1、南京工程学院教案【教学单元首页】第 26 次课 授课学时 10 学时 教案完成时间： 2009.8 章、节第二章 自动控制系统的数学模型第一节 控制系统的微分方程第二节 拉氏变换解微分方程第三节 传递函数第四节 动态结构图第五节 反馈控制系统的传递函数第六节 控制系统数学模型的建立举例主要内容这一单元主要完成第二章自动控制系统的数学模型的教学内容。首先介绍采用解析法建立自动控制系统微分方程的方法，用 RC 电路、机械位移系统、他激直流电动机和液位系统作为实例进行说明，得出微分方程的一般表达式。简要说明采用拉氏变换解微分方程的思路，并举例说明。简单介绍微分方程线性化的基本概念。然后介绍复数域数学
2、模型传递函数的定义和求取方法，典型环节的传递函数以及单位阶跃响应的求取。再介绍系统动态结构图的建立，两种简化动态结构图求系统传递函数的方法等效变换和梅逊公式。最后介绍几种自动控制系统传递函数的定义和求取，即：开环传递函数，闭环传递函数，误差传递函数，扰动信号对应的传递函数。用一个综合实例介绍系统数学模型的建立过程。目的与要求本单元的教学目的是让学生通过这一章的学习了解和掌握自动控制系统数学模型建立的基本方法以及数学模型之间的相互转换。要求学生了解自动控制系统微分方程建立的步骤和方法，掌握利用拉氏变换求解线性微分方程的基本方法。了解绘制系统动态结构图的过程，掌握简化系统动态结构求系统传递函数的方
3、法，并能根据系统的动态结构图求出系统不同的传递函数。重点与难点本单元的重点：数学模型的建立在自动控制系统性能分析中的重要性，数学模型微分方程、传递函数、动态结构图建立的方法和过程，它们之间的相互关系，动态结构图的简化以及系统几种传递函数求取的方法。 本单元的难点：动态结构图简化求传递函数。教学方法与手段主要采用多媒体教学，在有些数学运算和框图简化时加板书解释。数学模型：描述系统动态过程中各变量之间相互关系的数学表达式。建立系统数学模型的方法主要有两种：解析法：根据系统所遵循的物理定律，经过数学推导,求出数学模型。实验法：在系统的输入端加上一定形式的测试信号，通过实验测试出系统输出信号，再根据输
4、入、输出特性确定数学模型。本章只介绍用解析法建立数学模型的方法。常用的数学模型有：微分方程、传递函数、 动态结构图、 频率特性等。一、建立系统微分方程的一般步骤列写系统微分方程的一般步骤：(1) 确定系统 的输入变量和输出变量。(2) 建立初始微分方程 组。即根据各环节所遵循的基本物理规律,分别列写出相应的微分方程，并构成微分方程组。(3) 消除中间变 量，将式子标准化。将与输入量有关的项写在方程式等号的右边，与输出量有关的项写在等号的左边。二、常见环节和系统的微分方程的建立1 RC电路电路如图所示。RC(1) 确定输入、输出量输入量为电压 ，输出量为电压 。 rucu(2) 建立初始微分方程
5、 组 根据基尔霍夫定律得 crRidtuCi(3) 消除中间变 量，使式子标准化 rctR电路的数学模型是一个一阶常系数线性微分方程。RC+-ur uc+-CiR第二章 自动控制系统的数学模型第一节 控制系统的微分方程2机械位移系统图所示是一个由弹簧、质量物体和阻尼器所组成的机械系统。其中： 为弹性系数， 为物体的质量， 为阻尼系数。kmf(1) 确定输入、输出量 为输入量， 为输出。)(tF)(ty(2) 建立初始微分方程 组 根据牛顿第二定律 可得 aFmtttKB)()()(其中 dtyf)()(ktFK2dtya(3) 消除中间变 量，将式子标准化)()()(2 tFkydtftym机
6、械位移系统是二阶常系数线性微分方程。3他激直流电动机图为他激直流电动机的原理图。其中 、 、 、 、 分别为电枢电压、duiaRLbe电流、电 阻、 电 感和反电势。 为电磁转矩， 为负载转矩， 为摩擦转矩。eTLTfT(1) 确定输入、输出量为输入量； 为负载转矩， 电动机的转速 为输出量。duLTn(2) 列写初始微分方程组根据基尔霍夫定律和电机工作原理，得bdadadetiLiRuRa eb+-ud Laid为反电势系数 nCeebeC根据电机的动力学方程式为电机飞轮惯量dtGDTfLe37522为转矩系数dmim(3) 消除中间变 量，将式子标准化当 时，得 0fLTdtnCGDimd
7、3752整理得： eeaemaautRdtnCRGD375222令电磁时间常数： 机电时间常数： aLTemaCRGDT3752电动机的微分方程式为： edmuntdtn2这是一个二阶常系数线性微分方程。4液位系统图所示为一简单的液位控制系统。 ：为流入箱体的流量、通0,hqoi过节流阀流出的流量和液面高度的平衡值。：各量在平衡工作点处的增量。oi,：箱体的截面积。 ：输入量，A)(tqi输出量 )(th根据物料平衡关系： )()()( 000 tqtqdthAoii 0oiq)()(tqtoithato：通流口结构形式决定的系数。a得系统的微分方程： )()(tqthadtAi通过以上几例微
8、分方程式的建立，可知系统的微分方程是由输出量的各阶导数和输入量的各阶导数以及系统的一些参数构成。阶系统微分方程描述：n（ ） )()()()(1101 trbdtdtrbtr cattcatcd mmmmnnnn 第二节 拉氏变换解线性微分方程用拉氏变换求解微分方程的基本思路和方法是：线性微分方程（时域t） 代数方程（复数域s ）求解微分方程的解（时域t） 代数方程的解（复数域s）（3） dtefs0)(dtefsFs0)( f(t)t01=sI(t)e-std0F(s)= f(t)t0=1 (t)e-std0F(s)= f(t)t0=s21te-sd0F(s) =s2+ te-sd0F(s)
9、= co f(t)t01=s+ae-atsd0(s)= 拉氏变换拉氏反变换一、拉氏变换的定义如果有一函数满足下列条件：（1）t 0 时 f(t)=0 （2）t 0 时 f(t)是分段连续的 f(t)的拉氏变换为：记作 F(s)=Lf(t)拉氏反变换为：f(t)=L-1F(s)二、常用函数的拉氏变换1 单位阶跃函数I(t)2 单位脉冲函数 (t)3单位斜坡函数t4 正弦函数sint5 余弦函数cost6. 指数函数f(t)t0=s3112te-std 0F(s)= Laf1(t)+bf2(t)=aF1(s)+b2(s)f(t)=sint=s2 + Lsin2j1-j t Ldf(t)F()-f0
10、Ld2f(t)=s2F()-sf0()f(t)=IdtIL s21I(t)= dt)s21-0=s=1sF()+f-1(0)sL f(t)dL f(t- ) -=e() s tt0 -f(t)= -FsLte s 21e- s -atLef()=F(s+a)f(t)=e sint-at (s)2 Lim f(t)=lisF( t 0 i f(t)li()t s 0 7. 抛物函数三、拉氏变换的定理1. 线性定理2. 微分定理3. 积分定理4. 延迟定理5. 位移定理6. 初值定理7. 终值定理 四、拉氏反变换F(s)=b0 m+ 1s- + bm-1 san nannK(sz1 )(2 )(s
11、zm)ppn=-p1As-2s-pA1tf(t)Aep2t+pntAe+A1=F(s)-p1 )s=12F(s)-p2 )s=2n=F(s)-pn)s=ns2+43 ()51)( =1+sA32(s+1)3 F)=252 21=s-A1 ( s-32() (+)ft)e-t (t-3tA(s)(sp1 )2 pn)F)=(s-p1 )(-2 )A+s-p3A+s-pn(s-1 )(-2 s1s=p1A1s+2 s(9)F)=3 1A2 sj2=j3A2=191-93 -/9+s()/s/9-(2+) F(s)=1/(s2) f(t)sintco3t+ =s j3jj3 j-91+2 A(s)(
12、sp1 )rr+1 (pn)=(s-1 )rA+s-pr1A+s-pn+(s-p1 )r-2-1rd-F()- rAr 1(-)!sr(s+2)()=3 F(s)=+s1A1s2)2A34-1=23A= 14 d-F()-p1 22 sp1( -)!2)d s-1(2)+3 4 - -43f(t)=e-tett 21. 相等实数极点2. 复数极点3. 重极点五用拉氏变换解线性微分方程例 设系统的微分方程式为 )(2)()(2 trcdttc已知 求系统的输出响应。)(tr0解 将方程两边求拉氏变换，得)(2)(2 sRCss112对上式取拉氏反变换得 tetctsin)(响应曲线如图所示:传递
13、函数为系统在复数 域内的数学模型s第三节 传递函数一、传递函数的定义及求取设系统的结构如图所示： 传递函数的定义：在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。传递函数可用 表示: )(sG)(sRCG例 求图所示 串联电路的传递函数。设输入量为 ，输出量为 。RLCrucu解 根据基尔霍夫定律得 crudtiudtuicrcctLCtR2拉氏变换得： )()()(2sUssUrcc传递函数为： 12RCLGr例 求液位控制系统的传递函数 )()(0tqAthadti解 求拉氏变换得 )(2)(0sQHhAasi1/)(1)00sasQHi设 ， 得 bah02Ab)(AbsQHi阶系统的微分方程：n（ ） )()()()( 1101 trbdtdtrbtrd tcattctc mmmm nnnn 取拉氏变换得 0 sCsann)(11R+_ur uc+_CLRiR(s) C(s)G(s)r(t) c(t)
