1、第二章 实数1第二章 实 数2.1. 数怎么又不够用了（一）一、教学目标(一)教学知识点1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由.(二)能力训练要求1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.(三)情感与价值观要求1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大
2、胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神.二、教学重点：1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数.教学难点：1.把两个边长为 1 的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.教具准备：有两个边长为 1 的正方形，剪刀.投影片两张：第一张：做一做(记作2.1.1 A)；第二张：补充练习(记作2.1.1 B).三、教学方法：引导、探究、发现与合作交流相结合.四、教学手段：多媒体五、教学过程：.创设问题情境,引入新课：师同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?生在小学我们学过自然数、小数
3、、分数.生在初一我们还学过负数.师对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.讲授新课1.问题的提出师请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为 1 的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？生好.(学生非常高兴地投入活动中 ).师经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. 第二章 实数2师现在我们一齐把大家的做法总结一下：下面再
4、请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为 a，则 a 应满足什么条件呢？生甲a 是正方形的边长，所以 a 肯定是正数.生乙因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知 a2=2.生丙由 a2=2 可判断 a 应是 1 点几.师大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么 a 是整数吗？ a 是分数吗？请大家分组讨论后回答 .生甲我们组的结论是：因为 12=1，22=4 ，32=9，整数的平方越来越大，所以 a 应在 1 和 2 之间，故 a 不可能是整数.生乙因为 93,423,12，两个相同因数的乘积都为分数，所以 a 不可能是分数.师经过大
5、家的讨论可知，在等式 a2=2 中，a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数，但在现实生活中确实存在像 a 这样的数，由此看来，数又不够用了.2.做一做：投影片2.1.1 A(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为 b，则 b 应满足什么条件？(3)b 是有理数吗？师请大家先回忆一下勾股定理的内容.生在直角三角形中，若两条直角边长为 a，b，斜边为 c，则有 a2+b2=c2.师在这个题中，两条直角边分别为 1 和 2，斜边为 b，根据勾股定理得 b2=12+22，即 b2=5，则 b 是有理数吗？请举手回答.生甲因为 22=4，3 2=9，
6、45 9，所以 b 不可能是整数.生乙没有两个相同的分数相乘得 5，故 b 不可能是分数.生丙因为没有一个整数或分数的平方为 5，所以 5 不是有理数.师大家分析得很准确，像上面讨论的数 a，b 都不是有理数，而是另一类数无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数” ，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比” ，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为 1 的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵
7、的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的 a2=2 中的 a 不是有理数 .我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.课堂练习(一) 课本 P25 随堂练习如图，正三角形 ABC 的边长为 2，高为 h，h 可能是整数吗？可能是分数吗？第二章 实数3解：由正三角形的性质可知 BD=1，在 RtABD 中，由勾股定理得 h2=3.h 不可能是整数，也不可能是分数.课时小结1.通过
8、拼图活动，让学生感受有理数又不够用了，经历无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断一个数是否为有理数.课后作业课本 P49 习题 2.1解：设长、宽分别为 3、2 的长方形的对角线长为 a，得 a2=32+22，a2=13a 不可能是整数，也不可能是分数.活动与探究下图是由 16 个边长为 1 的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.解：如图，AB=2，BE=1 ，AB、BE 是有理数.AD2=AB2+BD2=22+32=13，AC 2 112.AE2=AB2+BE2=22+12=5.AC、 AD、A
9、E 既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.六、板书设计：2.1.1 数怎么又不够用了(一)一、问题的提出(讨论 a2=2 中的 a 既不是整数，也不是分数)二、做一做(由勾股定理得 b2=5，且 b 既不是整数，也不是分数)三、练习四、小结五、作业七、教学反思：2.1、数怎么又不够用了 (二)一、教学目标：(一) 教学知识点1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.2.会判断一个数是有理数还是无理数.(二) 能力训练要求1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交第二章 实数4流的意识和能力.2.探索无
10、理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练大家的思维判断能力.(三) 情感与价值观要求1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.二、教学重点：1.无理数概念的探索过程.2.用计算器进行无理数的估算.3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.教学难点：1.无理数概念的建立及估算.2.用所学定义正确判断所给数的属性.三、教学方法：引导、探究、发现与合作交流相结合.四、教学手段：计算器五、教学过程：.创设问题情境，引入新课师同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了
11、，并且我们还发现了一些数，如 a2=2,b2=5 中的 a，b 既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它的真面目.讲授新课1.导入师请看图大家判断一下 3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.生因为 3 个正方形的面积分别为 1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.师大家能不能判断一下面积为 2 的正方形的边长 a 的大致范围呢？生因为 a2 大于 1 且 a2 小于 4，所以 a 大致为 1 点几.师很好.a 肯定比 1 大而比 2 小，可以表示为 1a2.那么 a 究竟是 1 点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，
12、十分位究竟是几呢？如 1.12=1.21，1.2 2=1.44，1.3 2=1.69，1.4 2=1.96，1.5 2=2.25，而 a2=2，故 a 应比 1.4 大且比 1.5小，可以写成 1.4a1.5，所以 a 是 1 点 4 几，即十分位上是 4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.生我的探索过程如下.边长 a 面积 S1a2 1S41.4a1.5 1.96S2.251.41a1.42 1.9881S2.01641.414a1.415 1.999396S2.0022251.4142a1.4143 1.99996164
13、S2.00024449第二章 实数5师还可以继续下去吗？生可以.师请大家继续探索，并判断 a 是有限小数吗？生a=1.41421356 ，还可以再继续进行，且 a 是一个无限不循环小数.师请大家用上面的方法估计面积为 5 的正方形的边长 b 的值.边长 b 会不会算到某一位时，它的平方恰好等于 5？请大家分组合作后回答.(约 4 分钟 )生b=2.236067978 ，还可以再继续进行， b 也是一个无限不循环小数.2.无理数的定义请大家把下列各数表示成小数.3， ，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，12,4589这样可以节省时间.生3=3.
14、0， =0.8， = ，95.0，71.045881.2生3， 是有限小数， 是无限循环小数.2,45师上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像上面研究过的 a2=2,b2=5 中的 a，b 是无限不循环小数.无限不循环小数叫无理数(irrational number).除上面的 a，b 外，圆周率 =3.14159265也是一个无限不循环小数，0.5858858885(相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.3.有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有
15、限小数或无限循环小数.(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.4.例题讲解下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14， ， ，0.1010010001(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1).3475.0.课堂练习(一) 随堂练习下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583， ， ， ，18.7.31(二)补充练习：、判断题(1)有理数与无理数的差都是有理数.(2)无限小数都是无理数.(3)无理数都是无限小数.(4)两个无理数的和不一定是无理数.、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.351， ，3.14159，5.2323332，1234567891
16、01112(由相继的正整数组成).69.4,32在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.第二章 实数6.课时小结本节课我们学习了以下内容.1.用计算器进行无理数的估算.2.无理数的定义.3.判断一个数是无理数或有理数.课后作业1.P30 习题 2.2.探究与活动设面积为 5 的圆的半径为 a.(1)a 是有理数吗？说说你的理由.(2)估计 a 的值(精确到十分位，并利用计算器验证你的估计).(3)如果精确到百分位呢？解： a2=5a 2=5(1)a 不是有理数，因为 a 既不是整数，也不是分数，而是无限不循环小数 .(2)估计 a2.2.(3)a2.24.六、板书设计：1、数怎么又不够用了（二
17、）一、导入二、新课1.无理数的定义2.举例三、练习四、补充练习五、课时小节六、课后作业七、教学反思：2.2 平方根( 一)一、教学目标：(一) 教学知识点1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3.了解算术平方根的性质.(二) 能力训练要求1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平.2.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.第二章 实数7(三) 情感与价值观要求1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.2.训练学生动脑、动口、动手能力.二
18、、教学重点：了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.教学难点：了解算术平方根的概念、性质.三、教学方法：讲授法四、教学手段：讲练结合五、教学过程：.新课导入上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在 a2=2 中，2 是有理数，而 a 是无理数.在前面我们学过若 x2=a，则 a 叫 x 的平方，反过来 x 叫 a 的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题.讲授新课师在讲新课之前，我们先回忆一下勾股定理，请同学们回答.生勾股定理就是在直角三
19、角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.师下面请大家根据勾股定量，结合图形完成填空. 根据下图填空x2=_y2=_z2=_w2=_师请大家思考后回答.生x 2=2,y2=3,z2=4,w2=5.师请大家再分析一下，x，y ， z，w 中哪些是有理数？哪些是无理数？生x ， y，w 是无理数，z 是有理数.师为什么呢？生因为没有任何整数或分数的平方等于 2，3，5，所以 x，y ，z 不是有理数，而 22=4，所以 z=2.师这位同学分析得非常正确，那么大家能不能把上图中的 x，y，z，w 表示出来呢？请大家仔细看书后回答.生x = ,y= ,z= ,w= .234师若一个正数 x 的平方等于
20、a，即 x2=a，则这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根.记为“ ”读作“根号 a”.这就a是算术平方根的定义.特别地规定 0 的算术平方根是 0，即 =0.师下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.例 1求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3) ；(4)14. 649解：(1)因为 302=900，所以 900 的算术平方根是 30，即 =30；90(2)因为 12=1，所以 1 的算术平方根是 1，即 =1；第二章 实数8(3)因为 所以 的算术平方根是 ，即 ；,649)87(28787649(4)14 的算术平方根是 .1通过上面的例题，大家思考一下，我们在求
21、算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？生是通过平方来求的.师对.由此我们可以看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.而且我们在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示互相补充的做法，目的是让大家明白算术平方根的概念，以及从计算中进一步体会一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.在以后的步骤中可以简化.例 2自由下落的物体的高度 h(米) 与下落时间 t(秒) 的关系为 h=4.9t2.有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？解：将 h=19.6 代入公式 h=4.9t2 得t2=4,所以 t= =2(秒)4即铁球到达地面需要 2 秒.师下面大家再观察一下刚才咱们求
22、出的算术平方根有什么特点.生甲算术平方根是整数或分数，即为有理数.生乙不对，那 是不是有理数？若是则是，分数还是整数？14生丙因为没有任何一个整数或分数的平方等于 14，所以 不是有理数，而是无理数.14师大家的分析都有道理，我提示一下从符号方面考虑.生甲噢，算术平方根是正数，如 ，2.,53,2生乙不对，还有零呢.正数的算术平方根是正数，零的算术平方根为零.师非常正确，那负数的算术平方根是否为负数呢？若(2) 2=4.则 =2 对吗？或者 =2 对吗？44生甲不对.因为算术平方根的定义是一个正数的 x 的平方等于 a，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，所以算术平方根不可能是负数.师由此
23、看来，定义中的 a 和 x 都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为 (a0)为非负数，这是算术平方根的性质.课堂练习(一)P 32 随堂练习 1、2 题.(二) 补充练习. 一、填空题1.若一个数的算术平方根是 ，则这个数是_.52. 的算术平方根是_.943.正数_的平方为 的算术平方根为_.971,2544.(1.44) 2 的算术平方根为_.5. 的算术平方根为_， =_810.第二章 实数9二、求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.4)2；(2)(3.9) 2；(3)2.25；(4)2 .41.课时小结本节课学习了算术平方根的概念，理解了求一个
24、正数的平方和求算术平方根是互为逆运算，求一个非零数的算术平方根，以及算术平方根的性质，即算术平方根是非负数.课后作业P33 习题 1、3.活动与探究1.一个正方形的面积变为原来的 n 倍时，它的边长变为原来的多少倍？2.一个正方形的面积为原来的 100 倍时，它的边长变为原来的多少倍？解：设原来的正方形边长为 a，面积为 S1，后来的正方形面积为 S2.1.S1=a2，S 2=na2( a)2后来的边长( a)为原来边长的 倍.nn2.S1=a2，S 2=100a2=(10a)2后来的边长 10a 为原来边长的 10 倍.六、板书设计：一、算术平方根的定义算术平方根的性质二、举例三、练习四、作
25、业七、教学反思：2.2 平方根(二)一、教学目标：(一) 教学知识点1.了解平方根的概念、开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.3.进一步明确平方与开方是互为逆运算.(二) 能力训练要求1.加强概念形成过程的教学，让学生不仅掌握概念，而且知晓它的理论数据.2.提倡学生进行自学，并能与同学互相交流与合作，变学会知识为会学知识.3.培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到 PX 们的共同点和不同点.(三) 情感与价值观要求通过学生在学习中互相帮助、相互合作，并能对不同概念进行区分，培养大家的团队精神，以及认真仔细的学习态度，为学生将来走上社会而做准备，使他们能在工作中保持严
26、谨的态度，正确处理好人际关系，成为各方面的佼佼者.二、教学重、难点重点：1.了解平方根、开平方的概念.2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.难点：1.平方根与算术平方根的区别与联系.2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因.第二章 实数10三、教学方法：讨论比较法.即主要靠大家讨论得出结论，同时对相似的概念进行比较.这样不仅能正确区分这些概念，还能使学生学得更扎实.四、教学手段：五、教学过程：.创设问题情境，引入新课上节课我们学习了算术平方根的概念，性质.知道若一个正数 x 的平方等于 a，即
27、x2=a.则 x 叫 a 的算术平方根，记作 x=，而且 也是非负数，比如正数 22=4，则 2 叫 4 的算术平方根，4 叫 2 的平方，但是(2) 2=4，则2 叫 4 的什么根a呢？下面我们就来讨论这个问题.讲授新课1.平方根、开平方的概念师请大家先思考两个问题.(1)9 的算术平方根是 3，也就是说，3 的平方是 9，还有其他的数，它的平方也是 9 吗？(2)平方等于 的数有几个？平方等于 0.64 的数呢？254生3 的平方也是 9.的平方是 ， 的平方也是 ，即平方等于 的数有两个.254254生平方等于 9 的数有两个，平方等于 的数有两个，由此可知平方等于 0.64 的数也有两
28、个.师根据上一节课的内容，我们知道了是 9 的算术平方根， 是 的算术平方根，那么3， 叫 9、 的524什么根呢？请大家认真看书后回答.生3， 分别叫 9、 的平方根.524师那是不是说 3 叫 9 的算术平方根，3 也叫 9 的算术平方根，即 9 的算术平方根有一个是 3，另一个是3 呢？生不对.根据平方根的定义，一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个 x 就叫 a 的平方根(square root)，也叫二次方根，3 和3 的平方都等于 9，由定义可知 3 和3 都是 9 的平方根，即 9 的平方根有两个 3 和3，9 的算术平方根只有一个是 3.师由平方根和算术
29、平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？请分小组讨论后选代表回答.生平方根的定义中是有一个数 x 的平方等于 a，则 x 叫 a 的平方根，x 没有肯定是正数还是负数或零；而算术平方根的定义中是有一个正数 x 的平方等于 a，则 x 叫 a 的算术平方根，这里的 x 只能是正数.由此看来都有 x2=a，这是它们的相同之处，而 x 的要求不同，这是它们的不同之处.师这位同学分析判断能力特棒，下面我再详细作一总结. 平方根与算术平方根的联系与区别联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有. (3)0 的平方根，算术平方根都是 0.区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根 ”；“非负数 a 的非负平方根叫 a 的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数 a 的平方根表示为 ，正数 a 的算术平方根表示为 .(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.师什么叫开平方呢？
