1、高三数学教案 57第 912 课时课题：不等式问题的题型与方法一复习目标：1在熟练掌握一元一次不等式(组) 、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；3通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等) ，使学生较灵活的运用常规方法 (即通性通法)证明不等式的有关问题；4通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；5能
2、较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题 6通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识 二考试要求：1理解不等式的性质及其证明。2掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。3掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。4掌握简单不等式的解法。5理解不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|。 。三教学过程：（）基础知识详析1解不等式的核心问题是
3、不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰2整式不等式(主要是一次、二次不等式 )的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组) 是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都
4、与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用3在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可高三数学教案 58将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用4比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商 )变形判断符号(值) 5证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，
5、将会起到很好的促进作用在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因” ，后者是“由因导果” ，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的6证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点7不等式
6、这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。8不等式应用问题体现了一定的综合性这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等
7、式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件利用不等式解应用题的基本步骤：1 0审题，2 0 建立不等式模型，3 0 解数学问题，4 0 作答。9注意事项：解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解， 。解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌高三数学教案 59握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明
8、不等式时要注意调整放缩的度。根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。（）2004 年高考数学不等式综合题选1 （2004 年高考数学广西卷，5）函数 的定义域为 （ )1(log2xy）A B 2,1, )2,1(),(C D22答案：A2 （2004 年高考数学广西卷，8）不等式 的解集为 （ 31x）A B C D,0)4,2(0,0,)2(4答案：D3 （2004 年高考数学广西卷，11）设函数 ，则使得1,4)()2xxf的自变量 的取值范围为 1)(xfx（ ）A B 0,2,1,02,C D1答案：A4 （2004 年高考数学广西卷，19）某村计划建造一个室内面积为 80
9、0 的矩形蔬2m高三数学教案 60菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留 1 宽的通道，沿前侧m内墙保留 3 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最m大。最大种植面积是多少？分析：本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力.解：设矩形温室的左侧边长为 a m，后侧边长为 b m，则 ab=800.蔬菜的种植面积 ).2(8024)2(4 baS 所以 .68280b当 ).(6,)(0),(, 2Sab最 大 值时即答：当矩形温室的左侧边长为 40m，后侧边长为 20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为 648m2.5 （200
10、4 年高考数学江苏卷，1）设集合 P=1，2，3，4，Q= ，Rx,2则 PQ等于 （ ）A1，2 B 3，4 C 1 D -2，-1，0，1，2答案：A6 （2004 年高考数学江苏卷，10）函数 在闭区间-3，0 上的最大1)(3xf值、最小值分别是 （ ）A1，-1 B 1，-17 C3，-17 D9，-19答案：C7 （2004 年高考数学江苏卷，12）设函数 ，区间 M=a，b)(1)(Rxxf(a0 的解集是 _.答案： ),3(),(9 （2004 年高考数学江苏卷，22）已知函数 满足下列条件：对任意的)(Rxf实数 x1，x 2 都有)()()(212121 fxfx和 ，其
11、中 是大于 0 的常数.2)ff 设实数 a0，a，b 满足 和)(af )(afb()证明 ，并且不存在 ，使得 ；10b0f()证明 ；2220)()(aab()证明 .)1(ff分析：本题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力。证法一：（I）任取 则 由,2121xRx)()()(21 ffxx -3 -2 -1 0 1 2 3 4y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6高三数学教案 62和 |)(| 2121xfxf可知 ，212121212121 |)(|)()()( xfxxf 从而 . 假设有 式知则 由使 得 ,0,0bab.)()()(020 矛
12、 盾ffa不存在 .,0使 得（II）由 )(fb可知 20202020 )()()()( affaafa 由 式，得和f20000 )()()()( fa由 和式知， f 202 )(afa由、代入式，得 20200 )()()(b221（III）由 式可知 2)()()( afff2fbab（用式）2 )()()(fa2 aff 高三数学教案 63（用式）222 )()()( afbaf22)(1(ff证法二：题目中涉及了八个不同的字母参数 以及它们的,210xba抽象函数值 。参数量太多，让考生们在短时间内难以理清头绪。因而解决问(*)f题的关键就在于“消元”把题设条件及欲证关系中的多个
13、参数量转化为某几个特定变量来表示，然而再进行运算证明。 “消元”的模式并不难唯一，这里提供一个与标准解答不同的“消元”设想，供参考。题设中两个主要条件是关于 与 的齐次式。而点21x)(21xff、 是函数图象上的两个点， 是连接)(,1xf)(,2xf 2121/xf这两点的弦的斜率。若欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示，则可以借助斜率进行“整体消元” 。设 为不相等的两实数，则 由题设条件可得：21,x 0|,)(2121xx和 。21)(0xff|)(|21xff令 ，21)(xffk则对任意相异实数 ，有 及 ，即 。,k01| 10k由此即得 ；又对任意 有 ，得函数 在 R
14、上单调增，所21x)(xf以函数 是 R 上的单调增函数。)(xf如果 ，则 ，因为 ，所以 。即0ab)(00afbf 0)(f 0)(bf高三数学教案 64不存在 ，使得 。于是， （）的结论成立。0ab0)(bf考虑结论（）：因为 ，故原不等式为)(f；20220 )(1 aa当 时，左右两边相等；当 时， ，且 ，则原不等式即为：0)(20)(0f，22021)( aff令 ，则原不等式化为 ，即为0)fk 221)(k。2)1(因为 ，则 ，所以 成立，即（）中1kk2 k2结论成立。再看结论（）：原不等式即 ，0)()()( 222affbf即 ，注意到)(2 faf ，则 ，则原
15、不等式即为)(b)(f0)(/2 2 abbff即 ，令 ，则原不等1)()(afa abfk)(式即化为高三数学教案 65，即 ，因为 ，则01)/2(kk210k，所以成立，即（）的结论成立。k2在一般的“消元”方法中，本题三个小题中不等关系的证明过程差异较大。尤其是（）与（） ，许多尖子学生证明了（）的结论而不能解决（） 。借助斜率 k“整体消元”的想法把（） 、 （）中的不等关系都转化为相同的不等关系 ，然后由条件 推证，有独到之处。210k（）范例分析b)M，且对 M 中的其它元素(c，d)，总有 ca，则 a=_分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口怎样理解“对
16、 M 中的其它元素(c，d)，总有 ca”？M 中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价于求函数 x=f(y)=(y+3)|y-1|+(y+3)(2)当 1y3 时，所以当 y=1 时，xmin=4 说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质即求集合 M 中的元素满足关系式高三数学教案 66例 2解关于 的不等式： x092ax分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式a组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当 029292a
17、xaxx 即时 ， 不 等 式 可 转 化 为aba173 0292)(2axaxx 即时 不 等 式 可 化 为当。ax6173,(32故 不 等 式 的 解 集 为或例 3 己知三个不等式： x5421232x012mx(1)若同时满足、的 值也满足，求 m 的取值范围；(2)若满足的 值至少满足和中的一个，求 m 的取值范围。分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足、的 值的满足的充要条件是：对x应的方程的两根分别在 和 内。不等式和与之对应的方程及函数图象0,),3有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。解：记的解集为 A，的解集为 B，的解集为 C。解得 A=（-1，3） ；解得 B= )3,2(1,0A,42()1, （1） 因同时满足、的 值也满足，A B Cx
