1、第一章 数学思想方法概述1数学思维方法将思维、数学思维、数学发展中的发现、发明、创新的思维过程作为自己的研究对象。2思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反映。3思维的特征：方向性，概括性、间接性4数学思想方法的两个源头：欧几里得几何原本和古代中国九章算术5数学思想方法的发展概述：从算术到代数是数学思想方法的一次重大发展。从综合几何到代数几何是数学思想的一次质的飞跃。从常量数学到变量数学是数学思想方法的一次根本变革。从必然数学到或然数学是数学思想方法的一次深刻变革。从明晰数学到模糊数学是数学思想方法的一次辩证演变6数学思维：人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符
2、号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。数学思维是由数学对象，并且主要是由数学问题推动发展的。数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程。7数学思维简单地分为：具体实践问题的数学化思维，具体数学问题的解题思维8数学思维的特征：高度抽象性，形式化的严谨性，表现方式的多样性9数学思维方法是由数学的符号、概念、语言，按照数学特定的规律、法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。10数学思维方法分类: 按照使用范围不同：宏观数学方法,微观数学方法 按照逻辑形式不同：逻辑思维方法，非逻辑思维方法 按照解决问题的方式不同：程式化思维方法，发现性思维方法（带
3、有个人特性，主观色彩，独立特性） 按照阶段或数学分支领域的不同，可以分为不同的带有专业特征的思维方法11数学思维方法的研究和发展与以下三个方面相联系 数学思维方法研究紧紧跟随和运用数学方法论的内容 数学思维方法的教学，不仅强调数学方法具有的方法论的意义，还强调说明在这些数学方法中，数学思维活动的积极意义 数学思维方法的教育内容，更应该与非逻辑思维、创造性思维相联系12数学思维方法的层次性：哲学，一般方法论，数学某分支，初等数学13在现代数学教育中，数学思维的教学有三方面的意义： 数学思维的教学可以培养人对数学观念、数学思想、数学理论的广泛理解。 数学思维的教学可以使人们在处理问题是迅速抓住事物
4、本质，从而找到解决问题的方法。 数学思维的教学可以使人们形成良好的思维习惯，增强人们在处理问题时的应变能力。14在中小学教育中，要通过“数学常识”和“数学思维能力”的组合来培养“数学智力”15中小学的数学素养：懂得数学的价值，对自己的数学能力有信心，有解决数学问题的能力，学会数学交流，学会数学的思维方法。16从数学教育的角度分析有关数学思维方法的学习，我们应该明确一下三个方面的问题： 数学思维方法的学习，是对一个数学专业的学习者、数学专业未来教师应有数学能力、专业素质的培养 数学思维方法是一个刚刚开始研究的领域，因此我们的学习过程也是一个参与研究和讨论的过程 数学思维方法可以使人了解数学理论发
5、展变化中的数学家思维方式的变化，也是对大学数学专业学习的一个反思过程。第二章 数学中几种重要的思维方法1算术的发展演变、符号的诞生以及算术向代数的发展表现了数学思维方式中数量形式和内容之间关系的变化与发展。2算术的主要内容是有关自然数、分数和小数的性质及相关的四则运算。3数量符号脱离了事物原有属性，是一种抽象化、数理化的符号。4算术解题的思维方式的关键，是把已知的数量符号运用加、减、乘、除连接起来，简历其解决问题的数学算式。5代数解决问题的思维方式中最关键的思想是，把未知量作为一个同已知量有相同意义的数量符号同已知量一起组成关系式，并按等量关系由符号相连列出方程，然后通过方程的恒等变换或同解变
6、换等求出未知量的数值。6数学具有高度抽象性，这种抽象性以形式化为特点。7对于中小学的数学教育，算术向代数发展的数学思维方式的演变可以给我们提供两种启示： 数学的形式与内容中，当我们认识到数学是一种形式的时候，更应注意这种数学形式多反映的内容。 数学的形式都与具体内容相关，尤其是算术与代数的学习，更应注重内容与形式的结合。8在数学的思维中，最先作为思维语言符号的就是数量与几何图形，数学的发展也是以数与形作为两个最基本的研究对象9空间思维转变的意义： 古希腊的思维方式，有一个从毕达哥拉斯“万物皆数”的数量思维观念向柏拉图的“世界是由几何图形构造”的空间思维观念的转变过程 人们的空间思维由静态转向动
7、态发展 空间思维与数量思维的结合，使原来空间图形具有的明显直观性和经验性的特征开始转变，拓广了人们原有的欧几里得式的空间思维 使代数的一些内容具有了直观的图形意义，更为重要的是使人民对代数形式所表现的结果有了一种形象直观模型的思维追求。10变量数学的发展是由解析几何提供直观前提，并且由无穷小量计算方法微积分的创立而最终完成的。11变量数学的研究问题大体可以分为四类： 描述非匀速运动物体的轨迹 求曲线在某一点的切线 求变量（函数）的极值 计算曲线长度、曲变形面积，曲面体体积、物体的重心及大质量物体间的引力等。12变量数学思维的意义： 变量数学的确立，使人们对世界的思考由静止物体的数学思维发展到对
8、运动物体的数学思维 变量数学的发展，对数学自身的成长起到了重要的推进作用 无限的观念、无限的数学思维在微积分中的出现，使人类认识世界的能力有了提高13三大数学危机： 无理数的出现 无穷小的运算、论证与表述所产生的如何认识无限的问题（芝诺悖论） 与康托集合论相关的无限问题（罗素悖论、理发师悖论）14三大基础学派：形式主义、逻辑主义、直觉主义15必然性研究的数学：人们知道某事物开始的原因后就可以明确地预知它的结果或然性研究的数学：不能确定某些现象是否会出现16概率论发展的最重要的思想是如何认识在随机现象之后的统计规律性17概率论提供的数学思维方式的意义随着随机现象的研究，推动了原有的必然性数学理论
9、的发展，对随机现象的数学描述，使人们对世界发展变化的客观规律有了深入的理解18数学明确化的理论基础是集合理论，它把数学对象的确定性、差异性准确无误地表述出来，数学各种分支都以集合论作为理论的基础。19对于数学的教育而言，模糊数学的创立对我们的数学教育活动有两个方面的积极作用使人们认识到数学作为人类的理性创造是无止境的，模糊数学的思想与方法为我们进行探究性学习、参与学习提供了新的案例。20中国古代数学基本上遵循了一条从生产实践中提炼出数学问题，经过分析综合，形成概念与方法，并上升到理论阶段。21古代数学思维对现代教育的意义： 唯理性的追求数学的形式、结构的方式不是数学的唯一发展方式 直观性、实用
10、性是初等数学的重要特性 筹算运演工具性特征的启示第三章 数学思维中的逻辑思维与非逻辑思维1逻辑思维的主要类型：形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑形式逻辑的主要思维形式规律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由论主要思维方法：比较与分类，分析与综合，归纳与演绎2逻辑思维的基本规律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由论同一律的要求：在同一思维过程中，使用概念的内容必须保持同一，不能任意改变；对正确思维的要求是必须保持判断的同一性。充足理由论的要求：理由必须真实，理由与推断之间要有逻辑联系3数学逻辑思维的基本形式：数学概念、数学判断、数学推理数学概念是数学思维最基本的形式，它是对客观事物的数量关系、空间形态或结
11、构关系的特征的概括数学概念的相容关系有：同一关系、从属关系、交叉关系数学概念的不相容关系有：、对立关系、矛盾关系数学判断的表现形式：公理、定理数学思维的形式。其最终表现形式是形成逻辑形态的命题最常用的数学推理包括：归纳推理、演绎推理归纳推理分为：完全归纳推理、不完全归纳推理不完全归纳推理分为：枚举归纳、因果关系归纳演绎推理是由一般到特殊的思维方法4非逻辑思维包括：形象思维、直觉思维、灵感思维、想象思维形象思维是以直观形象和表象来思考问题的思维，它不是以概念为单元来进行思维，而是以直观形象来进行思维。直觉思维的特征：非逻辑性、直接性、模糊性直觉思维的作用：选择作用、创新作用灵感思维的特征：长期思
12、维后的突发性（偶然性、下意识性） ，模糊性与突逝性数学想象的特征：形象性、概括性、直觉性、整体性5创造性思维的特点： 创见性、新颖性是创造性思维的主要标志 发散思维与收敛思维相结合是创造性思维的基本图式 积极地创造性想象与现实统一是创造思维的重要环节 专注于灵感是创造性思维的重要特点6激发创造性思维的发生，培养和鼓励学生创造性思维，我们应该注意四个方面： 在培养创造性因素方面，教师要设法引起学生的数学兴趣，并且积极地提出问题来参与数学的教学活动 在数学知识和方法的储备方面，使学生根据自己的理解主动地掌握数学的知识和方法 在数学思维方式方面，由于逻辑思维是数学知识和理论的主要表现形式，因此应当格
13、外注重非逻辑思维的培养 在具体创新思维方面，由于创造性思维方法已经有很多成熟的广泛运用的方法，所以在数学教学中应当有意识地学习或运用它们，使之与数学某些具体的问题相结合。第四章 数学的解题及发现的方法1观察与实验在数学中的意义：要求学生在数学教育、数学学习中，学会、掌握并运用观察和实验的能力，实际上就是要在中小学的数学教学中，培养学生数学学习的个体经验、运用数学解决问题的能力和对数学的兴趣及信心；更为重要的是通过学生自己的观察与实验，得到对数学概念、数学运算、数学理论的个体体验和个体理解。2观察与实验在数学中的运用：其一是解决和验证数学理论，其二是解决具体的数学问题3数学解题的目标是： 通过解
14、题加深对知识的理解，尤其是加深对基本概念、公式和理论的理解，使抽象的数学知识具体化 学会在解题中运用数学知识，增强自己解决实际问题的能力，尤其是把数学知识运用到具体问题的能力 掌握数学思维方式，培养自己数学创造性思维的能力4数学解题的一般程序：弄清楚问题，分析和制定解题步骤，完成解题计划并检验，解题后的研究5数学解题的一般思路：调动知识储备把它们组织起来，按解题要求把知识重新组合6合情推理：一种合乎情理的推理合情推理强调了一种思维的主动性、情感性和试错性7合情推理中最常用的是类比推理和归纳推理。类比推理是根据两个不同对象的某些方面（如特征、属性、关系等）相同或相似，推导出或猜测出它们在其他方面
15、可能具有相同或相似的思维形式。它的思维进程是特殊到特殊的推理方式。归纳推理：合情推理中的归纳推理指不完全归纳推理，是从个别到一般，从经验事实或实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的方法。8波利亚在论及类比合情推理的作用时，认为它可以在三个方面发挥作用： 可以提出新问题和获得新发现 可以在求解问题中得到应用 可以用来对猜测进行检验9经验归纳法的作用一般可以分为：发现、猜测问题的答案；发现、猜测解题的方法10数学猜想：人们根据已知的某些数学知识和某些事实，对数学的某些理论、方法等提出一些猜测性的推断11数学猜想的特征：待定性（可研究性） ，创新型12数学猜想一般表现：提出新问题，预见新事物，揭示
16、新规律，创造新方法等13对于中小学数学教育而言，数学猜想的意义：运用数学知识、方法，鼓励学生积极参与数学活动、增强对数学的理解和学会自己动手解决具体问题第五章 数学的公理化方法1数学的公理化方法是第一次完整地表现在几何原本中的数学方法2公理化方法：也称为公理方法，就是从尽可能少的无定义的概念（基本概念）去定义其他的一切概念，从一组不证自明的命题（基本公理或公社）出发，经过逻辑推理证明其他的一切命题，进而把一种学科的知识建构成为演绎系统的一种方法。3由原始概念（基本概念） 、公理所构成的演绎系统成为公理系统（公理体系） ；公理化方法是构成公理系统的方法，公理系统是由公理化方法得到的数学理论体系。4基本概念：不加定义的概念。 （具有必要性、独立性、完备性）定义概念：也称为派生概念、导出概念，指由初始概念定义的概念原始命题或公理：不证明的命题定理：经过公理推演出来的命题5亚里士多德提出了历史上第一个成文的三段论式的演绎方式的公理化方法。第一次把公理化方法系统用于数学中的是古希腊的欧几里得，他把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学1899 年希尔伯特的几何基础问世，这是公理化方法在近代发展的代表作，它把欧几里得几何原本为代表的公理化方法建成了一个完备的、形式化的公理体系。6欧几里得列出五个公设和五个公理，公理是适用于一切科学的真理，而公设则只用于几何。
