1、129第一章 极限与连续第一节 数列的极限教学目的：理解数列极限的概念，掌握数列极限的定义教学重点、难点：数列极限的概念，理解掌握数列极限的定义教学形式：多媒体教室里的课堂讲授教学时间：90 分钟教学过程一、引入新课半径为 R 的圆的面积公式？ 但是得到圆面积这个计算公式却是不容易的.看2AR电视 http:/ 225 年295 年）创造了“割圆术” ，成功地推算出圆周率和圆的面积。圆周率是对圆形和球体进行数学分析时不可缺少的一个常数，各国古代科学家均将圆周率作为一个重要课题。我国最早采用的圆周率数值为三，即所谓“径一周三”。 九章算术 中就采用了这个数据。与刘徽类似的是，古希腊的阿基米德也用
2、正多边形法去求圆周率。但是阿基米德是用归谬法证得这一结果的，避开了极限概念，而刘徽却大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法；且阿基米德的方法需另外计算圆外切正多边形面积，刘徽的方法则只需求内接正多边形面积。与阿基米德比，刘徽的割圆术可谓事半功倍。二、新授课1、一个实验说明的事实对于一个半径为 R 的圆，先作圆内接正六边形，记其面积为 ；再作圆内接正十二边1A形，记其面积为 ，循此下去，每次边数成倍增加，得到一系列圆内接正多边形的面积2A,321 nA构成一列有次序的数,其中内接正 边形的面积记为 。16)(ZnA练习题 1。求半径为 R 的圆内接正三角形 ABC 的面积 ；内接正 n 边形的
3、面积 。Sns答案： 234s21sinsR练习题 2。求半径为 R 的圆外切正三角形 ABC 的面积；外切正 n 边形的而积 ；ns答案： 23s 2tans如果内接正 n 边表的面积为 ，圆的面积为 A，外接正 n 边形的面积为 ，则有n nsAs130在几何直观上,当 n 越大，对应的内接正多边形就越接近于圆，,即圆与正多边形的面积 （ ）之差就越小,因此以 （ ）作为圆面积的近似值就越精确 .但无论内接正nAsnAs多边形的边数有多大,所计算的 （ ） 始终不是圆的面积.于是设想,如果 n 无限增大(记为 ，读作 n 趋于无穷大)时, （ ）无限接nAs近某个确定的数。在数学上称这个确
4、定数是上面给出的一列有次序的数(即数列)， （ ）当 时的极限 。在圆面积问题的讨论 ,21nA12,rnSS 中,大家看到,正是这个数列极限才精确地表达了圆面积的结果,也可以说,解决圆面积所采用的方法就是极限方法。2、数列与函数的关系按照一定顺序排列着的一列数就叫做数列，记为 ，其中第 n 项做 叫数列的一nxx般项。 123,: x,.n nx数列的例子：;,)1(,32,0:)1(;,84:22,;,1,: nnnnnnn 它们的一般项依次为(),(),.nn数列 可以看作自变量为自然数 n 的函数nx)(f它的定义域是全体正整数。3、数列的几何意义从一维角度考察，数列 可以看作数轴上的
5、一个动点，它依次取数轴上的点nx然而，从二维角度考察，数列 可以看作 XOY 面上的点集123,nxx nx（n， ），在 XOY 平面上数列 表现为一个散点图。nx1314、数列的散点图在 XOY 平面上画出如下数列的散点图：（1） ； （2） （3） （4） 1nn21nn)1(（5） （6） sin n )(n输出图形如（图 21）至图（26）所示。20 40 60 80 1000.920.940.960.982 3 4 5 6 7 850100150200250（图 21 数列） （ 图 22 ） 数列1n n2 3 4 5 6 7 80.10.20.30.40.510 20 30 4
6、0 50-1-0.50.51（ 图 23 数列） （ 图 24 ） 数列 21n n)1(10 20 30 40 500.80.91.11.210 20 30 40 50-1-0.50.51（ 图 25） 数列 的图形 （图 26） 数列 )1(n sin由（图 21）至图（26）可以看出，随着 n 的增大， 越来越趋向于 1； 越1n2132来越大； 越来越趋向于 0；与之间变动； 越来越趋向于；sin nn21 n)1(在与之间变动5、 数列极限的直观定义对于数列 ，如果当无限增大时，数列的一般项 无限地接近于某一确定的常nx nx数，则称常数是数列 的极限，或称数列 收敛于，记为naxn
7、lim如果数列没有极限，称数列是发散的，例如， ， ， lin1lin21limnn)1(而 ， ， sin n 是发散的2)(三、本节小结：数列与数列极限的概念四、课外作业：P21 习题 21 1。选择题（1） ， （2）133第一章 极限与连续 第二节 数列的极限教学目的：掌握数列极限的定义，会用定义证明数列的极限，了解收敛数列的性质。教学重点、难点：用定义证明数列的极限教学形式：讲授法教学时间：90 分钟教学过程一、引入新课数列的极限描述性定义与几何表现例如：数列 是有极限的，它的图象如下：)1(nListPlotTable（n+ n，1，50,/)(n10 20 30 40 500.8
8、0.91.11.2图 2-5对于数列 ，如果当无限增大时，数列的一般项 无限地接近于某一确定的常nx nx数，则称常数是数列 的极限，或称数列 收敛于，记为naxnlim如果数列没有极限，称数列是发散的。二、新授课1、数列极限的精确定义设有数列 及常数 a，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正整数 N，当nx 时，不等式nNn恒成立，则称常数 a 为数列 的极限，或称数列 收敛于 a，记作nxnx或 ，如果这样的常数 a 不存在，就说数列没有极限，或xnlim()nx称数列发散。在直角平面坐标系 OXY 的 Y 轴上取以为 a 为中心， 为半径的一个开区间 ，(,)a134称它为 a 的 邻
9、域，记为 O（a， ）：O（ a， ）= xa“当 时，不等式成立 ”表示数列中从 N+1 项起的所有项都落花流水nNn在点 a 的 邻域，即 。(,)nxN由于 具有任意性，也就是说邻域 O（a， ）的长度中（如图 2-5）上下两条横线的距离可以任意收缩。但不管收缩得多么小，数列一定会从某一项起全部落在由这两条线界定的范围中，不难理解，a 必为这个数列的极限值。要注意在述的收剑定义中， 既是任意的，又是给定的。因为只有对确定的 ，才能 找到相应的自然数 N。问题：“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它。 给定 ，由 ，只要 时，有 ， 给定 ，只要 时，有 ， 给定 ，只要 时，有 ，
10、 给定 ，只要 时，有 成立例 1 证明： 21limn证 对于任意给定的 ，要使013521nxn只要 ，取正整数 ，则当 时， 恒成立，故1NN2nx以 2 为极限，即 。2(,.)nx21limn例中证明方法叫做解析法，也称倒推法，这是证明极限问题经常采用的方法。证明过程中，倒推语句“要使” ， “只要”等不能省略，更不能写成颠倒的因果关系。在收敛的数列中，我们称极限为 0 的数列为无穷小量，例如 ， 都是无穷1n2()n小量。要注意，无穷小量是一个变量，而不是一个“非常小的量” （如 ） 。常数列100，0，0，0，是一个特殊的无穷小量。从极限的定义可知，一个数列 收敛与否，收敛于哪个
11、数，与这一数列的前面有nx限项列关。也就是说，改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。例如数列 10，100，1000，10000， 的极限仍然是 0。1,56 根据数列极限的定义来证明某一数列收敛 ，其关键是对任意给定的 寻找自然数N。在上面的例题中，是通过解不等式 而得出的。但在大多数情况下，这个不nxa等式并不容易解。实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的自然数 N，所以在证明中常常对 适度地做一此放大处理，这是一种常用的技巧。nxa例 2 求证： =21lim7n证明 首先我们有272()n显然当 时6n27842()n于是，对任意给定的 ，取 ，当 时，成立0max6,N
12、nN2147nn136上述不等式的放大，是在条件“ ”前提下才成立，所以在取 N 时，必须要求6n与 同时成立。4N62.收敛数列的性质性质 极限的唯一性。数列 不能收敛于两个不同的极限。nx对于数列 ，如果存在实数 M，使数列的所有的项都满足 ，n=1，2，则nxM称 M 是数列 的上界，如果存在实数 m，使数列 的所有的项都满足 ，nx nmxn=1，2，3， ，则称 m 是数列 的下界。nx一个数列 ，若既有上界又有下界，则称之为有界数列，显然数列 有界的nx nx一个等价定义是：存在正实数 X，使数列的所有项都满足，n= n=1，2，3，nx性质 收敛数列的有界性。如果数列 收敛，那么
13、数列 一定有界。nxn性质 收敛数列的保号性。如果数列 收敛于，且（ a0） ，那么当 n 充分大时，有 0（或n nx0） 。nx性质 4 夹逼准则如果说数列 收敛于 a ，数列 收敛于 a ，且 （当 n 充分大时） ，nxnznxyz则数列 收敛于 a。ny例子 求数列 的极限。1解 首先我们有=n()(1)nn= 1取 ， ， ，则有0nxnyn1znnxyz137由 是无穷小量，且有 ，利用极限的夹逼性，得到1nlimli0nnxzli(1)因此，对数列极限概念应该形成这样一些正确认识：(1) 数列极限是对于无穷数列而言的，但无穷数列不一定都有极限；(2) 如果说一个无穷数列有极限，
14、则这个极限一定是一个常数；(3) 如果说无穷数列 以 a 为极限，则从数轴上看，对于任意开区间（anx，),a0 ，都能找到某一项 ，使得在这一项之后的所有项都落在这个开区间内，即这个开nx区间之外最多只能有有限项。三、本节小结：数列极限的精确定义四、课外作业：P21 习题 2-1（3）下列数列收敛于 的有（ ） ；1A B2n1()nC D,1,2nnx为 奇 数为 偶 数 2345,61n （4）下列数列收敛于 的有（ ） ；0A B,12nx为 奇 数为 偶 数 11,32452n C D,(),3456n ,71 （5）若数列 与数列 的极限分别为 与 ，且 ，则数列nxnyab的极限
15、为（ ） 。123,xyA BaC D不存在b2在 平面上画出如下数列的散点图，并指出极限：； 12(1) ()nnx1(2)sinx138第一章极限与连续第三节 函数的极限教学目的：理解函数的极限的描述性定义，了解极限的性质，掌握极限的四则运算教学重点、难点：极限的四则运算教学形式：多媒体教室讲授与演示教学时间：90 分钟教学过程一、引入新课1.数列与函数的关系。2.数列极限的定义和几何判断二、新授课一 函数极限的定义1当 x 时，函数 的级限)(xf（1）当 x + 时，函数 的极限 如果当 x 取正值，并且无限增大时，函数 无限地接近于某一确定的常数 a ，则)(xf称常数 a 是函数 当 x + 时的极限，或称当 x + 时，函数 收敛于 a )(f)(xf。记为 = axlim例如，由图 27 可以看出=3xli132x输入 f ： =（ 2 2x 1）/（ 2 1）xPlot f x，x，2，300 输出图形，如图 27 所示。由图 28 可以看出：sin x 不存在xlim输入 PlotSinx，x，1，100输出图形，如图 28 所示。
