1、-_第一讲 函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数： ，图像关于原点对称。)(xff偶函数： ，图像关于 y 轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设 是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则，（1）若 ，则 是比 高阶的无穷小量。0lim（2）若 （不为 0） ，则 与 是同阶无穷小量cli特别地，若 ，则 与 是等价无穷小量1li（3）若 ，则 与 是低阶无穷小量lim记忆方法：看谁趋向于 0 的速度快，谁就趋向于 0 的本领高。4、两个重要极限（1） 100xxsinlsil使用方法：拼凑 ，一定保证拼凑
2、 sin 后面和分母保持一致000sinlml（2） exxx101)(lilime0)(li使用方法 1 后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。5、 mnbaXQxPmnx,li0-_的最高次幂是 n, 的最高次幂是 m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速xPnxQm度快。 ,以相同的比例趋向于无穷大； ，分母以更快的速度趋向于无穷大； ，分子以更快的nmn速度趋向于无穷大。7、左右极限 左极限： Axfx)(li0右极限： 0 Axfff xxx )(lim)(li)(lim000充 分 必 要 条 件 是注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极
3、限求解。8、连续、间断连续的定义： )(lili 000ffyxx或 )0f间断：使得连续定义 无法成立的三种情况(lim00fx)(li)(000xffx不 存 在 无 意 义不 存 在 ，记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等9、间断点类型（1） 、第二类间断点： 、 至少有一个不存在)(lim0fx )(li0fx（2） 、第一类间断点： 、 都存在00)(lim)(li00 xfxfx跳 跃 间 断 点 ：可 去 间 断 点 ：注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点” ，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”
4、，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质（1） 最值定理：如果 在 上连续，则 在 上必有最大值最小值。)(xfba,)(xfba,（2） 零点定理：如果 在 上连续，且 ，则 在 内至少存在一 0f)(xfba,点 ，使得 0)(f-_第三讲 中值定理及导数的应用1、 罗尔定理如果函数 满足：（1）在闭区间 上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）)(xfyba,，则在(a,b)内至少存在一点 ，使得)(baf 0)(f记忆方法：脑海里记着一幅图：2、 拉格朗日定理如果 满足（1）在闭区间 上连续)(xfyba,（2）在开区间（a,b）内可导；则在(a,b)内至少存在一点 ，使
5、得aff)()(脑海里记着一幅图：ab（*）推论 1 ：如果函数 在闭区间 上连续，在开区间（a,b）内可导，且 ，那么)(xfya, 0)(xf在 内 =C 恒为常数。),(ba(xf记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为 0。（*）推论 2：如果 在 上连续，在开区间 内可导，且 ，)(,xgfba, ),(ba),()(baxgf那么 cxgf)(记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等3、 驻点 b-_满足 的点，称为函数 的驻点。0)(xf )(xf几何意义：切线斜率为 0 的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设 在点 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点 x,有 ，则
6、称 为函数)(f0 )(0xf)(0xf的极大值， 称为极大值点。xx设 在点 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点 x,有 ，则称 为函数)(f0 )(0f)(0f的极小值， 称为极小值点。记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。5、 拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。注 在原点即3xy是拐点6、 单调性的判定定理设 在 内可导，如果 ，则 在 内单调增加；)(xf,ba0)(xf)(xf,ba如果 ，则 在 内单调减少。0)(f,ba记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加， ；0)(xf在图像上凡是和左手向上趋势
7、吻合的，是单调减少， ；7、 取得极值的必要条件可导函数 在点 处取得极值的必要条件是)(xf0 0)(xf8、 取得极值的充分条件第一充分条件：设 在点 的某空心邻域内可导，且 在 处连续，则)(f0 )(f0（1） 如果 时， ; ,那么 在 处取得极大值 ；x0)(f xx时 ， )(xf0)(0xf（2） 如果 时， ； ，那么 在 处取得极小值 ；0 )(0f时 ，（3） 如果在点 的两侧， 同号，那么 在 处没有取得极值；)(f 0-_记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。第二充分条件：设函数 在点 的某邻域内具有一阶、二阶导数，且 ，)(xf0
8、0)(xf)(0xf则 （1）如果 ，那么 在 处取得极大值 ；)(xf0（2）如果 ，那么 在 处取得极小值)(0f )(0f9、 凹凸性的判定设函数 在 内具有二阶导数， （1）如果 ，那么曲线 在 内凹的；)xf,ba ,)baxf )(xf,ba（2）如果 ，那么 在 内凸的。),( (xf,ba图像表现：凹的表现 凸的表现10、 渐近线的概念曲线 在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。)(xf（1） 水平渐近线：若 ,则 有水平渐近线Axfx)(lim)(xfyAy(2) 垂直渐近线：若存在点 ， ，则 有垂直渐近线0x)(lif)(xfy0x（2） 求斜渐近线：若
9、 ，则 为其斜渐近线。baxfaxfx)(lim,)(li baxy-_11、 洛必达法则遇到“ ” 、 “ ”，就分子分母分别求导，直至求出极限。0如果遇到幂指函数，需用 把函数变成“ ” 、 “ ”。)(lnxfef0第二讲 导数与微分 1、 导数的定义（1） 、 )(limli)( 0000 xfxfyxfxx（2） 、 hffh)(li0（3） 、 00)li)(0xfxfx注：使用时务必保证 后面和分母保持一致，不一致就拼凑。2、 导数几何意义： 在 处切线斜率)(0f0法线表示垂直于切线，法线斜率与 乘积为1)(0xf3、 导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆
10、。4、 求导方法总结（1） 、导数的四则运算法则 vu)(2v（2） 、复合函数求导：是由 与 复合而成，则xfy)(ufy)(x-_dxuy（3） 、隐函数求导对于 ，遇到 y，把 y 当成中间变量 u，然后利用复合函数求导方法。0),(F（4） 、参数方程求导设 确定一可导函数 ，则)(tyx)(xfy)(tdxydtxdxy)()(2(5) 、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导（6） 、幂指函数求导幂指函数 ，利用公式)(xvuyaeln然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。)(ln)()(ln)( xuxvxuev 第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，
11、再对等号两边分别求导注：优选选择第二种方法。5、 高阶导数对函数 多次求导，直至求出。)(xf6、 微分dy记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加 ，不需要单独记忆。dx7、 可微、可导、连续之间的关系可微 可导可导 连续，但连续不一定可导8、 可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图（1） （2）-_在 x=0 既连续又可导。 在 x=0 只连续但不可导。2xyxy所以可导比连续的要求更高。第四讲 不定积分一、原函数与不定积分1、 原函数：若 ，则 为 的一个原函数；)(xfF)(Fxf2、 不定积分： 的所有原函数 +C 叫做 的不定积分，记作f )( CxFdf)()(二、不定积分公式记
12、忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、 dxfxfdfdxf )()()()(或2、 c注：求导与求不定积分互为逆运算。四、 积分方法1、 基本积分公式2、 第一换元积分法（凑微分法）把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。3、 第二换元积分法 baxtbax令,三角代换 txxtanseci22令令令三角代换主要使用两个三角公式： ttt 2222 secan1,oi 4、 分部积分法 vduu第五讲 定积分1、定积分定义niiixba xfdf10)(lm)(如果 在 上连续，则 在 上一定可积。,ba,-_理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形
13、成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。2、定积分的几何意义（1） 如果 在 上连续，且 ，则 表示由 ， x 轴所围成)(xfba,0)(xfbadxf)()(f,ba的曲边梯形的面积。S= 。ad（2） 如果 在 上连续，且 ， S= 。)(f,)(fbaf)(3、定积分的性质：（1） badxkfbaxf)(（2） =g)(dbaxg)(（3） cacbaff)(（4） abdfxdx)(01 badxf)(（5）如果 ，则)(gfabaxgf)(（6）设 m,M 分别是 在 的 min, max,则f,)()()(MdxabmbMm
14、记忆：小长方形面积 曲边梯形面积 大长方形面积（7）积分中值定理如果 在 上连续，则至少存在一点 ，使得)(xfba, ba,)()(abfdxfba记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。称 为 在 上的平均值。badxf)(1)(fba,4、 积分的计算（1） 、变上限的定积分-_xaxfdtf)()(注：由此可看出来 是 的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有xadtf)()(xf一个是 而不是 t（2） 、牛顿莱布尼兹公式设 在 上连续， 是 的一个原函数，则)(xfba,)(xFf)(abdfaa 由牛顿公式可以
15、看出，求定积分，本质上就是求不定积分，只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。 分 部 积 分 法第 二 换 元 积 分 法 分 法 ）第 一 换 元 积 分 法 （ 凑 微基 本 积 分 公 式5、 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分（1） 、若 在 上为奇函数，则)(xfa,0)(xfa（2） 、若 在 上为偶函数，则 aadxf)(2注：此方法只适用于对称区间上的定积分。6、 广义积分（1） 无穷积分caa dxfdxf)(lim)(bcbcfff )()()(7、 定积分关于面积计算xf)(xg面积 ，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界 上的定积分。dxgfSba)( ba,d)(yx)(y
