1、 你的首选资源互助社区典型例题一例 1：已知正方体 1-DCBA求证：平面 /1平面 证明： 1-B为正方体， CAD1/， 又 平面 ，故 /1平面 B1同理 D平面 C又 11A， 平面 /B平面 D说明：上述证明是根据判定定理 1 实现的本题也可根据判定定理 2 证明，只需连接 CA1即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离典型例题二例 2：如图，已知 /， aA， /求证： a证明：过直线 作一平面 ，设 1， b / ba1又 /在同一个平面 内过同一点 A有两条直线 1,a与直线 b平行 a与 1重合，即 a说明：本题也可以用反证法进行证明 你的首选资源互助社区典型例题三例 3：
2、如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交已知：如图， /， Al求证： l与 相交证明：在 上取一点 B，过 l和 作平面 ，由于 与 有公共点 A， 与 有公共点 B 与 、 都相交设 a， b / b又 l、 a、 都在平面 内，且 l和 a交于 A 与 相交所以 l与 相交典型例题四例 4：已知平面 /， AB， CD为夹在 a， 间的异面线段， E、 F分别为 AB、 CD的中点求证： EF， 证明：连接 并延长交 于 G CDAG ， 确定平面 ，且 AC， DG /，所以 G/， DFAC，又 ， ， 你的首选资源互助社区 ACF DG 又 BE， /， 故 F
3、同理 /E说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理典型例题六例 6 如图，已知矩形 ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为 1A、 B、 1C、 D，且 1A、 B、1C、 D互不重合，也无三点共线求证：四边形 1是平行四边形证明： 1A， D /不妨设 1和 确定平面 同理 B 和 C确定平面 又 1/A，且 1 同理 /D又 A1 /又 1D， 1CB 1/BA同理 你的首选资源互助社区四边形 1DCBA是平行四边形典型例题七例 7 设直线 l、 m，平面 、 ，下列条件能得出 /的是（ ） A l， ，且 /l， / B l， m，且 l/C ， ，且 D /， /，且分析：选项
4、 A 是错误的，因为当 ml/时， 与 可能相交选项 B 是错误的，理由同 A选项 C是正确的，因为 l， l/，所以 ，又 ， /选项 D 也是错误的，满足条件的 可能与 相交答案：C说明：此题极易选 A，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况典型例题八例 8 设平面 平面 ，平面 平面 ，且 、 分别与 相交于 a、 b， /求证：平面 /平面 分析：要证明两平面平行，只要设法在平面 上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与平行（如图） 证明：在平面 内作直线 P
5、Q直线 a，在平面 内作直线 MN直线 b平面 平面 ， 你的首选资源互助社区 PQ平面 ， MN平面 ， /又 pa， a， b，平面 /平面 说明：如果在 、 内分别作 PQ， MN，这样就走了弯路，还需证明 PQ、 MN在 、内，如果直接在 、 内作 a、 b的垂线，就可推出 PQ/由面面垂直的性质推出“线面垂直” ，进而推出“线线平行” 、 “线面平行” ，最后得到“面面平行” ，最后得到“面面平行” 其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要典型例题九例 9 如图所示，平面 /平面 ，点 A、 C，点 DB、 ， aA是 、 的公垂线，CD是斜线若 bBDA， c，
6、M、 N分别是 和 的中点，(1)求证： /MN；(2)求 的长分析：（1）要证 /MN，取 AD的中点 P，只要证明 MN所在的平面 /P为此证明/P， /即可(2) 要求 之长，在 CA中， 、 的长度易知，关键在于证明CDN，从而由勾股定理可以求解证明：(1)连结 A，设 P是 的中点，分别连结 、 是 B的中点， B/又 ， M同理 是 的中点， ACN/ C， / /， P，平面 / 你的首选资源互助社区 MN平面 P， /MN(2)分别连结 C、 D bBA， aB21，又 是 、 的公垂线， 90DBCA， Rt t， ， DMC是等腰三角形又 N是 的中点， N在 t中， 22
7、241cab说明：(1)证“ 线面平行”也可以先证“面面平行” ，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行” ，这是一种以退为进的解题策略(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解(3)面面平行的性质：面面平行，则线面平行；面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行典型例题十例 10 如果平面 内的两条相交直线与平面 所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是_分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究解：设 a、 b是平面 内两条相交直线(1)若 、 都在平面 内， a、 b与平面 所成的角都为 0，这时 与 重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑(2)若 a、
8、b都与平面 相交成等角，且所成角在 )9,(内； 、 与 有公共点，这时 与 相交若 、 都与平面 成 90角，则 ba/，与已知矛盾此种情况不可能(3)若 a、 b都与平面 平行，则 、 与平面 所成的角都为 0， 内有两条直线与平面 平行，这时 /综上，平面 、 的位置关系是相交或平行典型例题十一 你的首选资源互助社区例 11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行已知： 平 面A，求证：过 有且只有一个平面 /分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可证明：在平面 内任作两条相交直线 a和 b，则由 A知， a， bA点 A和直线 a可确定
9、一个平面 M，点 和直线 可确定一个平面 N在平面 、 N内过 A分别作直线 /、 /，故 、 b是两条相交直线，可确定一个平面 a， ， a/， /同理 /又 ， b， Ab， /所以过点 A有一个平面 /假设过 点还有一个平面 /，则在平面 内取一直线 c， A，点 、直线 c确定一个平面 ，由公理 2 知：m， n， c/， /，又 A， ，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，所以平面 只有一个所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行典型例题十二例 12 已知点 S是正三角形 ABC所在平面外的一点，且 SCBA， G为 SAB上的高，D、 E、 F分别
10、是 、 、 S的中点，试判断 SG与平面 DEF内的位置关系，并给予证明分析 1：如图，观察图形，即可判定 /平面 ，要证明结论成立，只需证明 与平面内的一条直线平行观察图形可以看出：连结 G与 DE相交于 H，连结 ， 就是适合题意的直线怎样证明 HS/？只需证明 是 的中点 你的首选资源互助社区证法 1：连结 CG交 DE于点 H， E是 AB的中位线， /在 中， 是 的中点，且 AG/， H为 的中点 F是 S的中位线， SF又 G平面 D， H平面 DE， /平面 E分析 2：要证明 /平面 ，只需证明平面 B/平面 DEF，要证明平面 EF/平面 SAB，只需证明 A， B而 A/
11、， /可由题设直接推出证法 2： 为 SC的中位线， F/ 平面 ， 平面 ， E平面 同理： /D平面 SAB， FDE，平面 平面 ，又 SG平面 AB， /SG平面 F典型例题十三例 13 如图，线段 PQ分别交两个平行平面 、 于 A、 B两点，线段 PD分别交 、 于 C、D两点，线段 F分别交 、 于 F、 E两点，若 9P， 12， Q， AF的面积为72，求 BE的面积分析：求 BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知 ACF的面积，若 BDE与ACF的对应边有联系的话，可以利用 ACF的面积求出 BDE的面积解：平面 Q，平面 Q， 你的首选资源互助社区又 /，
12、BEAF/同理可证： DC， 与 BD相等或互补，即 EBDFACsinsi由 /，得 214 QA， BE21由 A/，得： 739 PB， AB3又 CF的面积为 72，即 2sin21FAC EDBSDBEsin21A37FCsi68472 BDE的面积为 84 平方单位说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问题注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行典型例题十四例 14 在棱长为 a的正方体中，求异面直线 BD和 C1之间的距离分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若 a和 b是两条异面直线，则过 a且
13、平行于 b的平面必平行于过 b且平行于 的平面我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决具体解法可按如下几步来求：分别经过 和 1找到两个互相平等的平面；作出两个平行平面的公垂线；计算公垂线夹在两个平等平面间的长度解：如图，根据正方体的性质，易证： 你的首选资源互助社区111/ DCBACDBA平 面平 面连结 ，分别交平面 1和平面 1于 M和 N因为 1和 分别是平面 的垂线和斜线， AC在平面 BD内， BAC由三垂线定理： BDAC1，同理： D1 1平面 ，同理可证： A平面平面 和平面 1间的距离为
14、线段 MN长度如图所示：在对角面 1AC中， O为 1的中点， 为 AC的中点 aNM311 BD和 C1的距离等于两平行平面 BDA1和 1C的距离为 a3说明：关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本的转移方法：转化为线面距设 a、 b是两条异面直线，作出经过 b而和 a平行的平面 ，通过计算 和 的距离，得出 和 距离，这样又回到点面距离的计算；转化为面面距，设 、 b是两条异面直线，作出经过 b而和 平行的平面 ，再作出经过 a和 平行的平面 ，通过计算 、 之间的距离得出 a和 之间的距离典型例题十五例 15 正方体 1DCBA棱长为 a，求异面直线 AC与 1B的距离解法 1：（直接法）如图：
