1、1因动点产生的相似三角形问题 例1 上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线yx2都经过点A(2, m) （1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点 B的直线 BC与直线y x2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线yx2与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标图1 思路点拨1直线AD/BC，与坐标轴的夹角为452求ABC的面积，一般用割补法3讨论ACE与ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方
2、程满分解答（1）将点A(2, m) 代入yx 2，得m 4所以点A的坐标为 (2, 4)将点A(2, 4) 代入 k，得k8（2）将点B( n, 2)，代入 x，得n4所以点B的坐标为(4, 2) 设直线BC为y xb，代入点B(4, 2) ，得b2所以点C的坐标为(0,2)由A(2, 4) 、B (4, 2) 、C (0,2)，可知A 、B两点间的水平距离和竖直距离都是 2， B、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4所以AB 2，BC 42，ABC 90 图2所以S ABC 1C 8 （3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2)，得AD ，AC 10由于DACACD45，ACE
3、ACD45，所以DACACE2所以ACE与ACD相似，分两种情况：如图3，当 CEAD时，CEAD 2此时ACDCAE，相似比为1如图4，当 时， 102解得CE 102此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8) 图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算ABC的面积时，恰好ABC 是直角三角形一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法如图5，作ABC的外接矩形HCNM ，MN/y 轴由S 矩形HCNM 24，S AHC 6，S AMB 2，S BCN 8，得S ABC 8图53例2 武汉市中考第24题如图1，Rt ABC中，ACB90，AC6 cm，BC 8 cm，
4、动点P从点B出发，在BA 边上以每秒5 cm的速度向点 A匀速运动，同时动点Q 从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点 B匀速运动，运动时间为t 秒（0t2），连接PQ（1）若BPQ与ABC 相似，求t的值；（2）如图2，连接AQ、CP，若AQCP，求t 的值；（3）试证明：PQ的中点在 ABC的一条中位线上图1 图2思路点拨1BPQ与ABC 有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程2作PDBC于D，动点P、 Q的速度，暗含了BDCQ3PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然满分解答（1）Rt ABC中，AC6，BC8，所以AB10BPQ与AB
5、C相似，存在两种情况： 如果 BPAQC，那么 51048t解得t1 如果 ，那么 t解得 324t图3 图4（2）作PDBC，垂足为D在RtBPD中，BP 5t，cosB 45，所以BDBPcos B4 t，PD3t当AQCP时，ACQCDP所以 ACQP，即 6843tt解得 78t4图5 图6（3）如图6，过PQ的中点H作BC 的垂线，垂足为F，交AB 于E由于H是PQ的中点，HF/PD，所以F是QD的中点又因为BDCQ4t，所以BFCF因此F是BC的中点，E是AB 的中点所以PQ的中点H在ABC的中位线 EF上考点伸展本题情景下，如果以PQ为直径的 H 与ABC的边相切，求t的值如图7
6、，当H与AB相切时， QPAB ，就是 BPCQA， 3241t如图8，当H与BC相切时，PQBC，就是 ，t1如图9，当H与AC相切时，直径 222(3)8)PDtt，半径等于FC4所以 22(3)8)tt解得 1287t，或t0（如图10，但是与已知0t 2矛盾）图7 图 8 图9 图10例3 苏州市中考第29题如图1，已知抛物线 21()44byx（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C （1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是
7、以点P为直5角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得QCO、QOA 和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由图1思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等2联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A 与x轴垂直的直线上满分解答（1）B的坐标为(b, 0) ，点C 的坐标为 (0,
8、 4b)（2）如图2，过点P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，那么PDBPEC因此PDPE 设点P的坐标为(x, x) 如图3，联结OP所以S 四边形PCOB S PCO S PBO 15248bxbx2b解得 165x所以点P的坐标为( 6,5)图2 图3（3）由 211()()44byxxb，得A(1, 0) ，OA1如图4，以OA、OC为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOA当 BAQO，即 2BA时，BQA QOA 所以 2()1b解得 843b所以符合题意的点Q为( 1,23)如图5，以OC为直径的圆与直线x1交于点Q ，那么 OQC90。因此OCQQOA当 BAO时，BQA
9、QOA此时OQB 906所以C、Q、B三点共线因此 BOQAC，即 14b解得 4QA此时Q(1,4) 图4 图5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、 O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而QOA与QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置如图中，圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB4OC矛盾例4 黄冈市中考模拟第25题如图1，已知抛物线的方程C1 ： 1(2)yxm (m0)与x轴交于点B、C，与 y轴交于点
10、E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求BCE的面积；7（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C 、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由图1思路点拨1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H 落在线段EC上时，BHEH 最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作CBFEBC45，或者作BF/EC再用含m的式子表示点F的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m 的方程满分解答（
11、1）将M(2, 2)代入 1(2)yxm，得 124()m解得m4（2）当m4时， 4x所以C(4, 0)，E(0, 2)所以S BCE 62BCOE（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x1，当H 落在线段 EC上时，BHEH 最小设对称轴与x轴的交点为P ，那么 HPEOC因此 4解得 32所以点H 的坐标为 3(1,)2（4）如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FFx轴于F由于BCEFBC，所以当 BF，即 EBF时，BCEFBC设点F的坐标为 1(,2)(xxm，由 OC，得1(2)xm解得xm2所以F (m2, 0) 由 COBE，得 4BF所以2(4)由 2，得22()(
12、)m整理，得016此方程无解8图2 图3 图4如图4，作CBF45交抛物线于F，过点F作FFx轴于F，由于EBCCBF，所以 BECF，即 2BEF时，BCEBFC在RtBFF中，由FF BF ，得 1()xmx解得x2m所以F (2,0)所以 BF2m 2， (2)由 BCE，得 2()解得 综合、，符合题意的m为 考点伸展第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F、F的坐标后，根据两点间的距离公式求 BF的长例5 义乌市中考第24题如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；9（2）将图1中梯形OA
13、BC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A1B1C1设梯形O 1A1B1C1的面积为S，A 1、 B1的坐标分别为 (x1，y 1)、( x2，y 2)用含S的代数式表示 x2x 1，并求出当S=36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为 (1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M 时，P、Q两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线A
14、B、x轴围成的三角形与直线PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由图1 图2思路点拨1第（2）题用含S的代数式表示x 2x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2y 1 3通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ的斜率，因此假设直线 PQ与AB的交点 G在x轴的下方，或者假设交点G在
15、x轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线 1x，解析式为 2184yx，顶点为M （1， 8）（2） 梯形O 1A1B1C1的面积 1212()3()6S，由此得到 123sx由于213y，所以 2221184yxx整理，得 2121()()84因此得到 217xS当S=36时， 21,.x 解得 126,8.x 此时点A 1的坐标为（6，3）（3）设直线AB与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的GAF 与GQE ，有一个公共角G 在GEQ 中， GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF中，GAF 是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且 GEQ GAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD 10由于 3tan4GAF， tan5DQtP，所以 345t解得 207t图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的 t的值也是相同的事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3例6 临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，2）三点
