1、12.2.1 高三等差数列教案教学背景1、面向学生：普通高中学生，该阶段的学生思维活跃，具有较强的自学及团结合作学习能力.2、课时：1 个课时.3、教具：多媒体、实物投影仪、黑板.教学课题普通高中课程标准实验教科书数学必修 5，第二章，第一节等差数列.设计说明本节课由感性认识出发，由特殊引出等差数列的概念，用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，将数列的知识运用于实践中，增强学生学习兴趣.其中课堂上教师主要起主导作用，以学生为主体，鼓励学生间的交流学习与本身的探索发现.知识起点学生已经学习了数列的概念与简单表示方法，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力
2、和演绎推理能力.学情分析经验起点学生虽有观察一列数中数与数之间的关系，但难以归纳总结如何求这列数中的任一个位置上的数的取值，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点.教材分析地位与作用地位：数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分.作用：等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据.知识与技能目标1、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一
3、些简单的问题.2、理解等差中项的定义，学会运用这一定义.三维目标过程与方法目标1、经历“建模”过程:通过对数列的观察、归纳与概括，提高学生观察、发现、探索的能力；2、经历“释模”过程：通过实例进行剖析，语言互译，研究数学问题，培养学生分析、归纳、解决问题能力；23、经历“用模”过程：举出对等差数列的运用的问题，体悟归纳法；4、经历“拓模”过程：将所学知识用于实际生活出租车计费问题.情感态度与价值观1、知识上：了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用.2、能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数
4、列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力.3、情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯欲.教学方法根据本节课特点、学情以及目标设计，抓住学生知识的生长点，采用实例观察、引导发现、合作探究、归纳总结等教学方法，设计“观察与分析” 、 “归纳与概括” 、 “应用与反思”等活动，凸显“建模释模用模拓模”这条明线；同时同时注重引导学会学习这条暗线，促进全体学生全面参与，为各类学生搭建认知发展跃进有效和高效学习提供有效支点.教法与学法分析学法分析数学课堂不仅是知识的传授（给学生吃鱼），应该
5、是良好学习习惯的养育、有效学习方法和策略的积淀（教会学生去捕鱼，教会学生发现新的捕鱼方法）.因此教学过程应该渗透学习方法的引领、良好习惯的养育、数学思想方法的体悟.重 点等差数列概念的理解及通项公式的推导.难 点等差数列概念的理解、通项公式的推导及其几何意义.教学方法引导学生推导公式并采用讲练结合.3教学过程教师活动 学生活动 设计意图一、导入【复习】1、说出下面数列的一个通项公式，使他们的前 4 项分别是下列各项：（1）3,4,5,6；口答：.321,68,42）（ .2)1();na2、请观察下面数列：4, 5, 6, 7, 8, 9, 10； 3,0,-3，,-3n+6,; , , ,;
6、 1023102,2,2,2 具有什么共同的特点？【学生讨论】学生互相交流补充归纳.可以看到：对于数列 ，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 1对于数列 ，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 2对于数列 ，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 3对于数列 ，从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 4这些数列具有共同特点：从第 2 项起，每一项与他的前一项的差都是等于同一个常数 d.可以看出上式分别为：1，-3，, 0.,10 1 2 3 4 展示由感性到理性，由特殊发现规律；培养观察、分析、归纳、猜想的数学能力，为求等差数列的通项公式奠定基础.复习上节课重点内容，为新知识做铺
7、垫.4二、新课1等差数列：【投影】一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）.【问】这个定义强调什么，就这个定义你有何发现？【学生讨论回答后板书】公差 d（常数） ，而不能用前项减后项来求（定义要求每一项与它前一项的差） ；对于数列 ,若 =d (与 n 无关的数或字母)，nan1n2，nN ，则此数列是等差数列， d 为公差 奎 屯王 新 敞新 疆【提问】上次四个数列都是等差数列，公差分别是什么？回答：1，-3，, 0.,102、等差数列的通项公式【投影】设等差数列 的首项是 ，公差是 d，则
8、据其定义可得：na1a即：da12 d12即：3 213即：4 a34从而证明： dnan)1(【追问】这个公式对 n=2,3,4 时成立，那么公式对一切 nN 是否都成立呢？（1）当 n=1 时，等式两边都等于 a1,即公式成立；加深对数列概念的理解，同时培养严谨的科学态度.采用数学归纳猜想解决，让学生建立数学思想，用数学思维解决问题.讲解时强调这一思想方法.daan134215（2）等差数列通项公式是关于 n 的一次式的形式，n 的系数为 d当d0 时，该数列为常数列（3）此公式中有四个量，即 an，a 1，n，d，知道其中任何三个可求另外一个，所以，通项公式实质是四个量之间的关系【问】知
9、道等差数列的任意两项，他们有什么联系？由上述关系还可得：dma)1(1即：则： nn)(1dma)1()(即等差数列的第二项通项公式 dnamn)(由此可得公差 d【或 】nan)1(nadm)(【投影】例 1 若两数 a 与 b 中间插入 A，使 a、A、b 成等差数列，那么 A 应满足什么条件？【分析】根据等差数列项数之间的关系，后一项与前一项的差为一个常数.解：由 a、A、b 成等差数列，得 ,所以 2反过来，若 则成为,baA给出通项公式的另一种表达式，加深对数列概念的理解，同时培养严谨的科学态度.引入等差中项，学习新概念，进一步了解等差数列项之间的关系.举出简单例子，学会简单应用.6
10、,2baA即 ,所以 a、A、b 成等差数列.3、等差中项：如果 a、A、b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.【提示】 是 a、A、b 成等差数列的充要条件，A 称成 a 与 b2的等差中项. 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.例如：2， 5 ，8； ，1-3；1【投影】例 2 求等差数列 8，5，2的第 20 项-401、-395 是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？【分析】 （1）由通项公式求指定项，需要找出首项 a1、公差 d 及序号n，然后代入公式.(2)通过求通项公式，当 n 为
11、整数时项数存在.解：(1) 由 3528,1 dan=20，得 49)(10(20(2)由 ，9,51数列通项公式为： )(nan由题意可知，本题是要回答是否存在正整数 n，使得)1(4501 1及)(39n 2成立.解关于 n 的方程 得，n=100，即-401 是这个数列的第 100 1通过例子的讲解加深学生对概念的理解，并对数列的通项公式有进一步认识.通过变式训练，让学生知道如何判断一个数是否为等差数列的项.加深对等差数列的理解.7项 奎 屯王 新 敞新 疆解关于 n 的方程 得，n= ，因此-395 不是这个数列的项. 2 *198N【注】当 n 不为整数时，说明该数不是等差数列的项.
12、【投影】例 3 某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价 10 元，即最初的 4km（不含 4 千米）计费 10 元.如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为 0，需要支付多少车费？【析】该题可以抽象为等差数列的数学模型，4km 处的车费记为：公差 1.2，首项 11.2，当出租车行至目的地 14km 时，n=11，求 .1n解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4km 时，每增加 1km，乘客需要支付 1.2 元.所以，我们可以建立一个等差数列a n来计算车费.令 (元).2.3.12.1a答：需要支付车费 23.2 元.该例对出租车收费问题作
13、出简化，有兴趣的同学可以调查出租车计费的真实情况？【提问】在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大是，常用等差数列进行分级（如衬衫的尺码）.请同学们试举出其他运用等差数列的例子.培养学生把实际问题转化为数学模型，提高解决实际问题的能力.三、1、练习 （1）3,5，7，9, .452-3012)(，（3）1,11,111,11112、已知一个等差数列 ，其中na.,10125a求3、在时间允许的情况下完成课后习题第 1、2 题. 对课堂进行预测，并及时作出调整.四、小结 【谈一谈】这节课你有什么收获？知识上：等差数列的定义、通项公式及等差中项；鼓励学生运用所学知识解决实际
14、问题，让他们觉得数学的有趣兴.8 =d ， （n2，nN ）及na1重要关系式： nadm)(技能上：运用等差数列公式；思想上：特殊到一般、归纳法；学法上：阅读课本、合作学习、归纳概括、总结反思.五、课后作业：必做题：P39 2、3、4（3）选做题：已知等差数列 的首项 = -24，从第 10na1项开始为正数，求公差 d 的取值范围。六、板书设计公式的推导及例强调通项公式定义及公式等差数列的通项公式课堂教学设计说明：1、本节课由具体例子引入等差数列的定义，培养了学生由感性认识到理性认识的抽象能力.2、教学中注意充分发挥学生的主体作用的同时，教师的主导作用必须充分体现，引导学生领会数学知识发生、发展的过程，激发学生对数学学习的兴趣，同时要揭示知识的内在联系和规律，使学生能从更高的层次解决问题. 3、由不完全归纳法得出通项公式，提高学生归纳推理的逻辑思维能力.教学反思：在差数列概念的理解上采用学生讨论的方法让学生自己去探究、发通过分层作业，提高同学们的求知欲及满足不同层次的学生需求.本课黑板板书起辅助作用，将公式及强调内容板书，让开小差的学生有及时跟上其他同学学习及老师思路的机会.9现、归纳，通过老师将定义分点强调，让学生理解更加深刻.对通项公式的推导上运动归纳猜想的方法，鼓励学生自己动手，让知识更加透彻.
