1、解直角三角形 的应用 专题复习 解直角三角形 的 应用既是初中 数学 的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题： 一、 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 二、中考导向掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因 此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%10%。分
2、值约在 8%12%题型多 以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题 ， 几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 1.解直角三角形有以下类型： 已知两边 先用勾股定理求出第三边，再求三角函数值，最后求出角 已知一边和一锐角 先求另一锐角，再由边角关系求其余两边 典例分析： 例 1 在 ABCRt 中 , ,900C 3,30 bA ,解这个三角形 . 解法一 ,30,90 00 AC .2ac 设 xa ,则 .2xc 由勾股定理 ,得 222 )2().3( xx 1x . 0000 60309090.22,1 ABxca . 解法二 .133330ta n 0 ba 00
3、02222 603090.2)3(1 Bbac 说明 : 本题考查含特殊角的直角三角形的解法 ,它可以用本章 所学的解直角三角形的方法 ,也可以用以前学的性质解题 . 巩固训练： 分别由下列条件解直角三角形（ 090C ） . （ 1） ;45,8 0 Bc （ 2） 060,36 Bb ；（ 3） ;24,4 ca （ 4） .6,2 ba 解 （ 1） 0000 45459090 BA 。 caAsin .2445s in8s in 0 Aca 24ab 。 （ 2） 0000 30609090 BA 。 cbBsin . .12233660s in36s in 0 Bbc .sin ca
4、A .6211230s in12s in 0 Aca (3) ,24,4,s in cacaA .2224 4s in A .450A .454590 000 B .4ab (4) ,6,2,ta n babaA 3362tan A. .300A 0000 60309090 AB . 222 cba , 2262 c . 说明 :本题考查直角三角形的解法 ,解题关键是正确地选用关系式 .易错点是选用关系式不当 ,造成计算错误或增大结果的误差 。 2. 应用解直角三角形知识解决实际问题 ： 例： 直升飞机在跨江大桥 AB 的上方 P点处，此时飞机离地面的高度 PO=450米，且 A、 B、 O三
5、点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为 =30 ， =45 ，求大桥的长 AB 【分析】如图所示，要求 AB 长，先设法求出边 AO 与 BO 的长，然后相减即可，由条件可得 30PAO ， 45PBO ，又因为 PO=450米，可选择上述两特殊角正切分别求得 AO 与 BO 【解】由题意得， 3 0 , 4 5P A O P B O ， t a n 3 0 , t a n 4 5P O P OO A O B ， 450 4 5 0 3ta n 3 0OA ， 450 450tan 45OB ， 4 5 0 ( 3 1 ) ( )A B O A O B m 答：大桥的长 AB 为 450(
6、3 1) 米 （强调解题完整，要写“答”，注意单位， 这些都是中考失分的重要因素） P O B A 450 米 例 1 图 变题 1： 直升飞机在长 400 米的跨江大桥 AB 的上方 P 点处，且A、 B、 O 三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的 仰角分别为30和 45 ，求飞机的高度 PO 请 大家 自行分析解决，注意方程思想的运用 （本 题应 注意方程思想的 运用，可设所求 PO 长为 x，由 45 度角的正切或直接由 “等角对等边 ”可求得 OB 也 等于 x，然后再由 30 度角的正切列出方程，即 3400 3xx ， 熟 练 后也可以 直 接列 3 400xx ，所以 200
7、 3 200( )xm） P O B A 45 30 400 米 变题 1 图 变题 2 直 升 飞 机在高 为 200 米的大楼 AB 上方 P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30和 45，求飞机的高度 PO 将 将将 问题转化为两个直角三角形组合图形中加以解决，可割可补 （本题会出现两种不同解法，割或补，即过 A 作 AC PO，要求 PO长，此时 CO=AB=200，只需求出 PC 即可；或是过 P 作 PC 垂直BA 延长线于点 C，求出 AC。不管哪种方法，必须注意所设未知数是哪条边，如果不是直接设 PO 为未知数，则一定要注意最后的结果必须是 PO 的长 ，结果为 10
8、0 3 300( )m ） 30 45 200米 P O B A 变题 2 图 变题 3： 直升飞机在高为 200 米的大楼 AB左侧 P 点处，测得大楼的顶部仰角为 45 ， 测得大楼底部俯角为 30，求飞机与大楼之间的水平距离 找出等量关系，列方程 （列方程关键在于找出等量关系，本题可以以 AB长为等量关系，充分利用好 45度角的特点，即 PD=AD，如果 设 PD=x，则 AD=x，由 30 度角可表示 33BD x ，从而可 以 列出方程 3 2 0 0 , 3 0 0 1 0 0 3 ( )3x x x m ；设 BD=x，则AD=PD=200-x， 3 200xx， 得 100 3
9、 100x ， 不 能 忘 记 求 PD） 根据以上解 题过程，列举四题中三个示意图，分析归纳这类问题的共同点从而了解 数学建模及方程思想，并归纳出这类图形的结构特点 规律总结： （将例 1及 3 个相关变题中的图形 加以分析，从每个问题所提供的条件特点，结合图形结构特征，可归纳出这类问题：（ 1）示意图为有一个公共边的两个直角三角形，分布位置有两种，位于公共边同侧或异侧；（ 2）所给条件一般为两角一边，且边一般为已知 角 的邻边或对边（非直角三角形斜边），此时选用的三角函数关系多为正切） 45 30 P A B D O 200米 变题 3 图 P O B A 450米 例 1图 P O B
10、A 45 30 400米 变题1 图 45 30 P A B D O 200米 变题 3图 30 45 200米 P O B A 变题2图 变题 4：（ 2008 桂林）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去 A、 B两个村庄抢险，飞机在距地面 450 米上空的 P 点，测得 A 村的俯角为 30 ， B 村的俯角为 60 （如图）求 A、 B 两个村庄间的距离 总结： 通过以上题目， 重点是让大家掌握如何把实际问题转化为数学问题，数学建模思想必不可少，具体操作方法就是抽象出几何图形，就本 课而言是主要是两个三角形的两种不同组合图形。此外在解直角三角形中也 渗透了方程思想。 （ 1）数学建模及方程
11、思想 从实际问题抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题求解； 解直角三角形常结合用方程。 （ 2）解题方法小结 A把实际问题转化为数学问题的两个方面；（图形转化，条件转化） B把数学问题转化为解直角三角形的处理方法（构造直角三角形） （将实际问题转化为数学问题，关键要画好示意图，从实际问题抽象出数学模型，如果是单个直角三角形，则直接解直角三角形，如果是一般三角形，甚至是梯形或组合图形，则通过作高将其转化为直角形再求解，而解直角三角形的常用方法是结合方程进行计算） QB CPA45060 30 联系实际，对问 题情境的理解需要具有一定的空间想象能力，逐步从实际问题中，抽象出数学模型，将实际问题
12、转化为数学问题来解决。变题 1与例 1是交换题目条件与结论，情境不变，分别求桥长与飞机高。变题 2-3情境有所变化，由测桥变为测楼，所求问题是飞机高及飞机到楼房距离。以上问题的解题关键在于转化实际问题为数学问题，着重是示意图的画法（包括已知什么和求什么），进而利用解直角三角形知识解决问题，并在解题后及时加以归纳，挖掘图形结构及条件的特点。 例 3 已知 如 图 在 直 角 梯 形 ABCD 中，FEBCBCDAB 、,cm10,60,/ 分别为 AD、BC 的中点， 14EF cm，求两底 AB、 CD 的长 . 解：过 C 作 ABCG 于 G 交 EF 于 H. E、 F 分别是 AD、 BC 的中点， GBHFABEF /,/ . 在 Rt CBG 中， cm10,60 BCB . 60c o sBCGB ).cm(51021 HF 为 CBG 的中位线， )cm(5.1655.11 ),cm(5.115.214 ).cm(5.221GBDCGBAGABHFEFEHCDGBHF答： AB 的长是 16.5cm， CD 的长是 11.5cm. 说明：本题使用“转化思想”，把分散的元素，通过添加辅助线，集中到一个三角形中，然后再解此三角形 。 一种重要的方法与途径是使用割补法，将图形分割或拼补成一些直角三角形，再注意寻找公共边与公共角进行过渡
