1、- 1 -高考专题复习矩阵1.知矩阵 ， ，曲线 y=sinx 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到曲线 C，则 C 的方程是 .答案 1. （或 ） 解 析 MN= 所以在矩阵 MN 变换下 ，则 ，即 ，所以曲线 在矩 阵 MN 变换下得到曲线C 的方程是 2.已知矩阵 A 的逆矩阵 A-1= .()求矩阵 A;()求矩阵 A-1的特征值以及属于每个特征值的 一个特征向量.解析 ()因为矩阵 A 是矩阵 A-1的逆矩阵,且|A -1|=22-11=30,所以 A= = .()矩阵 A-1的特征多项式为 f()= = 2-4+3=(-1)(-3),令 f()=0,得矩阵 A-1的特征值为 1=
2、1 或 2=3,所以 1= 是矩阵 A-1的属于特征值 1=1 的一个特征向量 ,- 2 - 2= 是矩阵 A-1的属于特征值 2=3 的一个特征向量.3.已知矩阵 A= ,B= ,向量 = ,x,y 为实数,若 A=B,求 x+y的值.解析 3.由已知,得 A= = ,B= = .因为 A=B ,所以 = .故解得 ，所以 x+y= .4.已知矩阵 , 若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 ，属于 特征值 1 的一个特征向量 .（）求矩阵 A的逆矩阵；（）计算 的值.解析 () 法一: 依题意, . .所以 . - 3 -法二: ，即 的两个根为 6 和 1，故 , . ，所以 ，(
3、) 法一: =2 ，A 3 =263 1 3 = . 法二: = . 5.已知二阶矩阵 有特征值 及对应的一个特征向量 ，并且矩阵 对应的变换将点 变换成 ，求矩阵 .解析 设 ，有已知得 ， ，又 ， ， ， . 6. 设矩阵 （其中 ），若曲线 在矩阵 所对应的变换作用下得到曲线 ，求 的值.解析 设曲线 上任意一点 ，在矩阵 所对应的变换作用下得到点 ，则 ，即 . （5 分）又点 在曲线 上，所以 ，则 为曲线 的方程.- 4 -又曲线 的方程为 ，故 ， ，因为 ，所以 . 7.已知直线 l: ax+y=1 在矩阵 A= 对应的变换作用下变为直线 l: x+by=1.() 求实数 a
4、, b 的值;() 若点 P(x0, y0) 在直线 l 上, 且 A = , 求点 P 的坐标.答案 ()设直线 l: ax+y=1 上任意点 M(x, y) 在矩阵 A 对应的变换作用下的像是 M (x, y).由 = = , 得又点 M (x, y) 在 l 上, 所以 x +by =1, 即 x+(b+2) y=1,依题意得 解得() 由 A = , 得 解得 y0=0.又点 P(x0, y0) 在直线 l 上, 所以 x0=1.故点 P 的坐标为(1,0).8.已知矩阵 A= , B= , 求矩阵 A-1B.答案 设矩阵 A 的逆矩阵为 , 则 = , 即 = ,故 a=-1, b=0, c=0, d= , 从而 A 的逆矩阵为 A-1= ,- 5 -所以 A-1B= = .
