1、1数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和 7 种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： dnanS2)1(2)(112、等比数列求和公式： )()(11 qqnnn3、 4、)(21kSn )12(612nkSn5、 213)(nk例 1 已知 ，求 的前 n 项和.xnxx32解：由等比数列求和公式
2、得 （利用常用公式）nnxS32 1xn1)(2)(nn例 2 设 Sn1+2+3+n ，nN *,求 的最大值.1)3()nSnf2解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）)1(2nSn )2(1nSn 1)32()nnf 643 6450)8(2n1 当 ，即 n8 时，)(maxf二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a n b n的前n 项和，其中 a n 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例 3 求和： 132)2(7531nxxS解：由题可知， 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积1)(n 1nx设 .
3、 （设制错位）nn xxxx )1(432得 （错位相减 ）nnn xS )12(21)( 1432再利用等比数列的求和公式得： nnxSx1)( 2)()(2Snn 例 4 求数列 前 n 项的和.,264,3解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积n n21设 nnS232 （设制错位）1461得 （错位相减 ）1432 2)( nn1n 24nS3练习题 1 已知 ，求数列 an的前 n 项和 Sn.答案：练习题 的前 n 项和为_答案：三、逆序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以
4、得到 n 个 .)(1a例 5 求证： nnCC2)1(2(5320 证明： 设 . nnnS1把式右边倒转过来得（反序）0113)2()( nnnn 又由 可得mnC. nnn CS110)()1(+得 （反序相加）nn2)1()20 nn)(题 1 已知函数（1）证明： ；（2）求 的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1 ）小题已经证明的结论可知，4两式相加得：所以 .四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 7 求数列的前 n 项和： ，23
5、1,7,412naa解：设 )()()() 1S将其每一项拆开再重新组合得（分组）)2374()11(2 naann当 a1 时， （分组求和）3(Sn2)1当 时， )(1nann2)13(1nan例 8 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设 kkak23)2( nkS11)(23nk将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组）nknkk121312 )21()(3)( 223 nn （分组求和）()2)nn )(15五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解
6、 （裂项） 如：（1） （2）)(1(nffan nnta)1ta()cos(1i （3） （4）)(n )12()2(an（5） )(1)(21)( an(6) nnnnnn S2)1(,2)()()( 1 则（7） (1)(1CABCABan （8） 1nn例 9 求数列 的前 n 项和.,1,32,解：设 （裂项）nna1则 （裂项求和）132nSn )()()1( n例 10 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项的和.121nan 12nnab解： 2n （裂项）)1(82nb 数列b n的前 n 项和6（裂项求和）)1()413()21()(8 nSn 8n（2009
7、年广东文）20.（本小题满分 14 分）已知点（1， ）是函数 且 ）的图象上一点，等比数列 的前 n 项和为3,0()axf 1a,数列 的首项为 c，且前 n 项和 满足 = + （n 2）.cnf)(nb0(nS1nS1（1）求数列 和 的通项公式；a（2）若数列 前 n 项和为 ，问 的最小正整数 n 是多少?1nbnT20910.【解析】 （1） 3faQ, 3xf11afc , 21fcfc29,3 7f .又数列 na成等比数列，2134183ac，所以 1；又公比 213qa，所以12nnn*N ；111nnnnSSSSQ2又 0b, , ；数列 n构成一个首相为 1 公差为
8、1 的等差数列， nn ， 2S当 2， 22nSn ；1nb( *N)；（2） 12341n nTbbL 11357(2)nK52721nK 12n；由 1029nT得 0n，满足 09nT的最小正整数为 112.7练习题 1. .练习题 2。 =答案：求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法练习数列 na满足 11543nnSa， ，求 na注意到 1nn，代入得 n；又 1S， n是等比数列， 4nS2时， 1134nnaS（2）叠乘法如：数列 n中， 11na， ，求 na解 321123na， 1n又 13， na.（3）等差型递推公式由 110()nafa， ，求 n，用迭加法2
9、时，231()nfaf两边相加得 1(2)3()naffn 0()()nff8练习数列 na中， 1132na， ，求 na（ 132n）已知数列 满足 ， ，求 。n21n2n解：由条件知： 1)(1 an分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即)(,3,2nn)()( 13412 aaa)1() n所以 nn1，2a23（4）等比型递推公式 1nacd（ 、 为常数， 010cd， ， ）可转化为等比数列，设 1nnnaxxacx令 (1)cxd， 1c， 1nc是首项为 1， 为公比的等比数列 11nna， 11nndac（5）倒数法如： 112nnaa， ，求 n由已知得： 11nn， 12na na为等差数列， 1a，公差为 ， 12nn， 21
