1、12012 年高考数学 30 道压轴题训习1椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 ，相应于焦点 （ ）的准线 与 x 轴相交于2(,)0Fcl点 ， ，过点 的直线与椭圆相交于 、 两点。A2FAPQ（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若 ，求直线 的方程；0PQP（3）设 （ ） ，过点 且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点 ，证明A1l M. (14 分)FM2 已知函数 对任意实数 x 都有 ，且当 时，)(xf 1)(xff 2,0x。|1|)(xf（1） 时，求 的表达式。)(2,Zk)(xf（2） 证明 是偶函数。)(xf（3） 试问方程 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；
2、若没有实数01log4x根，请说明理由。当3 （本题满分 12 分）如图，已知点 F（0，1） ，直线 L：y=-2，及圆 C： 。1)3(22yx（1） 若动点 M 到点 F 的距离比它到直线 L 的距离小 1，求动点 M 的轨迹 E 的方程；（2） 过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 G（x 1，y 1） 、H（x 2，y 2）两点，求证：x 1x2 为定值；（3） 过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线，切点为 A、B，要使四边形 PACB 的面积 S 最小，求点 P 的坐标及 S 的最小值。108642-2-4-6-8-10-15 -10 -5 5 10 15xCyXOF24.以椭
3、圆 1（a1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推2yx证能作出多少个符合条件的三角形.5 已知，二次函数 f（x）ax 2bxc 及一次函数 g（x）bx，其中a、 b、 c R，a bc ，abc0.（）求证：f（x）及 g（x ）两函数图象相交于相异两点； （）设 f（x） 、 g（x ）两图象交于 A、B 两点，当 AB 线段在 x 轴上射影为 A1B1 时，试求|A 1B1|的取值范围.6 已知过函数 f（x）= 的图象上一点 B（1，b）的切线的斜率为3。123a（1） 求 a、b 的值；（2） 求 A 的取值范围，使不等式 f（x）A1987 对于 x 1，
4、4恒成立；（3） 令 。是否存在一个实数 t，使得当 时，g（x）有最32tfxg 1,0(大值 1？ 7 已知两点 M（2，0） ，N（2，0） ，动点 P 在 y 轴上的射影为 H， 是 2 和 的等PPNM比中项。（1） 求动点 P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2） 若以点 M、N 为焦点的双曲线 C 过直线 x+y=1 上的点 Q，求实轴最长的双曲线 C 的方程。8已知数列a n满足 abaannn 设,2),0(311（1）求数列b n的通项公式；（2）设数列b n的前项和为 Sn，试比较 Sn 与 的大小，并证明你的结论.879已知焦点在 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过
5、坐标原点，且两条渐近线与以点 为圆心，x )2,0(A1 为半径的圆相切，又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 对称xy（）求双曲线 C 的方程；（）设直线 与双曲线 C 的左支交于 A，B 两点，另一直线 经过 M（-2 ，0）及 AB1my l的中点，求直线 在 轴上的截距 b 的取值范围； l（）若 Q 是双曲线 C 上的任一点， 为双曲线 C 的左，右两个焦点，从 引 的1F1F2Q平分线的垂线，垂足为 N，试求点 N 的轨迹方程310. 对任意 都有)(xfR.21)()xf（）求 和 的值)21(f Nnnf（）数列 满足： = + ，数列a)0(f )1()(fnff 是等差数列
6、吗？请给予证明；na试比较 与 的大小nTS11. ：如图，设 OA、OB 是过抛物线 y22px 顶点 O 的两条弦，且 0，求以 OA、OB 为直径的OA OB 两圆的另一个交点 P 的轨迹.(13 分)12.知函数 f(x)log 3(x22mx 2m 2 )的定义域为 R9m2 3(1)求实数 m 的取值集合 M；(2)求证：对 mM 所确定的所有函数 f(x)中，其函数值最小的一个是 2，并求使函数值等于 2 的 m 的值和 x 的值 .13.设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为 函数 f(x)=),(,.142xt(1). 求 f( 的值。)(f和（2） 。证明：f(
7、x)在 上是增函数。,（3） 。对任意正数 x1、x 2,求证： 2)()(121xfxf14已知数列a n各项均为正数，S n 为其前 n 项的和.对于任意的 ，都有 .*nN241nSaI、求数列 的通项公式.II、若 对于任意的 恒成立，求实数 的最大值.2nt*Nt15.( 12 分)已知点 H（3，0） ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且满足 =0， = ，PM24（1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C；（2）过点 T（ 1，0）作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点，若在 x 轴上存在一点 E（x 0,0） ，使
8、得ABE为等边三角形，求 x0 的值.16.（14 分）设 f1(x)= ,定义 fn+1 (x)=f1f n(x),a n= ,其中 nN *.22)0(1f(1) 求数列a n的通项公式；(2)若 T2n=a1+2a2+3a3+2na2n,Qn= ,其中 nN *,试比较 9T2n 与 Qn 的大小.14217 已知 =（ x,0） ， =（1， y） ， （ + ） （ ） aba3ba3b（I） 求点 （x，y）的轨迹 C 的方程；（II ） 若直线 L：y=kx+m(m 0)与曲线 C 交于 A、B 两点，D（0，1） ，且有 |AD|=|BD|，试求m 的取值范围18已知函数 对任
9、意实数 p、q 都满足)(xf ()(),fqfpq1(.3f且（1）当 时，求 的表达式；nN)(nf（2）设 求证：,fan 13;4nka（3）设 试比较 与 6 的大小1(1)(),nn kfbNSb1nkS19已知函数 若数列： ，,0log)(axfa且 ),(,22af成等差数列.)42,nan（1）求数列 的通项 ；（2）若 的前 n 项和为 Sn，求 ；,10a数 列nlim（3）若 ，对任意)(,nfba令 ,求实数 t 的取值范围.)(,1tfbN都 有520已知OFQ 的面积为 .,62mFQO且（1）设 正切值的取值范围；的 夹 角与求 向 量m4（2）设以 O 为中
10、心，F 为焦点的双曲线经过点 Q（如图） ， ，2)146(,|cmcOF当 取得最小值时，求此双曲线的方程.|Q（3）设 F1 为（ 2）中所求双曲线的左焦点，若 A、B 分别为此双曲线渐近线 l1、l 2 上的动点，且 2|AB|=5|F1F|，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21、已知函数 是偶函数， 是奇函数，正数数列 满足13)(2bxxf cxg5)( na121)a(gaf,annnn 求 的通项公式；若 的前 项和为 ，求 .nnSnlim22、直角梯形 ABCD 中DAB90，ADBC，AB2，AD ，BC 椭圆 C 以 A、B 为焦点且经231过
11、点 D（1）建立适当坐标系，求椭圆 C 的方程；（2）若点 E 满足 ，问是否存在不平行 AB 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点且21AB，若存在，求出直线 l 与 AB 夹角的范围，若不存在，说明理由|NM623、 设函数 ,241)(xf（1）求证：对一切 为定值；)1()xfR（2）记 求数列 的通*),()1()0 Nnfnfnfan na项公式及前 n 项和.24. 已知函数 是定义在 R 上的偶函数 .当 X 0 时, = .)(xf )(xf172(I) 求当 X0， a1=1， an+1= f( )2，求数列 an的通项公式 an，并证明an你的结论.30、已知点集
12、其中 点列 在,|),(myL),1(),bx),(nbP中， 为 与 轴的交点，等差数列 的公差为 1， 。1PnaNn（1）求数列 ， 的通项公式；nab（2）若 求 ；),2(|51Pcnn )(lim21nncc21经过抛物线 的焦点F的直线 与该抛物线交于 、 两点. (12分)24yxlAB（1）若线段 的中点为 ,直线的斜率为 ,试求点 的坐标,并求点 的轨迹方程AB()MykM（2）若直线 的斜率 ,且点 到直线 的距离为 ,试确定 的取值范围.l2k340xym15m9“高考数学 30 道压轴题训练”答案1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为 。()212xya由已知得 解得,
13、().2ac,6ac所以椭圆的方程为 ，离心率 。216xy3e（2）解：由（1）可得 A（3，0） 。设直线 PQ 的方程为 。由方程组()ykx,()2163xyk得 ，依题意 ，得 。()2231870kx 2063k设 ，则 ， 。 ,(,)2PyQ2183kx217x由直线 PQ 的方程得 。于是,()12kyx。 ()212139ykx ， 。 0OPQ120y由得 ，从而 。25k(,)563k所以直线 PQ 的方程为 或xy0xy（3，理工类考生做）证明： 。由已知得方程组(,)(,)12APAQxy(),.1222361xyx10注意 ，解得1251x因 ，故(,)(,)10
14、FMy。,(,)1213xxy (,)(,)122yy而 ，所以 。(,),2QyFMQ2 f(x)= (2kx2k+2, kZ) 略 方程在1，4上有 4 个实根kx3 x 2=4y x 1x2=-4 P(2,1) S MIN= 74 .解：因 a1，不防设短轴一端点为 B（0，1）设 BCykx 1（k 0）则 ABy x1 把 BC 方程代入椭圆，是（1a 2k2）x 2 2a2kx0|BC| ，同理|AB|1k221ak由|AB|BC| ，得 k3a 2k2ka 210（k 1） k2（ 1a 2）k10 k 1 或 k2（ 1a 2）k10当 k2（ 1a 2） k10 时， （ a21） 24由 0，得 1a 3由 0，得 a ，此时，k1故，由 0，即 1a 时有一解由 0 即 a 时有三解 35 解：依题意，知 a、b0abc 且 a bc 0a0 且 c0 （）令 f（x） g（x ） ，得 ax22 bxc0.（*） 4（b 2ac）
