1、 专题提升 (十二 ) 与圆的切线有关的计算与证明 类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图 Z12 1， O的切线 PC交直径 AB的延长线于点 P， C为切点 ， 若 P 30， O的半径为 1， 则 PB的长为 _1_ 图 Z12 1 经典母题答图 【解析】 如答图 ， 连结 OC. PC为 O的切线 ， PCO 90 ， 在 Rt OCP中 ， OC 1， P 30 ， OP 2OC 2， PB OP OB 2 1 1. 【思想方法】 (1)已知圆的切线 ， 可得切线垂直于过切点的半径； (2)已知圆的切线 ，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直 【中考变形】 201
2、7天津 已知 AB是 O的直径 ， AT 是 O的切线 ， ABT 50， BT 交 O于点 C， E是 AB上一点 ， 延长 CE交 O于点 D. (1)如图 Z12 2 ， 求 T和 CDB的大小； (2)如图 ， 当 BE BC 时 ， 求 CDO的大小 图 Z12 2 解： (1)如答图 ， 连结 AC， AT 是 O的切线 ， AB是 O的直径 ， AT AB， 即 TAB 90 ， ABT 50 ， T 90 ABT 40 ， 由 AB是 O的直径 ， 得 ACB 90 ， CAB 90 ABC 40 ， CDB CAB 40 ； 中考变形答图 中考变形答图 (2)如答图 ，连结
3、AD， 在 BCE中 ， BE BC， EBC 50， BCE BEC 65， BAD BCD 65， OA OD， ODA OAD 65， ADC ABC 50， CDO ODA ADC 65 50 15 . 【中考预测】 2017宿迁 如图 Z12 3， AB与 O 相切于点 B， BC 为 O的弦 ， OC OA，OA 与 BC 相交于点 P. (1)求证： AP AB； (2)若 OB 4， AB 3， 求线段 BP 的长 图 Z12 3 中考预测答图 解： (1)证明： OC OB， OCB OBC， AB是 O的切线 ， OB AB， OBA 90 ， ABP OBC 90 ， O
4、C AO， AOC 90 ， OCB CPO 90 ， APB CPO， APB ABP， AP AB； (2)如答图 ， 作 OH BC 于 H.在 Rt OAB中 ， OB 4， AB 3， OA 32 42 5， AP AB 3， PO 2. 在 Rt POC 中 ， PC OC2 OP2 2 5， 12PC OH 12OC OP， OH OP OCPC 4 55 ， CH OC2 OH2 8 55 ， OH BC， CH BH， BC 2CH 16 55 ， BP BC PC 16 55 2 5 6 55 . 类型之二 与切线的判定有关的计算或证明 【经典母题】 已知：如图 Z12 4
5、， A是 O外一点 ， AO的延长线交 O于点 C， 点 B在圆上 ， 且 AB BC， A 30， 求证：直线 AB是 O的切线 图 Z12 4 经典母题答图 证明： 如答图 ， 连结 OB， OB OC， AB BC， A 30 ， OBC C A 30 ， AOB C OBC 60 . ABO 180 ( AOB A) 180 (60 30) 90 ， AB OB， 又 OB为 O半 径 ， AB是 O的切线 【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法 “ 作半径 ， 证垂直 ” 或者 “ 作垂直 ， 证半径 ” 【中考变形】 1 2016黄石 如图 Z12 5， O的直径为 AB， 点 C
6、在圆周上 (异于 A， B)， AD CD. (1)若 BC 3， AB 5， 求 AC的值； (2)若 AC是 DAB的平分线 ， 求证：直线 CD是 O的切线 图 Z12 5 中考变形 1 答图 解： (1) AB是 O直径 ， C在 O上 ， ACB 90 ， 又 BC 3， AB 5， 由勾股定理 ， 得 AC 4； (2)证明：如答图 ， 连结 OC， AC是 DAB的平分线 ， DAC BAC， 又 AD DC， ADC ACB 90 ， ADC ACB， DCA CBA， 又 OA OC， OAC OCA， OAC OBC 90 ， OCA ACD OCD 90 ， 直线 CD是
7、 O的切线 2 2017南充 如图 Z12 6， 在 Rt ACB中 ， ACB 90， 以 AC为直径作 O交 AB于点 D， E为 BC 的中点 ， 连结 DE 并延长交 AC的延长线点 F. (1)求证： DE 是 O的切线； (2)若 CF 2， DF 4， 求 O直径的长 图 Z12 6 中考变形 2 答图 【解析】 (1)连结 OD， 欲证 DE 是 O的切线 ， 需证 OD DE， 即需证 ODE 90 ， 而 ACB 90 ， 连结 CD， 根据 “ 等边对等角 ” 可知 ODE OCE 90 ， 从而得证； (2)在 Rt ODF 中 ， 利用勾股定理建立关于半径的方程求解
8、解： (1)证明：如答图 ， 连结 OD， CD. AC是 O的直径 ， ADC 90 . BDC 90 .又 E为 BC 的中点 ， DE 12BC CE， EDC ECD. OD OC， ODC OCD. EDC ODC ECD OCD ACB 90 . ODE 90 ， DE 是 O的切线； (2)设 O的半径为 x.在 Rt ODF 中 ， OD2 DF2 OF2， 即 x2 42 (x 2)2， 解得 x 3. O的直径为 6. 【中考预测】 如图 Z12 7， AB 是 O 的直径 ， 点 C， D 在 O 上 ， A 2 BCD， 点 E在 AB的延长线上 ， AED ABC.
9、(1)求证： DE 与 O相切； (2)若 BF 2， DF 10， 求 O的半径 图 Z12 7 中考预测答图 解： (1)证明：如答图 ， 连结 OD. AB是 O的直径 ， ACB 90 ， A ABC 90 ， BOD 2 BCD， A 2 BCD， BOD A， AED ABC， BOD AED 90 ， ODE 90 ， 即 OD DE， DE 与 O相切； (2)如答图 ， 连结 BD， 过点 D作 DH BF 于点 H. DE 与 O相切 ， ACD BCD ODB BDE 90 ， ACD OBD， OBD ODB， BDE BCD， AED ABC， AFC DBF， AFC DFB， ACF与 FDB都是等腰三角形 ， FH BH 12BF 1， HD DF2 FH2 3， 在 Rt ODH中 ， OH2 DH2 OD2， 即 (OD 1)2 32 OD2， OD 5.即 O的半径是 5.
