1、1辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 用 CASIOfxCG20 探求函数零点的个数【原问题】已知 ，那么函数 零点的个数是_1,0,21)(xf )(xfy解法一：用零点分段法手工求解。函数 零点的个数即方程 解的个数。对于该绝对值方)(fy 021程，采用零点分段法去绝对值，可以求得共有四个解： ，故函数的零点个数为 4。87,53解法二：用 CASIO fx-CG20 图形计算器的 “解方程（组） ”模块求解。图 1 图 2 图 3 图 4将求解范围分别锁定在区间 、 、 和 上，即可以具体求出5.0,.0,75.,1,.0该方程的四个解，见
2、图 14，即函数的零点个数为 4。不过该方法需要事先锁定方程的根所在的区间，容易漏根。解法三：用 CASIO fx-CG20 图形计算器的 “图形”模块求解。图 5 图 6输入函数 ，绘制函数图像，见图 5 和图 6，观察发现在区间 的零xy21 1,0点个数共 4 个。【原问题的推广】已知 ，记1,0,21)(xf ),()(,)(121 xffxf ),(23xf ， ，探求函数 在 上的零点个数。)(,fnn Nyn0分析：2原问题相当于：当 时，求函数 在 上的零点个数。现在将原问题推广到3n)(xfyn1,0一般。于是我们先从 开始，寻找结论是否可能存在一些规律。,21对于 ，手工计
3、算工作量还不算很大，但是从 开始，如果采用零点分段法，通, 4过手工计算寻找零点就非常繁琐了。于是借助于 CASIO fx-CG20 图形计算器的“图形”模块，利用函数的迭代，见图 7，就可以非常轻松、直观地得到当 时，函数 图像与6,5n)(xfyn轴在 上的交点个数，即函数 在 上的零点个数。x1,0)(xfyn1,0当 时，见图 8，可得函数 在 上零点的个数为 4；3n3当 时，见图 9，可得函数 在 上零点的个数为 84)(4f,图 7 图 8 图 9归纳：当 时，函数 在 上零点的个数为 ；1n)(1xfy,002当 时，函数 在 上零点的个数为 ；22 1当 时，函数 在 上零点
4、的个数为 ；3)(3f,2当 时，函数 在 上零点的个数为 4n4xy103猜测：若 ，记,21)(xf ),()(,)(121 xffxf ),(23xf ， ，则函数 在 上零点的个数为 。)(,xfnn Nyn01n论证：因为这是一个与自然数 有关的命题，所以自然想到用数学归纳法来证明。当 时，结论显然成立。1假设当 时，结论成立，即函数 在 上零点的个数为 。2kn)(xfyk1,012k事实是这 个零点在开区间 上。1)1,0(（说明： ，即 0)(,)(),)0(,)( 232 kfffffff不是函数 的零点；同样可得 1 也不是函数 的零点。故在假设中的 个零点xyk )xyk
5、 12在开区间 上。此处可用数学 归纳法证明。 ）)1,(3当 时，研究方程 根的个数。1kn0)(1xfk将方程 写成 。令 ，则 。由假设可知，方程0)(xf )(xft0)(tfk有 个根，设它们是在区间 上的 ，亦可写成 ，0)(tfk12k ),(121,t )1,(i。,i对于形如 的 个方程中的每一个方程都有两个不等的根（用“动态1,),(iitft 12k图” 模块，见图 1012） ，于是这 个方程共有两两不等的 个根。k图 10 图 11 图 12故方程 即 共有 个两两不等的根，即函数 的零点0)(1xfk 0)(xfkk2)(1xfyk个数为 。即当 时，结论亦成立。2
6、n由 得证。【进一步的变式】已知 ，记1,0,21)(xf ),()(,)(121 xffxf ),(23xf ， ，探求方程 在 上有几个根？)(,fnn Nn,0解析：对于 ，采用零点分段法，手工计算工作量还不算很大。但是从 开始，如果采用2,1 3n零点分段法手工计算就开始繁琐了。于是借助于 CASIO fx-CG20 图形计算器的“图形”模块，仍然利用函数的迭代，就可以非常轻松、直观地得到当 时，函数 与6,543n)(xfyn图像的交点个数，即方程 在 上根的个数。xy21xfn21)(,04图 13 图 14图 15 图 16当 时，见图 13，方程 在 上根的个数为 ；3nxf21)(3,032当 时，见图 14（将图像局部放大，见图 15 中的矩形框选中区域和图 16） ，可得方程4在 上根的个数为 ；xf21)(4,04以此类推 方程 在 上根的个数为 。fn)(1,n22013 年 9 月 12 日5
