtdadxvxx 31002020 ,)( ttttv
13、txx cmxttx 76)(;, 2313120 时 ， Smx7)(6路 程 txtvvx 9,993120 时 ， cx18)(令 vx=0，由速度表达式可求出对应时刻 t=3，由于 3 秒前质点沿 x 轴反向运动，3 秒后质点沿 x 轴正向运动，所以路程： cmxxS543618)93(218 )(2|(|0)| 2.4.2 质点直线运动瞬时速度的变化规律为：v x = -3 sint，求 t1=3 至 t2=5 时间内的位移。解： 53sin,sin353tdxtdtdxm82.)co(352.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为ax= -A 2cos t.在 t=0
14、时 ， vx=0,x=A，其中 A, 均为正常数。求此质点的运动学方程。解： ，tdAdvtAdtxx cos,cos/ 22tvt tx 0002 )(tAxtAtAx tdddtxttx cos),1(cos|cs(inini,/00第 2 章质点运动学习题解答 10 第 2 章质点运动学习题解答2.4.4 飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0 时速度为 v0，且坐标x=0，假设其加速度为 ax = - bvx2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。解： btvdtbvdtbvtdv xxx 00 |, 10tttt xxx 0000 ,1,1,1 )1ln( ,1
15、)(1,0 000btvx btvdbtvdtdtt2.4.5 在 195m 长的坡道上，一人骑自行车以 18km/h 的速度和-20cm/s 2 的加速度上坡，另一自行车同时以 5.4km/h 的初速度和 0.2m/s2 的加速度下坡，问：经多长时间两人相遇？两人相遇时各走过多长的路程？解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标 o-x，用脚标 1 表示上坡者，用脚标2 表示下坡者。两人的加速度实际上是相同的： 221/.0smahkvsmhkv xxt /5.1/4.5,/5/18 9,02001 1时 ，初 始 条 件 ：根据匀变速直线运动公式： 2212021 1.05995.tta
16、vxt 令 x1=x2，可求得相遇时间： 5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：v1=5-0.2t，令 v1=0，求得对应时刻 t=25s，所以，上坡者在 25s 前是在上坡，但 25s 后却再下坡。因此，上坡者在 30s 内走过的路程： mxxxS 65)301.5()2.05(2 )30(2|(|)| 11111 对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以 30s 内走过的路程：xxS 9)()|()3(| 2222.4.6 站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面，火车开动后经过t=24s，火车第
17、一节车厢的末尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车做匀加速运动。解：设每节车厢长为 L，以地为参考系，以人所在点为原点建立图示坐标 o-x，以第一节车厢的前端点为研究对象，t=0 时，前端点的坐标 x=0，速度 v=0，据匀加速运动公式：，令 x=L，求得： ，21atx24)(Lta24/tx令 x=6L，可求得第 6 节车厢尾端通过人时所需时间 t6：,24,4/662ttLt令 x=7L，可求得第 7 节车厢尾端通过人时所需时间 t7：24,/77222 ttt因此，第 7 节车厢通过人所需时间： stt 1.)6(46x0195a1a2v10 v202 10 x第
18、 2 章质点运动学习题解答 11 第 2 章质点运动学习题解答2.4.7 在同一铅直线上相隔 h 的两点以同样速率 v0 上抛二石子，但在高处的石子早 t0 秒被抛出，求此二石子何时何处相遇？解：以地为参考系，建立图示坐标 o-y。据题意，设 t=0 时，上面石子坐标y1=h,速度 v1=v0；t=t 0 时，下面石子坐标 y2=0，v 2=v0解法 1：根据匀变速直线运动的规律，可知 4121)()(, 202000 20212121 020 gtthgvytthtggtvytyth相 遇 时 石 子 坐 标 得， 代 入 或 中 ， 可 求求 得 相 遇 时 间有令 解法 2：可根据速度、
19、加速度的导数定义和初始条件，通过积分得到、，然后求解。2.4.8 电梯以 1.0m/s 的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板 0.50m 高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的 2 倍。由自由落体运动公式： ，可求21gth得从最高出落到地板所需时间： ，所以小孩做竖直上抛shgt 32.05/8.9/所需时间为 0.64s，在此时间内电梯对地下落距离：L = 1.00.64 = 0.64 m2.5.1 质点在 o-xy 平面内运动 ,其加速度为 ，位置和速度的初始条件
20、jtitasnco为：t=0 时， ，求质点的运动学方程并画出轨迹。irjv,解： jtijtitir tdjtirddv jtjtitj tjtiva tttjsncosn)1(co cos,)si(ss sin,)inco00 00 ,2yx2.5.2 在同一竖直面内的同一水平线上 A、B 两点分别以 30、60 为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求 A、B 两点间的距离。已知小球在 A 点的发射速度 vA=9.8 米/秒。解：以 A 点为原点建立图示坐标系，取发射时刻为计时起点，两点间距离为 S，初始条件如图所示。据斜抛规律有： gtvgtv Sxx BOyA
21、Oy 60sin30sincoco满足题中条件，在最高点相遇，必有 vAy=vBy=0,xA=xB mctggvStAOBA 83.2)605.3(cos2, 0( si/i,/si, 代 入 中 得 ：把 ， 得令 令 Y vAOvBO30 60A S B xyh0xy第 2 章质点运动学习题解答 12 第 2 章质点运动学习题解答2.5.3 迫击炮的发射角为 60发射速率 150m/s，炮弹击中倾角为 30的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离 OA.解：以发射点为原点，建立图示坐标 o-x，斜抛物体的轨迹方程为（见教材）：220cosxvgxty本题，=60，v 0=15
22、0m/s，A 点坐标 xA,yA 应满足轨迹方程，所以：2022036cs6AA xvgvtgxy 另外，根据图中几何关系，可知： OxA23cos，代入中，有：OyA213sin mgvAvg1538.9023,02021 2.5.4 轰炸机沿与铅直方向成 53俯冲时，在 763m 的高度投放炸弹，炸弹在离开飞机5.0s 时击中目标，不计空气阻力：轰炸机的速率是多少？炸弹在飞行中通过的水平距离是多少？炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？解：以投放点为原点，建立图示坐标 o-xy,设炸弹初速度（即轰炸机速度）为 v0. 由于炸弹在飞行过程中的加速度 ，所以炸弹jga在 x
23、方向做匀速直线运动，在 y 方向做竖直下抛运动，有 2100 53cos53sintvtv令 t=5.0s，y=763m，由可求得轰炸机的速率： smtgy /86.681.97cos. 220 将 v0 代入中，可求得炸弹击中目标时速度的水平分量： smx /053in86.21令 t=5，由可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量： svy /1.78.9cos.2.5.5 雷达监测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，他给出这样的信息：抛射体达到最大高度且正以速率 v 沿水平方向运动；观测员到抛射体的直线距离是 l；观测员观测抛体的视线与水平方向成 角。问：抛射体命中点到观测者的距离 D
24、等于多少？何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才命中目标？何种情况下抛体在未达到观察员以前就命中目标？解：以抛体所达最大高度处为计时起点和坐标原点，建立图示坐标 o-xy，抛体以速度 v 做平抛运动.设命中时间为 t1，由自由落体公式： glgl /sin2,sin2命中点 x 坐标为： ，由图中几何glvt/sin21关系，观测者的 x 坐标： 。所以，观测者与命中点间的距离：co2|/si|12lvlDxyA60 30v0xy0v053xyovl命中点观测者 x1x2第 2 章质点运动学习题解答 13 第 2 章质点运动学习题解答当 x1x2，即 时，则抛体在飞越观察员后才命中目标。sin2
25、collv2.6.1 列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为 S=80t-t2（m,s） ，t=0 时，列车在图中 O 点，此圆弧形轨道的半径 r=1500m，求列车驶过 O点以后前进至 1200m 处的速率及加速度。解：S=80t-t 2 v=dS/dt=80-2t 令 S=1200，由可求得对应时间： stt 20,6,0182 求 得将 t=60 代入 中，v=-40 ，不合题意，舍去；将 t=20 代入中，v=40m/s，此即列车前进到 1200m 处的速率。152)067.(/2.1)2( /.4/,/2 2arctgrtva smsrvsmdtn
26、nn所 成 夹 角 ：与 2.6.2 火车以 200 米/小时的速度驶入圆形轨道，其半径为 300 米。司机一进入圆弧形轨道立即减速，减速度为 2g。求火车在何处的加速度最大？最大加速度是多少？解：沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标 o-s，t=0 时，s=0,v=v 0=200km/h=55.56m/s。据题意 a = -2g，v=v 0+a t=v0 -2g t，a n=v2/R=(v0 2gt)2/R。 a=(a 2+an2)1/2=4g2+(v0 2gt)4/R21/2，显然，t=0 时，a 最大， 4mx /1./smRvg2.6.3 斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道上运动，当斗车达到
27、图中所示位置时，轨道曲率半径为 150m，斗车速率为 50km/h，切向加速度 a =0.4g，求斗车的加速度。解： 2/9.384.0. sg236152 6/)(/ mvnnan. 2222 /1.48.9. s加速度 与切向单位矢量 夹角：a6.92.381rctgrtn2.8.1 飞机在某高度的水平面上飞行，机身的方向是自东北向西南，与正西夹 15 角，风以100km/h 的速率自西南向东北方向吹来，与正南夹 45 角，结果飞机向正西方向运动，求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度。解： ，由矢量图可知，风 地机 风机 地 vv，其中，v 风地 =100km/h=27.78m/s，可求
28、15sin3si0in风 地机 风机 地得： smvsmvv /67.531in0,/89.7si 风 地机 地风 地机 风2.8.3 一卡车在平直路面上以恒速度 30 米/ 秒行驶，在此车上射出一个抛体，要求在车前B 120m C Bvu L v 1 u 2A A第一次渡河矢量图 第二次渡河矢量图东北OSaanavna30北东4515v 风地v 机地v 机风第 2 章质点运动学习题解答 14 第 2 章质点运动学习题解答进 60 米时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。解：以卡车为参考系，设抛体初速为 v0，由于要落回原抛出点，故方向只能竖直
29、向上，即抛体相对车只能作竖直上抛运动。取向上方向为正，抛体相对车任意时刻速度 v = v0 - g t 由题意，抛体落回原地所需时间 t = 60/30 = 2(s)，落到车上时的速度 v = - v0 ，把数值代入中，可求得 v0 = 9.8 m/s.2.8.4 河的两岸互相平行，一船由 A 点朝与岸垂直的方向匀速驶去，经 10min 到达对岸C 点。若船从 A 点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的 B 点，需要 12.5min。已知 BC=120m. 求：河宽 L；第二次渡河时船的速度 ；水流速度 v.u解：以船为运动质点，水为动系，岸为静系，由相对运动公式 vuvvv则 上 式
30、 可 改 写 为 ： 令， 在 这 里 ， 船 岸船 水水 岸水 岸船 水船 岸 ,由第一次渡河矢量图可知：v=BC/t 1=120/600=0.2m/s, u = L / t1 , L = u t1 . 由第二次渡河矢量图可知： 2 = L / t2 ， cos= 2/ u , v = u sin . 把、代入，求得 cos=t 1/t2=600/750=4/5, sin=(1-cos 2) 1/2=3/5 把、代入，求得 u = 0.25/3 = 1/3 (m/s). 再把 u 的数值代入，求得 L = 600/3 = 200(m).答：河宽 200 米，水流速度 0.2 米/秒；第二次渡河时，船对水的速度是 1/3 米，与河岸垂直方向所成角度 =arccos(4/5)=3652.2.8.5 圆形公路与沿半径方向的东西向公路相交如图，某瞬时汽车甲向东以 20km/h的速率行驶，汽车乙在 =30的位置向东北方向以速率 20km/h 行驶，求此瞬时甲车相对乙车的速度。解：由相对运动公式： ，21v，显然矢量三角形为等边三角形，所以，212vv12=20km/h，方向向东偏南 60v1v2 v12v130
