1、1平面向量一.向量的基本概念与基本运算1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量一般用 来表示，或用有向线段cba,的起点与终点的大写字母表示，如： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j几何表示法 ， ；坐标表示法ABABa 奎 屯王 新 敞新 疆向量的大小即向量的模（长度） ，记作| | 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j即向量的大),(yxjia小，记作 奎 屯王 新 敞新 疆 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为 0 的向量，记为 ，其方向是任
2、意的， 与任意向量平行 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j零00向量 0 奎 屯王 新 敞新 疆 由于 的方向是任意的，且规定 平行于任何向量，a（注意与 0 的区别）单位向量：模为 1 个单位长度的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量 为单位向量 1 奎 屯王 新 敞新 疆0a0a平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j任意一组平行向量都可以移到同一直线上 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j方向相同或相反的向量，称为平行向量 奎 屯王 新 敞新 疆 记作 奎 屯王 新 敞新 疆 由于向b
3、量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 奎 屯王 新 敞新 疆相等向量：长度相等且方向相同的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j相等向量经过平移后总可以重合，记为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j大小相等，方向相同 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jba),(),(1x相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量. 的相反向量记作 .aa2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j设 ，则 + =
4、 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j,ABaCbaABC（1） ；（2）向量加法满足交换律与结合律；0“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知2向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（2） 三角形法则的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3 头htp:/w.xjkygcom126
5、t:/.j向量的减法 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量a a记作 ,零向量的相反向量仍是零向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j关于相反向量有： （i） = ； (ii) +( )=( )+ = ；)(a0(iii)若 、 是互为相反向量，则 = , = , + = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jabbab向量减法：向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，b记作： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求两个向量差的运算，叫做向量的减法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j)(作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终
6、点的向量（ 、 有共同起aaab点）4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：aa（） ；（）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与00a的方向相反；当 时， ，方向是任意的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja 0a数乘向量满足交换律、结合律与分配律 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbaba6
7、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的基本定理：如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量21,e，有且只有一对实数 使： ，其中不共线的向量 叫做a21,1ea21,e3表示这一平面内所有向量的一组基底 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j二.平面向量的坐标表示1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标表示：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标运算：(1)若 ，则12,axybxy 12,abxy(2)若 ，则BA2AB(3)若
8、=(x,y)，则 =( x, y)(4)若 ，则12,axybxy121/0abxy(5)若 ，则若 ，则02121yx三平面向量的数量积1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 = cosababb已知两个向量 ，则 =12(,)(,)xy12xy2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则AOB= （abOAB）叫做向量 与 的夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j008cos = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jcos
9、,ab212当且仅当两个非零向量 与 同方向时，=0 0，当且仅当 与 反方向时 ab=180 0. 4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的模： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j|a5.向量平行：若 ，则12,xybxy 0/ 121yxaba46向量垂直：如果 与 的夹角为 900则称 与 垂直，记作 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jababab O 奎 屯王 新 敞新 疆021yx平面向量常见题型题型 1.基本概念判断正误：1.给出下列命题： 若| | |，则 = ；aba 若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCD
10、 为平行四边形的ABDC充要条件； 若 = ， = ，则 = ，abca = 的充要条件是| |=| |且 / ；b 若 / ， / ，则 / ，c其中正确的序号是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j题型 2.向量的加减运算1下列命题中正确的是（ ）A BO0AC D0B CAD2.设 表示“向东走 8km”, 表示“向北走 6km”,则 .ab|ab3.化简 .()()MO4若菱形 的边长为 ，则 _.AB2AB5.已知 的和向量，且 ，则 ， .CD为 与 ,CaDbABD6.已知点 C 在线段 AB 上，且 ,则 ， .35C题型 3.向量的数乘运算1.计算：（1） 3()
11、2()ab（2） 532)cabc52.已知 ，则 .(1,4)(3,8)ab12ab题型 4. 作图法球向量的和已知向量 ，如下图，请做出向量 和 .,332abab题型 5.根据图形由已知向量求未知向量1. 已知在 中， 是 的中点，请用向量 表示 .ABCDABC， D2.在平行四边形 中，已知 ，求 .,ACaDb和3.已知向量 ， ， ，若用 和 表示 ，则 =_。(1,2)a(,3)b(4,1)cac4.已知 ， ， ，请将用向量 表示向量 .5,0,5,0,b题型 6.向量的坐标运算1.已知 ， ，则点 的坐标是 .(4,5)AB(2,3)B2.已知 ， ，则点 的坐标是 .PQ
12、7PQ3.若物体受三个力 , , ,则合力的坐标为 .1()F2(3)(14)F4.已知 ， ，求 ， ， .(3,4)a5bab2ab5.已知 ,向量 与 相等，求 的值.(1,2)3AB(2,3)axyAB,xy6.已知 ， ， ，则 .,)Cmn(1,4D67.已知 是坐标原点， ，且 ，求 的坐标.O(2,1)4,8AB30ABCO题型 7.结合三角函数求向量坐标1. 已知 是坐标原点，点 在第二象限， ， ，求 的坐OA|2OA150xOA标.2.已知 是原点，点 在第一象限， ， ，求 的坐标.OA|43OA60xAO题型 8.求数量积1.已知 ，且 与 的夹角为 ，求（1） ，
13、（2） ，|3,|4abab60ab()ab（3） ， （4） .1()2(2)(3)2.已知 ，求（1） ， （2） ， （3） ，(2,6)(8,0)ab |,|aba(2)ab（4） .3题型 9.求向量的夹角1.已知 ， ，求 与 的夹角.|8,|3ab12aab2.已知 ，求 与 的夹角.(1)(,)3.已知 ， ， ，求 .,0A,B5CcosBAC4.已知 ， ，(3)am(2)b7（1）若 与 的夹角为钝角，求 的范围；abm（2）若 与 的夹角为锐角，求 的范围.5.已知两单位向量 与 的夹角为 ，若 ，试求 与 的012,3cabdacd夹角 头htp:/w.xjkygco
14、m126t:/.j6若 ，且 ，则向量 与 的夹角为 |1,|2,abcacab题型 10.求向量的模1.已知 ，且 与 的夹角为 ，求（1） ， （2） .|3,|4abab60|ab|3|ab2.已知 ，求（1） ， （5） ， （6） .(2,6)(8,0)ab |,|ab|ab1|2ab3.已知 ， ，求 .|1|2ab，|3|ab|3|ab题型 11.求单位向量 【与 平行的单位向量： 】a|ae1.与 平行的单位向量是 .(12,5)a2.与 平行的单位向量是 .m题型 12.向量的平行与垂直1.已知向量 ， ，且 ，求实数 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(
15、1,2)(,)2abxuabva/uv82.已知 ， ，当 为何值时， （1） ？（2） ？(6,2)a(3,)bm /abab3.已知 ， ， （1） 为何值时，向量 与 垂直？(1,2)a(3,2)bkkab3（2） 为何值时，向量 与 平行？kkab4.已知 是非零向量， ，且 ，求证： .aabcb()abc5若 , ， 与 的夹角为 ，若 ，则 的值为 1206(35)m6.已知 ， ， ，按下列条件求实数 的4,3a1,2b,mab2n值.（1） ；（2） ；mn/n(3)题型 13.三点共线问题1.已知 ， ， ，求证： 三点共线.(0,2)A(,)B(3,4)C,ABC2.设
16、，求证： 三点共线.2(5),28,3()ABabBCabDabABD、 、3.已知 ，则一定共线的三点是 .,6,724.已知 ， ，若点 在直线 上，求 的值.(1,3)(81)(1,)aa95.已知四个点的坐标 ， ， ， ，是否存在常数 ，使(0,)O(3,4)A(1,2)B(,)Ct成立？OAtBC题型 14.判断多边形的形状1.若 ， ，且 ,则四边形的形状是 .3e5De|ABC2.已知 ， ， ， ，证明四边形 是梯形.(1,0)A(4,)B(2,)(0)ABCD3.已知 ， ， ，求证： 是直角三角形.2634.在平面直角坐标系内， ,求证： 是等(1,8)(4,1)(3)O
17、ABOCABC腰直角三角形.平面向量的基础训练1、化简：(1)（ )( )= . (2) = CDABB AFEDCB2.已知 ，则 .,32,1)ab(32)(5)ab3.已知 ， ， ，则 .(1)(5,4ccab4.已知向量 和向量 的夹角为 0o， |,|3，则向量 和向量 的数量积ab= 。5.已知向量 ，则 （ ）(1,),)(1,2)bccA. B. C. D.3232aab312ab6向量 ， ，若 与 平行，则 等于(,)a(,)mmA B C D21107若 是非零向量且满足 ， ，则 与 的夹角是（ ,ab(2)ab(2)abab）A 6 B 3 C D 658设 ， ，
18、且 ，则锐角 为（ ）(,sin)2a1(cos,)3b/abA B C D00075049.已知 ， ，当 为何值时，向量 与 平行？(1,)(,1)kk3ab10.已知两向量 ，求当 垂直时的 x 的值.(3,4)(2,1)abaxb与11.已知两向量 ， 的夹角 为锐角，求 的范围.(1,3)(2,)abab与 12.已知 ，且 ， ，求 的坐标.(3,5)aab|2b13.已知 同向， ，则 ，求 的坐标.b与 (1,)10a14.已知 ， ，当 为何值时， （1） 与 的夹角为钝角？(6,2)a(3,)bm ab（2） 与 的夹角为锐角？15、非零向量（ ）与（2 ）互相垂直， （ 2 ）与（2 + ）互相abababa垂直，求向量 与 的夹角的余弦值 。
