1、指数函数及其性质知识点及例题解析要点一、指数函数的概念：函数 y=ax(a0且 a1)叫做指数函数，其中 x是自变量，a 为常数，函数定义域为 R.要点二、指数函数的图象及性质：y=ax01时图象图象定义域 R，值域 （0，+）a 0=1, 即 x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点a x=a，即 x=1时，y 等于底数 a在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数x1x0时，00时，a x1性质 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“ ”和“ ”两种情形讨论。101（2）当 时， ；当 时 。01a,xya,0xy当 时， 的值越大，图象越靠近 轴，递增速
2、度越快。当 时， 的值越小，图象越靠近 轴，递减的速度越快。（3）指数函数 与 的图象关于 轴对称。xy1xay类型一、指数函数的概念例 1、函数 是指数函数，求 的值2(3)xaa【解析】由 是指数函数，可得 解得 ，所以 2xy231,0,且 2,01a或且 a关键点：一个函数是指数函数要求系数为 1，底数是大于 0且不等于 1的常数，指数必须是自变量 x【变式 1】指出下列函数哪些是指数函数？（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；4xy4yxxy(4)xy(2)xyaa且（6） 【答案】（1）（5）（6）类型二、函数的定义域、值域例 2、求下列函数的定义域、值域.(1) ；(
3、2)y=4 x-2x+1；(3) ；31xy2139x【解析】(1)函数的定义域为 R (对一切 x R，3 x-1). ，又 3 x0， 1+3 x1，(13)1xxy ， ， ， 值域为(0，1).0x0x13x(2) 定义域为 R， ， 2 x0， 4)2(1)2(xy 即 x=-1 时，y 取最小值 ，同时 y可以取一切大于 的实数， 值域为 ).21x 43 ,43(3) 要使函数有意义可得到不等式 ，即 ，又函数 是增函数，2109x213xxy所以 ，即 ，即 ，值域是 .1x1x,【变式 1】求下列函数的定义域：(1) (2) (3) (4)2-1xy3-xy2-1xy1-(0
4、,1)xya【答案】 （1）R；（2） ；（3） ；（4）a1 时， ；01，所以函数 y=1.8x为单调增函数，又因为 a1时， ，当 01.1-0.1；(3)0.9 0.30.70.4.(4)11334()()【变式 2】利用函数的性质比较 ， ， 【答案】123161326【变式 3】 比较 1.5-0.2， 1.3 0.7， 的大小【答案】132() 7.02.3135)(类型六、求解有关指数不等式例 6已知 ，则 x的取值范围是_2321(5)(5)xxaa解： ，函数 在 上是增函数，14 2(5)xya()且 ，解得 x的取值范围是 31x14且评注：利用指数函数的单调性解不等式
5、，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论【变式 1】如果 （ ，且 ），求 的取值范围215xa0a1x【解析】 的取值范围是：当 时， ；当 时， 61a6x类型七、换元法求最值问题、求解指数式方程例 7、已知-1x2,求函数 f(x)=3+23x+1-9x的最大值和最小值解：设 t=3x,因为-1x2，所以 ，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,931t故当 t=3即 x=1时，f(x)取最大值 12；当 t=9即 x=2时 f(x)取最小值-24。例 8、函数 在区间 上有最大值 14，则 a的值是_2(0)xyaa且1
6、且分析：令 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 的取值范围t t解：令 ，则 ，函数 可化为 ，其对称轴为 xt2xya2()yt1t当 时， ， ，即 1a1且x 1a 当 时， , 解得 或 （舍去） ；t2max()14y35当 时， ， ，即 ，01且xa 1at 时， ，解得 或 （舍去） ；ta2max14y35 a的值是 3或 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等例 9、解方程 280xx解：原方程可化为 ，令 ，上述方程可化为 ，解得 或29(3)90x3(0)xt2980t9t（舍去） ， ， ，经检验原方程的解是 19tx 2评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根
