1、62第三章习题 A1.证明：3.1.2设 , 存在, 可测,则 亦存在,且 =)(XMffdAXAfdAfdAf证 若 ， 可测，显然 ， 存在，1)(Sf )(SfAfd不妨设 ， 0 且互不相等， 为 X 中互不相交的可测集nieiaf1i ie，由 所以),2(i ()111()i i innnAeAeAeAi iifaa XniiAadf1又 ,故 ，从而)2,()( nefii nieAAiaf1)(|Ani Xi dfafd1)若 ， 可测，显然有 ，2(MA)(Mf， 存在，显然 ，且)fAfdASAf|令 ，显然， ，且 ，xCf)(0)(XfAf， ，fAAf| ASfddA
2、)(|supXfASf d)(|sup = . XXSf fA )(sup X63，则 ，由于 存在，故 ， 中至3)(XMfffXfXff少一个有限，不妨设 ，由于 ，由 知f )(Mf2，且 = ，从而 ，XXAffXAffAf从而 存在，同理由 = ，且f2ff= = = AfAfXXAAffXAf2设 如 中例 3， ，求 .2.:fRfd解 中例 3 中 的定义如下:设 是任一非空集,取定 ,对任给 ,XaXA定义 ；01)(Ac且()a又由定义知 (),1a = + =0 + = =Xfdfufdaf)(a(f = f)(a3设 ，则 1Lf)(0)(nfX证 由 3.2.2 引理
3、知,对 有 ，,1Xff又由 3.2.3(i)知, ，从而11()()fLfLf，故 01nfX 0Xfn4设 则 1,(),(),gfMg1()LX64证 由 ，知 因为 ，fg0fgf1()fLX所以由命题 3.2.3 知 ，又 ，故 1()fLX1L1f5. 设 则 对每个可测集,(),f eagf.,有 ,XAAAfdg证 “ ”由 存在1,AAXfLf由于 ，又)0()0)( gfXgfA,.gae故 ，由命题 3.2.4 知 ,即 ,.AaeAAXXfAfg“ ”令 ()()0Afgfgfd即 ，由命题 3.2.5 知，在 上 ，从而0dgfA .,eaf.同理可证 .)(X0)(
4、gfX又 ，故在 上)(gff)(fX.,eag6设 对任何可测集 有 则 .),(MfA0,Afd,eaf证 令 ,则有 ，在 上， 则有 ，0AXff,f0Afd ，()0AAAfdfdfd由命题 3.2.5，当 时0f于 于 ，故 于 .,0eaf.,ea0.,eafX7求证：若 则 上的集函数 是一个测度)(XMf:A证 ( ) ；1P( ) 若 则 ；2nA),2,1(n65( ) 若 ，则 ，故 为 上的一个 代数，3PAcX( ) (即 )；1Q0f( ) 若 是互不相交的可测集,2n,21 fMX12cn nn nnnAAAAffff1 2cn n nnXXXf ff1212
5、nAAXAAfff f ()nn故 上的集函数 是一个测度.Af:8设 对 上的任何有界可测函数 g 有 则 .1(),fLX0,Xfdeaf,证:取 ；0)(,1)(xffxg则 ，故在 上 .XXfdXeaf.,9设 则1(),fL0,:,.cAAfd证 已知 由命题 3.2.3 (ii) 知：f11(0)()nnXf 为升列,则 为降列,又由 3.2.7 ()知,Ac )(nffAAcn66其中 1(0)cnnAXAf0cnAf)( 0,cNfd最后让我们说明 ，此由已知 ，故 ，1fL1NNXAff即可知.10设 ，且 有限,)(,XMfX.eaf ,01nyy则 .,(max1kky
6、fd0lim()nXf证 令 ，则由积分单调性，得：()key. 令 ，则当 时，1kk keyfy1nkAenynAX由积分的 可加性，得 11nn kAkfe 1 1()kkkyyy 1()nnkkee1nkAk fye 利用积分的下连续性，令 ，0,故 .10lim()nnXnfdyXfy11设 可测（1 每个 至少属于 个 ，则某个,iA,iXxqiA(/).iq证 且 至少属于 个 dXAii,i 使得qdXAiXqnii1,iA(/).iqnX若不然，则 ，均有 ，矛盾iniii112设在 集 上 在 的长为 的余区间上 求CantorP,0)(xfP3,)(nxf67.10dmf
7、解 0P0,cPfdmP又 10ccPfdfff令 则这样的 共有 个，且互不相交，3,nGn12又在 上 ，njif, 1 10 1223()nPnfdmf13设 在 可微，则 在 上可积.1(),0,LRf0xxfR证 （1）先证对适当的 可积,1,fL由倒数定义知， 存在/00()()()lilimxxfff故对 ，使得在 中，1,有 /()(0)fxf1(),fxL（2）再证 11,)(,f对上述 ，当 时，有 0x()fxff ，同理可证， 1,)fL1),)fL1(),xL综上所述， 在 上可积1(xfR14设 一致连续，则 .0,)f()0)fx证 不妨设 ，设当 时， 不趋于
8、0，则存在 对任意ff 0,的 ，总存在 ，因 一致连续，故 ，使n(,2,n n f68得对每个 ，在每个 上， ，且 互nx,nx()2/fx,nx不相交，从而 0,),1nxnff由此得出 ，这与已知矛盾故 .1L()0)fx15设 是 上的计数测度， 则有可数集 ，使X1(),fLnX.()nXfdfx证 不妨设 由命题 3.2.3（ii）知： 有 有01()(0)ff限测度，即存在 使得 有 有限测度.,nnAX(0nXA由于 是计数测度， n因为可数个可数集的并集还是可数集，所以 是可数集n集 是可数集.不妨设(0)Xf(0)Xf1x 1() 1().nnnXXfoxxfdfdfd
9、f16设 或 ，则(),nnfMgLfngf.)XXfdf证 当 时，有 ，ngf0()()nfgf由 Levi 定理，有 ，lim()liXXnnff又 ，故积分 都存在，同1(), ()nfMgLfM1,2nXf69样由于 ，也有 ，故 存在，从而 也存在,nnfgfgfXfgXf lim()nXXfff ()nfdfn同理可证当 时，亦有上述结论ngf17设 可测 ，则几乎每个 至多属于有限nA(1,2),nA x个 .证 可测 可测nXnA则由 定理的推论知 Levi nnAnX 在 上几乎处处有限.1nAn设 属于无限多个 ,则 .则几乎每个 至多属于有限个;BxX0BxnA18设
10、可测 至少属于 个 ，则n(,2), :xXkn.1k证 首先证明对于可测集序列 ，),21(nA是 中可测集此由各 可测，故各相应的:nkxXB个至 少 属 于 nA特征函数 是 上的非负可测函数列)(nA于是令 ，其中 是单调上升可测函数列11lim()()kkAAfxxx)(xf的极限函数，12 11() nmmFFF 故 也是可测函数，即 ，于是由可测函数为特征性)(lixxfm()fMX质， 是 中可测集注意到 ，于是证得(kX kfxB可测)fB70其次，一方面显然有 ，另一方面，由BkxxfBABn)()(定理， ，Levi nXAmB xFxf nn)(li)(于是得到 ，即
11、nfkk119求 10ln(1)pxd解 因为 ，0,(1)ppnxx 在 非负连续，pnx(0,12) (,l,M由 3.3.2 可逐项积分， 111000lnlnlnpppnnxdxdxd)11 200(l (p pn101)0pnn xp2()n20设 若 ，则 ；若(),fMXnfgLXXndfdflimli则 1,nfgLnnfdflimli证 () 若 ，则1nfgL)(0Mgfn由 定理，有FatouXXnn dfdf li)(li 1gLlimlinnXfgfg lilinnXfdfd71（ii）若 则 1,nfgL)(0XMfgn由 定理，有 Fatoulim()linXfdgfd 1gLlili()nXngffXnndf)(liXndfglim即 XfgdlimXnfli从而 . Xnndfflili21设 ，则 .0,ff limnXffd证 （1）先取一列 ，使得 ，knfliliknnkffA（2）由 有 .由定理 2.4.2 () ，又有 的子列,nff knf knf由 定理，., eafknFtou limlilimkkk nnnffffd Affkknnlimli则 .linXXffd22、设 或 则 .,eafn,nff ,nXdcost1fL证 当 ，有 .,fn ,nfae ，则 costfffXXlimli 1fL1f
