1、南京市 9月高三数学联合调研考试 一、填空题（每题 5分，共 70分）1、复数 =_3()i2、已知命题 ,则命题 p的否定 是 _ 1cos,:xRp3、偶函数 上是单调函数，且 在 ，内根的个数是)0()(axf在 0)(,0)(xfaf则 方 程 ,a_4、设 的充分非必要条件，则实数 a的取值范围是_。pqxqxp是若,12:,|:|5、函数 为奇函数，则实数 a= .)(ln)(af6、已知 ,且 ,求 的值为_23si52sinta()47、已知 上有最大值 3，那么此函数在2，2上的最小值为_,)(6)(23， 在为 常 数mxxf8、若变量 x、 y满足 则 的最小值为 0,4
2、,y2xy9、已知向量 a=(x,3),b =(2,1),若 a与 b的夹角为锐角，则实数 x的取值范围是 10、若 则 =_,5sin2coatn11、对于函数 ，在使 成立的所有常数 M中，我们把 M中的最大值称为函数 的“下确界” ，则函)(xfxf)( )(xf数 的下确界为_2)1()f12、若 是定义在 R上的函数，对任意的实数 x，都有 和xf 4)(xff的值是_)207(,4)3(,2)( ff且13、若函数 在区间1，0上是单调递减函数，求 的最小值为_.cbxaxf 2ba14、已知 是等比数列， ，则 =_na452， 1321na二、解答题（共六大题，90 分）15、
3、 （本题 14分）设函数 2()cosin()fxxaR(1)求函数 的最小正周期和单调递增区间；()f(2)当 时， 的最大值为 2，求 的值，并求出 的对称轴方程0,6x()fx ()yfxR16、 （本题 14分）已知向量 ，向量 与向量 的夹角为 ，且(1,)mnm341mn(1)求向量 n(2)设向量 ，向量 其中 ， ，使求| 的取值范围？(,0)a2(cos,()3xbx 203x0a|nb17、 （本题 14分）烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，据环保部门测定，地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，某乡境内有两个烟囱 A,B相距 2
4、0km，其中 B烟囱喷出的烟尘量A的 8倍，该乡要在两座烟囱连线上一点 C处建一小学，请确定该小学的位置使得烟尘浓度最低.18、 （本题 16分）已知函数 2()8,()6ln.fxgxm(1)求 在区间 上的最大值()fx,1t;ht(2)是否存在实数 使得 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 的取值范围；m()yfx()yx m若不存在，说明理由。19、 （本题 16分）设二次方程 有两根 和 ，且满足 ,210(N)naxn6263(1)试用 表示 ；na1(2)求证:数列 是等比数列；23(3)当 时，求数列 的通项公式.176ana20、 （本题 16分）已知函数
5、在 是增函数, 在(0,1)为减函数xaxfln)(221( xag)(1)求 、 的表达式)(xfg(2)求证:当 时,方程 有唯一解;(3)当 时,若 在 内恒成立,求 的取02)(xgf 1b21)(xbf0(b值范围.答案部分一、填空题1、复数 =_8i_3()i2、已知命题 ,则命题 p的否定 是 1cos,:xRp1cos,xR3、偶函数 上是单调函数，且 在 ，内根的个数是)0()(axf在 0)(0)(faf则 方 程 ,a_2_4、设 的充分非必要条件，则实数 a的取值范围是 。pqqp是若,12:,|:| ),(5、函数 为奇函数，则实数 a= -2 .)(ln)(axf6
6、、已知 ,且 ,求 的值为_ _3si52sinta()41067、已知 上有最大值 3，那么此函数在2，2上的最小值为_-,)(62)(23， 在为 常 数mf37_8、若变量 x、 y满足 则 的最小值为 2 0,4,xy2xy9、已知向量 a=(x,3),b =(2,1),若 a与 b的夹角为锐角，则实数 x的取值范围是 623x且10、若 则 =_2_,5sin2coatn11、对于函数 ，在使 成立的所有常数 M中，我们把 M中的最大值称为函数 的“下确界” ，则函)(xfxf)( )(xf数 的下确界为_ _2)1()f 2112、若 是定义在 R上的函数，对任意的实数 x，都有
7、和xf 4)(xff的值是_2008_)07(,4)3(,2)( ff且13、若函数 在区间1，0上是单调递减函数，求 的最小值为.cbxaxf 2ba5914、已知 是等比数列， ，则 =_ （ ）_na425， 1321na 3n4二、解答题15、设函数 2()cosin()fxxaR(1)求函数 的最小正周期和单调递增区间；(2)当 时， 的最大值为 2，求 的值，并求出 的对称轴方程0,6x()fx ()yfxRO 1o15解：(1) 2()cosin1cos2in2sin()14fxxaxaxa则 的最小正周期 T且当 时 单调递增2()42kxkZ(fx即 为 的单调递增区间(写成
8、开区间不扣分)3,()8xf(2)当 时 ，当 ，即 时0,671x42x8xsin(2)14x所以 max()2f a为 的对称轴2()48kxkZ(fx16、已知向量 ，向量 与向量 的夹角为 ，且(1,)n341mn(1)求向量 n(2)设向量 ，向量 其中 ， ，使求| 的取值范围？(,0)a2(cos,()3xbx 203x0an|nb解：(1)设 ，则由题意得：,xy或2211xyxy (,0)n(,1)(2)由 可知0an(,1)| 2=|b22(cos|cos()33xxx1cos(2)13x 55417、烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，据环保部门测定，地面某处的烟尘浓度
9、与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，某乡境内有两个烟囱 A,B相距 20km，其中 B烟囱喷出的烟尘量 A的 8倍，该乡要在两座烟囱连线上一点 C处建一小学，请确定该小学的位置使得烟尘浓度最低.变式（06 年江苏） （如图）请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为 1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m的正六棱锥，试问当帐篷的顶点 O到底面中心 的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 1点拨：如何求解实际应用问题，建立数学模型，构造目标函数，利用导数求其最值是此类问题的通法.解：不妨设 A烟囱喷出的烟尘量为 1，则 B烟囱喷出烟尘量为8，设 AC=x,0x20,且 BC=2
10、0-x, 依题意, C处烟尘浓度为 y.则 为比例系数）,228(0)kyk.33233 33168(20)(0)(4)(2)xkxyx令 得 ,当 时， ；当 时， .0y23x203xy203x0y当 时， y取得极小值，也是最小值，故当小学建设在距离 A烟囱 km处，烟囱浓度最低2318、已知函数 2()8,()6ln.fxgxm(1)求 在区间 上的最大值1t();ht(2)是否存在实数 使得 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 的取值,myfx()ygx m范围；若不存在，说明理由。解：(1) 22()8(4)16.fx当 即 时， 在 上单调递增，14,t3tfx
11、,t22()()8()7;hf t当 即 时，,t4t(416htf当 时， 在 上单调递减，4()fx,12()8.htt综上， 267,3()1,4,8ttt (2)函数 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点，即函数 的图象与 轴()yfx()ygx ()()xgfx的正半轴有且只有三个不同的交点。 22()86ln,86(1)3 (0),mxxx x当 时， 是增函数；(0,1)()0,()当 时， 是减函数；3xx当 时， 是增函数；(,)(),()当 或 时，1x0.x()()7,()(3)6ln15.mm最 大 值 最 小 值当 充分接近 0时， 当 充分大时，x,x()0.x要
12、使 的图象与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()即()70,6ln315,xm最 大 值最 小 值 7156ln3.m所以存在实数 ，使得函数 与 的图象有且只有三个不同的交点， 的取值范围为()yfx()gm(7,156ln3).19、 设二次方程 有两根 和 ，且满足 ,210(N)naxn6263(1)试用 表示 ；n1(2)求证:数列 是等比数列；23a(3)当 时，求数列 的通项公式.176n解:(1)由题意得， 代入条件得， ；1na1126323nnaa(2)由(1)可知， ，1123()()23nnnaa故数列 为等比数列；n(3)由(2)可得， .1122()()323
13、nnnaa20、已知函数 在 是增函数, 在(0,1)为减函数xxfl)(xag(1)求 、 的表达式g(2)求证:当 时,方程 有唯一解;(3)当 时,若 在 内恒成立,求0x2)(xgf 1b21)(xbf0(的取值范围.b解 (1) 依题意 ,即 ,2)(xaf 1(,0)(f 2xa,(上式恒成立, 2又 ,依题意 ,即 ,xg1)( )(,)(xgx)1,0(上式恒成立, .2a由得 .2)(,ln2)( xgxf (2)由(1)可知,方程 ,xg .0即设 ,2ln2)(xh ,12)(xxh则令 ,并由 得 解知0)(xh,x ,0)22)(1xx.1x令 由, .0,解 得列表分析: x(0,1) 1 (1,+)(h- 0 +递减 0 递增知 在 处有一个最小值 0,)(x1当 时, 0,0且 )(xh 在(0,+)上只有一个解.)(xh即当 x0 时,方程 有唯一解2)(xgf(3)设 2 312()ln()0bxbx则在 为减函数 又x,1min()1x1所以： 为所求范围
