1、1 四年级第 7 讲尖子班例题详解 幻 方 的 构 造的正方形中，在每个格子里分别填入 的 个数字，要求每行每列及对角线上的三319个数的和相等（请给出至少一种填法）【 方法一：第一步：求幻和： 1235（第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的 4 倍，即 ，显然，在这个总和中，中心数用了四160次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是： 453（第三步：确定四个角上的数由于在同一条直线上的三个数的和是 15，所以如果某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直 线上的
2、另两个数的奇偶性相同，所以四个角上的数必为偶数第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解 为基础，可 绕中心旋 转与对调得到其它各解，共 8 解，下图为其中一解，其余解均可由其翻 转或旋转得到：987654321方法二（对易法）：南宋数学家杨辉概括为:“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”即：先把 到 九个19数字按顺序斜着排列，再把上下的数字 和 对调，左右的数字 和 对调，最后把 个不19734在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了7 894 561 2372965418338 14569 27方法三（阶梯法）：阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的 这个方法看起来有点
3、像 对易法，但又完全不一样，十分简单而巧妙，适用于所有奇数阶幻方这个方法把 阶方阵从四周向外n7 数 表 与 幻 方数表与幻方12 四年级第 7 讲尖子班例题详解 扩展成阶梯状，然后把 个自然数 顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵2n以内其对边部分去，即构成幻方下图表示了如何用阶梯法构成 3 阶幻方方法二和方法三中将 按 8 个不同的方位排列就可以得到本题 8 个不同的解19方法四（罗伯法）：把 （或最小的数）放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数： 每一个数放在前一个数的右上一格； 如果 这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列 如果 这个数所要放
4、的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行 如果 这个数所要放的格已经填好了其它的数，或者同 时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的下面，具体如下图：1121231234123456123456712345678123456789这是法国人罗伯特总结出的方法，所以叫 “罗伯法”罗伯法的口诀：一居上行正中央，后数依次右上连上出框时往下填，右出框时往左填排重便在下格填，右上排重一个样它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数阶幻方练习大家一起来练习用罗伯法写个七阶的幻方，注意 强调细节 上出框与右出框的 处理有时不容易把握，老师隆重
5、推荐大家一种方法“卷纸筒”，即把上下边重合在一线，则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应点上强调这 种方法适用于任意奇数阶幻方请你将 这二十五个自然数填入 的空格内使每行、每列、每条对角线上的五数之和1255相等【 罗 伯法：教师边写边说口诀：“一居上行正中央，后数依次右上连上出框 时往下填，右出框时往左填排重便在下格填，右上排重一个样” 见第二个图这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”，它对于构造 连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数阶幻方 27695143823 四年级第 7 讲尖子班例题详解 252423 2221201918171615141312111
6、09265 84317阶梯法： 阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的这个方法十分简单而巧妙，适用于所有奇数阶幻方这个方法把 阶方阵从四周向外扩展成阶梯状，然后把 个自然数顺阶梯方向n 2n先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去，即构成幻方下面的图和图表示了如何用阶梯法构成 5 阶 幻方图中顶边以上的 4、5、10 三个数在图中被移入底边上方相应的 3 个原先为空的方格中，其余三侧照此处理25242322120191817161514131211098765432112345 6789101121314151617181920 212232425 练习：大家一起来练习用罗伯法
7、写个七阶的幻方，注意 强调细节 上出框与右出框的 处理有时不容易把握，老师隆重推荐大家一种方法“ 卷纸筒”，即把上下边重合在一线， 则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应 点上强调这种方法适用于任意奇数阶幻方用 编制一个四阶幻方16【 对于偶数阶幻方的构造略微复杂一点，偶数 阶幻方分 为两类：双偶数阶幻方，即 阶数是 4 的倍数的数；单偶数阶幻方，即 阶数是 2 的倍数但不是 4 的倍数构造双偶数阶幻方有一种简单而有趣的方法，叫做 “对称法”其构造方法如下： 把所求的数按从上到下、从左到右的次序 顺序排成 n 阶自然方阵，每个小四 阶方阵中对角线上的数都不填 按自下而上、从右到左的相反方向重
8、复的过程，但 这次只填每个小四阶方阵中对角线穿过的方格，这样便可得到一个任意双偶数 阶幻方用对称法编制四阶幻方，步骤 如下： 在 的方阵中都画上 2 条对角线，如 图 1；4 按从上到下、从左到右的次序在方 阵中填入 1 到 16，但只填对角线不穿过的方格凡有 对角线通过的方格则跳过，如图 2； 最后，按自下而上、从右到左的相反方向重复 的过程，但这次只填对角线穿过的方格，而跳过对角线所经过的方格（因为这些方格中已有数字），如 图 3此时整个方阵填入的数正好是 ，而且正好形成一个四阶幻方162 35 89 1214 1516 1311 107 64 11514129853234 四年级第 7
9、讲尖子班例题详解 图 1 图 2 图 3还有个类似与对称法的方法，我 们叫它“ 对称交换法”其构造方法如下： 把所求的数按顺序排成 n 阶自然方阵 每个小四 阶方阵中对角线上的数都不动对角线以外的数在自然方阵中作中心对称变换， 这样便可得到一个任意双偶数阶幻方用对称交换法编制四阶幻方，步 骤如下： 把 顺次填成如图 1 的形式16 求幻和幻和 23643（ ） 容易验证每条对角线上四个数之和恰为幻和即 16130743所以，对角线上的 8 个数字的位置保持不 变 把对角线以外的数字，以方 阵对角线的交点为中心作对 称换位（如图 2）这样，一个四阶幻方就编制出来了，如图 3123456 78 9
10、10 1112131415161 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 1616151413121110987654321图 1 图 2 图 3幻 方 的 应 用用 11，13，15，17，19，21，23，25，27 编制成一个三阶幻方【 方法一：给出的九个数形成一个等差数列，19 也是一个等差数列不 难发现：中间方格里的数字应填等差数列的中间数，也就是第五个数，即应填 19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即 13，17，21，25，而且 对角两数的和相等，即 ；余下132571各数就不难填写了(见下图)111723131925152127与幻方相反的问题是
11、反幻方将九个数填入 (三行三列)的九个方格中，使得任一行、3任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同， 这样填好后的 图称为三阶反幻方方法二：用阶梯法，在三 阶幻方的上下左右的中间 添加一格，先将数字按从小到大的 顺序，以斜行方向从左下向右上依次填写，再把添加格内的数填到本行(或本列)中相隔两行(或两列)的方格中45 四年级第 7 讲尖子班例题详解 212313 11192725151717 2311 131519 2125 27272521191513112317方法三：对易法：九子斜排，上下 对易，左右相更，四维挺出27271723173131359239595952方法四：用罗伯法的口
12、诀：一居上行正中央，后数依次右上 连上出框 时往下填，右出框时往左填排重便在下格填，右上排重一个样将九个数填入下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数 ，则中心方格中的数必 为 k3k【 因为每行的三数之和都等于 ，共有三行，所以九个数之和等于 如右上 图所示，经过中心方格k 3k的有四条虚线，每条虚 线上的三个数之和都等于 k，四条虚线上的所有数之和等于 ，其中只有4k中心方格中的数是“重叠数” ，九个数各被 计算一次后，它又被重复 计算了三次所以有：九数之和+中心方格中的数 ，34中心方格中的数 ，3kk中心方格的数 k注意：例题中对九个数及定数 都没有特
13、殊要求这个结论对求解 方格中的数阵问题很实用3将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都相等，证明： 2cab（cab2*cdbac【 设中心数为 (如右上图)，因此每行、每列以及每条对角线上的三个数之和都等于 ，第一行中d 3d间的数为 ，右下角的数为 根据第一行和第三列可求出右上 图中*的数，由此可得：2b2dc566 四年级第 7 讲尖子班例题详解 3232dcbdac（所以 2cab（在九宫图中，第一行第三列的位置上填 5，第二行第一列位置上填 6，如下图请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为 2756GFE65C DBA14
14、10613951284【 为了叙述方便，我们 将其余方格用字母表示，如上右图所示根据题意可知：5 27ABCE DG627 ABCFE由中心数 幻和 得知： 32739C将 代入，得 ，将 代入，则 9 1D13E将 代入， 则 将 代入，则 将 代入，则 120GE 8A 14B将 、 代入，则 4B4F由分析可知，中心方格必须填数字 9，其他方格中也只有一种填法 见右上图将前 9 个自然数填入下图的 9 个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在 图中的位置也相邻 【 这道题要构造的是一种比较特殊的幻方，叫三 阶 反幻方它的特点就是将九个数填入
15、 的九个3方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同 题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻，所以这 9 个自然数按照大小顺 序在图中应能连成一条不相交的折线经试验有下图所示的三种情况：787 四年级第 7 讲尖子班例题详解 按第一种填(如下图)，不合题意123654789| 98756321|按第二种填(如下图)，满足条件，有两解12894|765| 87216|345|按第三种填(如下图)，不合题意12874|965| 987236|145|按照从 1 到 9 和从 9 到 1 逐一对这三种情况进行验算，只有第二种情况得到下图的两个解因 为第二种情况是螺旋形，故本题
16、 的解称为螺旋反幻方数 表(第一届“奥数网杯”) 把自然数从 1 开始，排列成如下的三角阵：第 列为 ；第 列为 ， ，123；第 列为 ， ， ， ， ，每一列比前一列多排两个数，依次排下去， “以 开头的行”4356789是这个三角阵的对称轴如图 ，在以 开头的行中，第 个数是 2085 2 6 1 3 7 4 8 9 【 2008 列第一个数字为 2071206140285（ ）2008 列最后一个数字为 8736（ ）所以，2008 行中间的数字为 4537（ ）98 四年级第 7 讲尖子班例题详解 如图，在方格中填入一些数以后使得无论横行、 竖行相邻三个数的和都 为 35，那么“*”
17、所代表的数是多少？*496ded eedadadbcbcca b a bba*496*496【 由相邻三个数的和为 35，可知横行、竖行都以 3 为循环，如右上图，在方格处设未知数那么，顺时针看： ， 逆 时针看： 35629ba5296cba（ ） 359d， ，又有 ，即 ，求出 2a316eda（ ） 5a1魔幻数学奇妙的反幻方这天，孙小空和猪坚强刚在奥数 课上学过了幻方的知识，下课后，猪坚强随手画了一个 的方格，漫3不经心地往里面填一会儿数，停一会儿，再画出一个方格，又往里面填一会儿数突然，他推了推身边的小空，问道：“你看这个方阵有什么特点 吗？”小空转过头，看到的是排列得 杂乱无章的
18、 到 这 个数字：19123894765“什么嘛！每行与每行的数字和也不相等，中心的数也不是 5，这么奇怪的东西也是幻方？”“你再仔细看看，每行、每列和对角线的和有什么特点？”猪坚强坚持道。“嗯每行的和依次是 、 、 ，每列的和依次是 、 、 ，对角线上的两个和分别是 和 。”62181672159“现在发现什么了吗？”“咦，所有的和都不一样！”“是啊，我试了好久才试出来这 么一种填法呢！我想就叫它反幻方吧！ ”“我不相信，要让所有行、列、对角线上的数字和都相等比较困难，可要让所有数字和都不同还不简单么？”说着，小空也拿起笔试了起来。可是过了半天，他也没能再填出来一个，小空开始急得抓耳挠腮了同学们，你们也来试试吧，看看谁能先写出一个三阶的反幻方，四阶呢？答案：三阶反幻方和四阶反幻方的填法都有很多种，在这里仅各举一例。三阶反幻方如下图： 543612789每行的和依次是 、 、 ，每列的和依次是 、 、 ，对角线上的两个和分别是 和 。924183415四阶反幻方如下图：109 四年级第 7 讲尖子班例题详解 68973125043每行的和依次是 、 、 、 ，每列的和依次是 、 、 、 ，对角线上的两个和分别是0138735623和 。3429不知道细心的同学们注意到没有，这 个和数不仅各不相等，而且是从 到 的 个连续自然数！109810这的确是一个十分特殊的反幻方。
