1、高中数学竞赛讲义（二）二次函数与命题一、基础知识1二次函数：当 0 时，y=ax 2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴为直线 x=- ，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=- ，下同。2二次函数的性质：当 a0 时，f( x)的图象开口向上，在区间（-，x 0上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在x 0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及ax2+bx+c0 时，方程有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2和x|x 10
2、，当 x=x0 时，f( x)取最小值 f(x0)= ,若 a0)，当 x0m, n 时，f( x)在m, n 上的最小值为 f(x0); 当 x0n 时，f( x)在m, n 上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复合命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。定
3、义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论）；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非p 则 q；逆否命题：若非 q 则非 p。注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 p q 否则记作 p q.在命题“若 p 则 q”中，如果已知 p q,则 p 是 q 的充分条件；如果 q p，则称 p 是 q 的必要条件；如果 pq 但 q 不 p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不 q 但 p q，则 p 称为 q 的必要非充分条件；若
4、p q 且 q p，则 p 是 q 的充要条件。二、方法与例题1待定系数法。例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是 ，求满足 f()=,f ()=,f (1)=1 的二次函数f(x).【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a 0),则由已知 f()=,f()= 相减并整理得（- ）（ +）a+b+1=0，因为方程 x2-x+1=0 中 0，所以 ，所以(+) a+b+1=0.又 +=1, 所以 a+b+1=0.又因为 f(1)=a+b+c=1，所以 c-1=1，所以 c=2.又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由 f()= 得 a 2-(a+1) +2=,所
5、以 a 2-a+2=+=1，所以 a 2-a+1=0.即 a( 2-+1)+1-a=0, 即 1-a=0，所以 a=1,所以 f(x)=x2-2x+2.2方程的思想。例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4 f(1)-1, -1f(2) 5，求 f(3)的取值范围。【解】 因为-4f(1)=a-c-1,所以 1-f (1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)= f(2)- f(1),所以 (-1)+ f(3) 5+ 4,所以-1f (3)20.3利用二次函数的性质。例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a 0)，若方程 f(x)=x 无实根，求证：
6、方程 f(f(x)=x 也无实根。【证明】若 a0，因为 f(x)=x 无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口向上，所以对任意的 xR, f(x)-x0 即 f(x)x，从而 f(f(x)f(x)。所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)=x 无实根。注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。4利用二次函数表达式解题。例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 00，所以 f(x)x.其次 f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+ 1，求证：方程的正根比 1 小，负
7、根比-1 大。【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0.构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20，所以 f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。6定义在区间上的二次函数的最值。例 6 当 x 取何值时，函数 y= 取最小值？求出这个最小值。【解】 y=1- ,令 u,则 0-(b+1)，即 b-2 时，x 2+bx 在0 ，-(b+1)上是减函数，所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=- ,b=- .综上，b=- .7.一元二次不等式问题的解
8、法。例 8 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求 a 的取值范围。【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a,若 a0，则 x11-2a.因为 1-2a1- a，所以 a0,所以不等式组无解。若 a0，）当 0 时，a1-a，由得 x1-2a，所以不等式组的解集为 1-a1 且 a-(1-a)3，所以 10， =(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20 恒成立，所以(B-A-C) 2-4AC0，即 A2+B2+C22( AB+BC+CA)同理有 B0，C0，所以必要性成立。再证充分性，若 A0，B0，C0 且 A2+B2+C22( AB+BC+CA)
9、，1）若 A=0，则由 B2+C22BC 得( B-C)20，所以 B=C，所以 =0，所以成立，成立。2）若 A0，则由知0，所以成立，所以成立。综上，充分性得证。9常用结论。定理 1 若 a, bR, |a|-|b| |a+b|a|+|b|.【证明】 因为-|a| a|a|,-|b|b|b| ，所以-(| a|+|b|)a+b| a|+|b|,所以|a+b|a|+|b|（注：若 m0，则-mxm 等价于|x| m）.又|a|=|a+b-b| |a+b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.综上定理 1 得证。定理 2 若 a,bR, 则 a2+b2 2ab；若 x,yR +,则 x+y(证
10、略)注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。三、基础训练题1下列四个命题中属于真命题的是_，“若 x+y=0，则 x、y 互为相反数”的逆命题；“两个全等三角形的面积相等”的否命题；“若 q1，则 x2+x+q=0 有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。2由上列各组命题构成“p 或 q”，“p 且 q”，“非 p”形式的复合命题中，p 或 q为真，p 且 q 为假，非 p 为真的是_.p；3 是偶数，q：4 是奇数；p:3+2=6,q: p:a(a,b), q:a a,b; p: Q R, q: N=Z.3. 当|x-2|0 的解是 10
11、，则集合 x|xA 且 x AB=_.11. 求使不等式 ax2+4x-1-2x 2-a 对任意实数 x 恒成立的 a 的取值范围。12对任意 x0,1,有 成立，求 k 的取值范围。四、高考水平训练题1若不等式|x-a|0 当 |a|1 时恒成立的 x 的取值范围是 _.3若不等式-x 2+kx-410, B=x|x-5|0 和 a2x2+b2x+c20 解集分别为 M 和 N，那么“ ”是“M=N”的_条件。6若下列三个方程 x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围是_.7已知 p, q 都是 r
12、的必要条件， s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件，则 r 是 q 的_条件。8已知 p: |1- |2, q: x2-2x+1-m20(m0)，若非 p 是非 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是_.9已知 a0，f(x)=ax 2+bx+c，对任意 xR 有 f(x+2)=f(2-x)，若 f(1-2x2)0 且| x|1 时，g(x )最大值为 2，求 f(x).11.设实数 a,b,c,m 满足条件： =0，且 a0,m0 ，求证：方程ax2+bx+c=0 有一根 x0 满足 00，当函数的最小值取最大值时，a+b 2+c3=_.4. 已知 f(x)=|1-2x|,
13、 x0,1，方程 f(f(f)(x)= x 有_个实根。5若关于 x 的方程 4x2-4x+m=0 在-1，1 上至少有一个实根，则 m 取值范围是_.6若 f(x)=x4+px3+qx2+x 对一切 xR 都有 f(x)x 且 f(1)=1，则 p+q2=_.7. 对一切 xR，f(x)=ax 2+bx+c(a 、=、100，试问满足|f (x)|50 的整数 x 最多有几个？2设函数 f(x)=ax2+8x+3(a1)，使得存在 tR，只要 x1, m就有 f(x+t)x.7.求证：方程 3ax2+2bx-(a+b)=0(b 0)在(0,1)内至少有一个实根。8设 a,b,A,BR +, aA, bB，若 n 个正数 a1, a2,an位于 a 与 A 之间，n 个正数 b1, b2,bn位于 b 与 B 之间，求证：9设 a,b,c 为实数，g( x)=ax2+bx+c, |x|1，求使下列条件同时满足的 a, b, c 的值：（） =381;（）g(x) max=444;（）g(x) min=364.
