1、1西南交通大学 2006-2007 学年第(一)学期考试试卷课程代码 课程名称 随机过程 B 考试时间 2007.1.24 题号 一 二 三 四 五 六 七 总成绩得分一、(14 分)设二维随机变量( , )的联合概率密度函数为:XY其 它0101(24), xyxyxf试求:在 时,求 。0)|(E解: ()Yfyfxyd(5 分)124010y其 它 2()01yy其 它当 时, (5 分)1y(,)Yfxy2()10xyx其 它 )|(XE(,)()Yfxfydxdy(4 分)2121()()3()y二、(14 分)设离散型随机变量 X 服从几何分布:,21)1(kpkXPk试求 的特征
2、函数,并以此求其期望 与方差 。)(E)(XD解: (2 分)1()()itXitkXtEe1 1()()()itkkitkkpep 1()()()ititkkpee2(4 分)1()1ititpeeq(2 分)2)()itXtqe 0221()1)()Xipeiiqp(2 分) 31)()ititXpt3()X所以:(2 分)(0)XEip221)(Xq(2 分)222()1()qDEp三、(14 分)请写出维纳随机过程的数学定义,均值函数,自相关函数与一维特征函数。答:1、设 W(t)是一个随机过程,满足:(1) (2 分)01P(2)W (t)是增量独立的随机过程 (2 分)(3) ,
3、(2 分)st()tWs2(0,)Nts则称 W(t)为维纳过程。2、 , , , (3 分)0t()t2)t(Et(3 分)2(,)min(,WRstEstst(2 分)2,tvte3四、(14 分)设随机过程 ,其中 是常数,),cos()(0tYtAtX0与 是相互独立的随机变量, 服从区间 上的均匀分布, 服从瑞利AYY2A分布,其概率密度为 00)(2xexfA试证明 为宽平稳过程。)(tX解:(1) )cos()(cos(00 YtEAYtAEtm与 无关 (4 分)20002)(dytdxet(2) )()(cos)()cos()()( 2022202 AEYtEAYtAEtXt
4、 ,dtetdxeAE02202321)( 202022 | ttt所以 (5 分))()(22tXEt(3) )cos(cos, 201021 YtAYtAtRX )()( 2ttdytyt 21)(coscos20010 只与时间间隔有关,所以 为宽平稳过程。(5 分))(12t(tX五、(14 分)某商场为调查顾客到来的客源情况,考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟 2 人与每分钟 3 人的泊松过程。4(1) 试求到某时刻 时到达商场的总人数的分布;t(2) 在已知 时刻以有 50 人到达的条件下,试求其中恰有 30 位妇女的概率,t平均有多少个女性顾
5、客?解:设 分别为(0,t)时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及12(),()Nt总人数。(1) 由已知, 为强度 的泊松过程, 为强度 的泊松过程;1()t122()Nt23故, 为强度 的泊松过程;于是,()Nt125(5 分)5()()!ktPte0,12k(2) 22 ()3,()()30()5PNttNtt302021 5()()()/!()/!5/t ttPttee(5 分)3020302055()/!()/!()/t tteeC一般地, 0,1,)()(|)(50502 ktNktPk故平均有女性顾客 人 (4 分) 3| tE六、(15 分)设一个坛子中装有 4 个球,它们或是
6、红色的,或是黑色的。从坛子中随机地取出一个球,并换入一个另一种颜色的球,经过 次取球置换,n令 表示第 次取球后坛中的黑球数。1),(nX(1) 是否构成马氏链,是否为齐次的,为什么?(2)试写出其状态空间与一步转移概率矩阵。解: 的参数集为 ,状态集为 ,当1),(nX1,23,Tn 0,1234EX(n)的取值确定时,X(n+1)的取值完全由 X(n)确定,故 为马氏链,)(nX5(4 分) ()(1)()ijPnXjni(4 分),03,4411,0jiijii或其 它与 n 无关,故为齐次马氏链。 (2 分)(2)一步转移概率矩阵为(5 分)010/43/2/1/400七、(15 分)设 是独立同分布随机变量序列,其分布律为:,21),(nX, 14.06npi(1)试给出 的一步转移矩阵,并画出概率转移图;,21),(n(2)令 ,计算概率 。kXY1, 0)4(,)3(,0)2(,)1YYP(1) 的一步转移矩阵为,2),(n(3 分)0.64转移图为: (4 分)61 10.40.60.40.6(2) X(1) X(2) X(3) X(4)由树杈图可得: 0)4(,)3(,0)2(,)1YYP 2 2 0.4048 (8 分)4(0.63.4(.6)