1、三、利用向量方法求空间角与距离1、空间位置关系的判定1）、直线的方向向量与平面的法向量：直线的方向向量、平面的法向量2）、用向量描述空间线面关系设空间两条直线 的方向向量分别为 ，两个平面 的法向量分别为 ，则由如下结论平 行 垂 直与与与3）、相关说明：上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定定理与性质定理，要理解掌握。2、空间的角1）、用法向量求线面角：原理：设平面 的斜线 l与平面 所的角为 1，斜线 l与平面 的法向量所成角 2，则 1与 2互余或与 2的补角互余。2）、用法向量求二面角：原理：一个二面角的平面角 1与这个二面角的两个半平面的法向量
2、所成的角 2相等或互补。方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角 方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，再解直角三角形来求角。方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。3、空间的距离1）、两点间的距离公式2）、向量法在求异面直线间的距离设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为 ，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是 在 方向上的正射影向量的模。3）、向量法求点到平面的距离设分别以平面外一点 P与平面内一点 M为起点和终点的向量为 ，平面的法向量为 ，则 P到平面的距离 d等于 在 方向上正
3、射影向量的模。4、利用向量的夹角公式及向量的射影易推下列结论：1）若两异面直线 、 的夹角为 ，则 .abba,cos2）若 为平面 的法向量， AB 与平面 所成角为 ， 与 所夹锐角为 ，则nnAB，从而 .cosiABn,3）若 、 分别是二面角两个半平面的法向量，则 、 所夹角为所求二面角或其12 12补角.4）若 是异面直线 与 公垂线的方向向量，A、 B 分别是 、 上两点，则 在 上nababABn的射影就是异面直线 与 的距离. 即 .nd5）若 是平面 的法向量， 是平面 的一条斜线，且 ，则 在 上的射影就nABBAn是点 A 到平面 的距离，即 .nd6）若直线 平面 ，
4、 ， 是 的法向量，则 在 上的射影就是直线 到/lBlA,ABnl平面 的距离，即 .nd7）若 A、B 分别是两平行平面 、 上两点， 为两平行平面的法向量，则 在 上nABn的射影即为两平行平面的距离，即 .ABd5、例题选讲例 1 （2004 年广东省高考题）如图 1，在长方体 中，已知 ，1DCBA4AB， ，E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 .3AD21 FE（）求二面角 的正切值；（）求直线 与 FD1所成角的余弦值；1CDEEC（）求直线 DC 与平面 所成角的正弦值.例 2 已知正四棱柱 ， ，E 为 的中点.1BA2,1A1（）求异面直线 与 之间的距离；（）求点
5、 到平面 BDE 的距离；1DCD（）求直线 到平面 BDE 的距离；（）求两平行平面 与面 的距离.1ABDC1例 3如图，四棱锥 中， 底面 ， 底面 为梯形， . ，点 在棱 上，且 （）求证：平面平面 ； （）求证： 平面 ； （）求二面角 的大小 6、练习如图,矩形 ABCD和梯形 BEFC所在平面互相垂直，BE/CF， BCF= CEF= ,AD= ,EF=2。（）求证：AE/平面 DCF；（）当 AB的长为何值时,二面角 A-EF-C的大小 7、近三年高考题（2009 安徽理） （18） （本小题满分 13 分）如图，四棱锥 FABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线 AC=
6、2，BD= 2，AE、CF 都与平面 ABCD 垂直，AE=1，CF=2.（I）求二面角 BAFD 的大小；（II）求四棱锥 EABCD 与四棱锥 FABCD 公共部分的体积.（2010 安徽理）18、 （本小题满分 12 分）如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是正方形， EF AB， F， 2ABE，90BFC， ， H为 的中点。AB() 求证： FH平面 ED；()求证： C平面 ；()求二面角 的大小。（2011 安徽理）17如图， ABFG为多面体，平面 ABED与平面 GF垂直，点 O在线段 AD上，1,2,OADOAB，, OC， ， O都是正三角形。（）证明直线 E；（II）求棱锥 FOBED 的体积。
