1、 - 1 - 張輝鑫老師 金融市場 年金 論 的筆記 與 計算例整理 壹 年金 的 定義 所謂 年金 (Annuity)， 是指權利義 務 雙方，約定 於 未來一定期間，區分為 相同時間 的數期，每期一收一付一筆 相同的金額 。 此現金流量，謂之年金。 年金三要素： 1. 每期所 收付 金額相同 ； 2. 每 期收付所間 隔的時間固定 ； 3. 計算 每 期收付現金 之現值與終值時 ，均須以 複利 計息。 貳 年金的種類： 年金的種類， 按其每期收付之時點，區分為四種， 一 .普通 年 金 (Ordinary Annuity)： 年金於每期期末為收付者，謂之普通年金。 二 .到期 年金 (An
2、nuity Due)：年金於每期期初為收付者，謂之到期年金。 三 .遞延普通年金 (Deferred Ordinary Annuity)： 普通 年金於 遞延數期之後，才開始於其後 每期期末為收付者，謂之 遞延 普通年金。 四 .遞延 到期年金 (Deferred Annuity Due) ：到期年金於遞延數期之後，才開始於其後每期期初為收付者，謂之遞延到期年金。 一般稱普通年金為期末年金，蓋其年金之收付係發生於每期期末。 一般稱到期年金為期初年金，蓋其年金之收付係發生於每期期初。 參 年金的應用 一、普通年金現值 普通 年金為 權利義務 雙方約定於未來一段期間，區分數期，每期期末收付一筆固定
3、金額。 今欲求該 普通 年金於合約伊始 (年金契約成立之初 )時之現值若干。 公式推導 若每期期末 收付 1 元，每年 收付 1 次，則此 N 年 計 N 次 之期末年金總現值為每期年金現值之和。 期初現值 PV1)1( 1i+2)1( 1i+3)1( 1i+ +1)1( 1 Ni+Ni)1( 1 等號兩邊同時乘以 (1+i)，得 (1+i)PV 1+1)1( 1i+2)1( 1i+ +2)1( 1 Ni+1)1( 1 Ni 以第 式 減第 式 ， 得 iPV 1 - Ni)1( 1移項後得 PVNNii i )1( 1)1( 故知： (一 ).所 解得 PVNNii i )1( 1)1( (
4、公式 3-1) 這 是每年 收付 1 元 ， 連續 N 年的 普通 年金期 初現 值 (二 ).若每期存 Po 元，則 此 普通 年金之期初現值 為 - 2 - 得 PV Po NNii i )1( 1)1( (公式 3-2) 這是每年 收付 Po 元 ， 連續 N 年的 普通年金期初現值 (三 ).若 繼續 將 年金之 收付由 每年 改每月 收付 1 次，則 此普通年金之期初現值 為 PV Po NNiii1212)121(121)121( (公 式 3-2) 這是 每月 收付 Po 元 ， 連續 N 年的 普通年金期初現值 (以上三段思維，適用於各種年金現值與終值求解之推論 ) 例：某甲上
5、市公 司 利用市場利率水準較低時，發行一檔固定利率公司債 。 已知其發行量為新台幣六十億元，發行條件為七年期，固定票面利率 2.125%，每年付息一次，到期一次還本 。某乙投資人於發行日買進該期次公司債，成交面額為新台幣五仟萬元，買進殖利率為低於票面利率的 2.0075%。 詴問某乙於 買進 交易日應給付買進價金若干 ? 某乙於持有該批 公司債 一年又 九個月後 ， 預期市場利率水準行將走揚，遂以更低於取得成 本的 當時市價 1.85% 賣斷給某丙投信公司 。 詴問某乙 賣斷之日其應收成交價金若干？某乙 買賣該批公司債損益若干 ? 投資報酬率若干 ? (本題不考慮稅費成本 ) 分析 ： (1)
6、. 買賣 債券的成交總金額，將等於成交日後所有還本付息現金流量的總折現值 。 其折現率即為成交殖利率 。 故本題求算債券成交總金額 ，研判本題當 適用普通年金求算年金現值的計算 。 (2). 依馬凱爾債券價格定理 1，債券價格與 殖 利率呈反向變動 。 (3). 某甲公 司 債為七年期，每年付息一次，到期一次還本 ，故其 還本付息現金流量 ，可區分為七次的付息現金流量 ，以 及第七年到期日時的一次 還本現金流量 。 某甲公 司 債七次的付息現金流量 ，其金額 為成交總面額乘以固定票面利率，故每 年付息現金流量為一常數 。 至到期日的還本現金流量 ，即 買進時之 成交總面額 。 (4). 某乙持
7、有該券一年又九個月後將債券再賣給某丙，該成交日距債券到期日尚剩餘 5 年又 3 個月，或 5.25 年。某乙自己已參加除息一次。一般債券計價，當交易日非恰是還本付息日時，仍應依分析 (1)所述，買賣 債券的成交總金額，將等於成交日後所有還本付息現金流量的總折現值 。 其折現率即為成交殖利率。但計算每一期次的還本付息現金流量的折現值時 ，折現因子之冪次，應代入該次現金流量距離成交日之實際年數。 本題因某乙已除息一次，故尚餘 6 次除息及一次還本現金流量。 1 馬凱爾債券價格五大定理 (Malkiel) (一 ) 債券價格與殖利率成反向關係 (二 ) 到期時間越長，債券價格對殖利率之敏感性越大 (
8、三 ) 債券價格對利率敏感性之增加程度隨到期時間延長而遞減 (四 ) 殖利率下降使價格上漲的幅度、高於利率上揚使價格下跌的幅度 (五 ) 低票面利率債券之利率敏感性高於高票面利率債券 - 3 - 解 1： 依分析 (3)， 本題應選用普通年金現值公式 3-2 先求算利息現金流量之折現值，再加計期末還本現金流量之折現值。設 Po 是本債券每期次給付之利息， Pr 是到期還本金額 ， PV 是成交總金額。 依 PV Po NNii i )1( 1)1( +Ni)1( Pr (50,00,000 2.125% ) 77%)0075.21(%0075.2 1%)0075.21( +7%)0075.21
9、( 000,000,50 6,874,508.48446 + 43,505,611.39645 50,380,119.88091 應取正整數 50,380,120 元 某乙買進某甲公司債應付交割總價金 答 1 解 2：依分析 (4)， 某乙賣斷債券給某丙之成交總金額，為 賣斷 成交日之後全部還本付息現金流量的總折現值 。 其折現率為賣出殖利率。 依 PV tiCFt)1( t=05 ， CFt 是成交日後第 t 期現金流量， i是本交易之到期殖利率 ，故 PV 123%)85.11(%125.2000,000,50 +1231%)85.11(%125.2000,000,50 +1232%)85
10、.11(%125.2000,000,50 + 1233%)85.11(%125.2000,000,501234%)85.11(%125.2000,000,50 +1235%)85.11(%125.2000,000,50 + 1235%)85.11(000,000,50前六項是付息流量折現值 ， 最後一項是還本的折現值 1.057,641.97965+1,038,431.00604+1,019,568.97991+1,001,049.56300 +982,866.53215+965,013.77727+45,412,413.04814 51,476,984.88616 取正整數後，得 51,47
11、6,985 元 某乙賣出某甲公司債應收交割總價金 答 2 (請注意，計算時應保留全部精密度，切勿任意截取小數位數 ) 某乙買賣債券之毛利 為 Pf1 51,476,985 50,380,120 1,096,865 元 但某乙參加除息一次，應再加入該 次 債息收益 Pf2 1,096,865 + 50,000,000X2.125% 1,096,865 +1,062,500 2,159,365 元 此某乙投資總淨利 答 3 故某乙買 入 債券 持有一年又九個月後再賣出 之投資報酬率為 - 4 - RR %1 0 0129111 2 0,3 8 0,50 3 6 5,1 5 9,2 2.44923
12、% 只比票面利率 2.125 % 稍高 答 3 【討論】為什麼 當交易日非恰是還本付息日時， 不再套用年金公式來求算債券成交 總金額？ 答 ： 買賣 債券的成交總金額，將等於成交日後所有還本付息現金流量的總折現值 ， 其折現率即為成交殖利率 ， 這個原則不 論 交易日 是否 恰是還本付息日 否 ， 都是不變的。但當 交易日 非 是還本付息日 時，從交易日來看其後的 還本付息 現金流量，已非年金定義中所謂 於未來一定期間，區分為 相同時間 的數期，每期一收一付一筆 相同的金額 ，以本題為例，交易日後現金流量發生於 0.75 年、 1.75年、 2.75 年乃至 5.75 年 。 故不能 套用年金
13、公式來求算債券成交總金額 。 二、普通年金終值 普通 年金為雙方約定於未來一段期間，區分數期，每期期末收付一筆固定金額。 今欲求該 普通 年金於合約終了時之終值若干。 公式推導 若每期期末 收付 1 元，每年 收付 1 次，則此 N 年 計 N 次 之期末年金終值為每期年金終值之和。 期末終值 FV (1+i) 1N +(1+i) 2N +(1+i) 3N + 1 等號兩邊同時乘以 (1+i)，得 (1+i)FV (1+i)N +(1+i) 1N + (1+i) 2N + +(1+i) 以第 式 減第 式 ， 得 iFV (1+i)N - 1 移項後得 FV ii N 1)1( 故知： (一
14、).解得 FV ii N 1)1( (公式 3-4) 每年 收付 1 元連續 N 年的普通年金期 末終 值 (二 ).若每期 年金改為 Po 元，則此 普通 年金之期 末終 值為 得 FV Po ii N 1)1( (公式 3-5) 每年 收付 Po 元連續 N 年的普通年金期 末終 值 (三 ).承上， 若將年 金之 收付由每年 改 為 每月收付 1 次，則此普通年金之期 末終 值為 FV Po 121)121( 12ii N (公式 3-6) 這是每月 收付 Po 元連續 N 年的普通年金期 末終 值 (以上三段思維，適用於各種年金現值與終值求解之推論 ) 例：某 信用卡公司與某人壽公司共
15、 推 一個專案， 鼓勵投資人每天預備 59元的保險費， 每個月 以- 5 - 信用卡卡費繳納該月的總 保費 金額，連續繳納 15年， 即 可享有 150 萬的死亡保險，並且於15 年後可以全數領回所繳納的費用。這 段 期間也享有一定額度的醫療及死亡保險。 求 算 此15 保險契約 的年金終值及 年金現值 分別 是多少 ? (按：本題設算 年利率 為 1.5%) 分析 ：每天 59 元，每月 以 30 天計為 1,770 元， 且 按此種以卡費繳納保險慣例，現金流量 發生在 保單 簽約 生效後 每月之 末 ，故研判 本題為 按月收付 1770 元 保費的普通年金題目 。 解： 一，依 公式 3-
16、3， 先計算年金現值 PV Po NNiii1212)121(121)121( ，代入題目所給數值， PV 1,770 15121512)12%5.11(12%5.11)12%5.11( 285,142.15091 取整數 285,142 元 答 1 二 其 次計算年金終值 FV Po 121)121( 12ii N FV 1770 12%5.11)12%5.11( 1512 357,039.82248 357,040 元 答 2 例： 某甲在民國 99 年 3 月 15 號向某乙買進一批公債 (央債 98-5)，總成交面額 5 千萬，成交殖利率 1.99，請問某甲交割買斷價金多少 ？其中應收
17、利息及債券價格各若干 ? 註：凡計算債券交易題，有幾個步驟很重要 1.查明交易標的發行條件。公債 可在 央行查 詢 ，公司債 可在櫃買中 心 OTC 查 詢 。 2.中央銀行的中央公債 發行 概況表 ，其 網 址為 http:/www.cbc.gov.tw/public/Data/0351483971.xls 3.畫出債券還本付息現金流量圖 ， 現金流量圖必須包括 債券的 發行日、成交日、 到期日、成交日前後 各 一個付息日， 均須標示其日期 - 6 - 4.標示交易日後每一次還本付息現金流量 5.計算成交日距離前後一個付息日的天數，如成交日距離後一個付息日跨過潤年 的 2/29 日，則必須注
18、意計算債券價格時，折現因子的冪次，可能一年日數要 用 366，而非慣常的 365 天 6.計算 債券成交 總金額 (特別提醒這不叫 債券價格 ，而稱為 成交 總 金額、 成交金額、 買賣價金或交割價金 ) 7.分解計算債券成交總金額 = 債券價格 + 應計利息 (對買方言是向央行應收， 對賣方言是實現利息收益 )。債券價格交易價金當中不含應計利息的部分。 8.依債券價格計算每百元除息價格 。將債券價格換算成切割成每百元面額的價格， 以利報價。 9.計算債券成交條件下的馬克雷存續期間 解： 先查明交易標的發行條件。 1.查明交易標的發行條件。公債去央行查，公司債去 OTC 查。 http:/ww
19、w.cbc.gov.tw/lp.asp?ctNode=690令 y=365120 則 PV= yX0250,21 yX1250,21 yX2250,21 +yy XX 1919 000,000,1250,21令 H = yX1 yX11 yX21 +yX191 1 亦即 PV = 21,250H + yX 19000,000,1等號兩邊同時乘以 X 得 XH = 11yX yX1 yX11 +yX181 2 今以 2 - 1 得 (X-1)H = 11yX yX191= yX1 - yX 19 故 H = 1X 19y-1 X X y 得 PV = 21,250 1X 19y-1 X X y
20、+ yX 19000,000,1代入數值 PV = 21,250 %7 8 2 5.1 0 1 7 8 2 5.1 1 . 0 1 7 8 2 5 365120 19365120 - 1 + 365120 19017825.1000,000,1= 21,250 %7825.1 7 1 0 7 0 3 0 3 2.021 . 0 1 1 9 2 9 9 4 + 407057455.1 00,000,1 = 359,106.4144 + 710,703.0324 = 1,069,809.4468 此為每百萬元成交總金額 故一億元交易成交總金額為 - 9 - (000,000,1 000,000,1
21、00)PV = 106,980,944.68 取四捨五入正整數為 $106,980,945 元 (2).應收債息 為 面額 100,000,000 2.125% 365120365 =$1,426,370 元 (3).債券價格 為 $106,980,945-$1,426,370 =$105,554,575 元 (4).修正後馬克雷存續期間為 16.35484003 取 16.3548 年 註：本題成交殖利率如買方能議價升到 1.7835%，則答案如下： 答： (1).某甲應付交割價金 為 $106,964,189 元 答 1 (2).應收債息 為 $ 1,426,370 元 答 2 (3).債
22、券價格 為 $105,537,819 元 答 3 (4).修正後馬克雷存續期間為 16.35419832 取 16.3542 年 .例：某甲以定期定額方式，投資共同基金，每月投資 NT$5,000，已知基金每年平均 報酬率為 25%，若擬於到期值達 800 萬時，一次贖回。詴問某甲應連續至少 投資多少年又幾個月 ? . 解： FV Po121)121( 12ii N 移項整理後，得 NiiPFV 12)121(1120 在等號兩邊同時取對數 Log( )121(12)121()1120 12 iL o gNiL o giPFV N N = )121(12)1120(iLogiPFVLog =
23、)12%251(12)112%25000,5 000,000,8(L ogL og =14.2912987(年 ) 尾數 0.2912987 12 3.49558(月 )，今當無條件進位取 4 個月 答：某甲應連續至少投資 14 年又 4 個月 例：某甲以定期定額方式投資某共同基金，每月投資 NT$5,000 元。若某甲擬於連續投資 20 年期滿日一次贖回 12,000,000 元。詴問該基金年平均報酬率至少幾 %？ (請求算到小 數點第 5 位 ) 解： FV Po121)121( 12ii N 移項整理後， 本題 FV、 Po、 N 三者已知，求 i 答： 18.07245 % 請注意：
24、或謂 題目要求解到小數後第 5 位 ， 則 必須求算到小數點後第 6 位再取四捨五入。此說為非。正確的答案，應該是直接求算到小數點後第 6 位，俟可贖回資產價值已逾原定 目標，再無條件進位取小數點後第 5 位，這才是答案。 - 10 - 理由：若依原來所說解法，求算到小數點後第 6 位再取四捨五入，則將此解代回原式測算基金資產價值累積金額時，可能驗算結果仍不足所要求的目標。 例：某甲自 民國 89 年起，即以定期定額方式投資某乙基金，每月投資 NT$5,000 元，已知乙基金年平均報酬率為 18.5%。某甲於連續投資十年期滿，將基金一次贖回，全額轉存到銀行，承做一年期整存整付定存業務，利率均為
25、 0.85%，每屆滿期就續做，從不提現。某甲之同學某丙於六年後的民國 95 年，才驚覺投資理財的重要性，即洽投信公司以定期定額方式投資某丁基金，每月投資 NT$5,000 元，已知丁基金年平均報酬率亦為9.75%。詴問，某丙應連續投資多少年又幾個月，其基金資產累積淨額，才能超越某甲的理財資產淨額。 解：某丙必須連續投資 14.361843 年，其累積基金資產才能超越某甲。即某丙必須連續 投資 14年又 5 個月，其累積基金資產才能超越某甲。 下表為甲丙二人歷年資產累積差異狀況 甲投資年數 甲累積資產 丙投資年數 丙累積資產 甲丙資產差異 1 65358 2 143888 3 238242 4
26、351611 5 487827 6 651492 7 848140 1 62755.21214 785385 8 1084417 2 131910.0263 952507 9 1368308 3 208117.0562 1160191 10 1709409 4 292095.4671 1417314 11 1723996 5 384637.7629 1339358 12 1738707 6 486617.2647 1252090 13 1753544 7 598996.3526 1154547 14 1768507 8 722835.5474 1045671 15 1783598 9 8593
27、03.519 924295 16 1798818 10 1009688.115 789130 17 1814167 11 1175408.514 638759 18 1829648 12 1358028.618 471619 19 1845261 13 1559271.813 285989 20 1861007 14 1781037.23 79970 20.1 1862589 14.1 1804421.286 58168 20.2 1864172 14.2 1828033.521 36139 20.3 1865757 14.3 1851876.163 13881 20.4 1867343 14.4 1875951.459 -8609 20.31 1865915 14.31 1854273.186 11642
