1、第二章 二次函数一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。2yaxbca，0a这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零二次函数bc，的定义域是全体实数2. 二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项bc， bc二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性质：2yaxc上加下减。3. 的性质：2yaxh左加右减。的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a
2、向上 0，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大xx值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 c向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大x0x值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0h，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 04. 的性质：2yaxhk三、二次函数图象的平移1. 平
3、移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax， 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移” hk概括成八个字“左加右减，上加下减” 四、二次函数 与 的比较2yaxk2yaxbc从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得h到前者，即 ，其中 224bacyax 242bacbhk，六、二次函数 的性质
4、21. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 0a 2bxa24bac，0向下 0h，X=h 时， 随 的增大而减小； 时，xhyxxh随 的增大而增大； 时， 有最大y值 0的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 k向下 ，X=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大yxxh值 当 时， 随 的增大而减小；2bxayx当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值 2bxay24acb2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 当 时，0 2bxa
5、24bac，2bxa随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 yx2bxay2xy4c七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2yaxbcbc0a2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；()hkahk3. 两根式（交点式）： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.12()yx1x2x注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数x40bc解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项
6、系数 a 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大；0aa 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大2. 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴 （同左异右 b 为 0 对称轴为 y 轴）ab3. 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；0yxy 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置c十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数
7、与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：x一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况.20axbc2yabc0y图象与 轴的交点个数： 当 时，图象与 轴交于两点 ，其中的 是一元24x120AxB， ， ， 12()x12x，二次方程 的两根. 0axbca 当 时，图象与 轴只有一个交点； 0 当 时，图象与 轴没有交点.当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；1axx0y当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 20 2. 抛物线 的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ， ；2yaxbcy(0)c二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数 的顶点坐标是
8、( )247yxA.(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3）2. 把抛物线 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ）A. B. C. D. 2()yx2()yx21yx21yx3.函数 和 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )k0k4.已知二次函数 的图象如图所示,则下列结论: a,b 同号;2(0)yaxbc当 和 时,函数值相等; 当 时, 的值只能取 0.其中正1x34a2yx确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个5.已知二次函数 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由2(0)yaxbc图象可知关于 的一元二次方程
9、的两个根分别是 （ 2x12.3x和）. B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数 的图象如图所示，则点 在（ 2yaxbc(,)acb）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限7.方程 的正根的个数为（ ）2xA.0 个 B.1 个 C.2 个. 3 个8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为yA. B. 2yx2yxC. 或 D. 或2yx2yx二、填空题9二次函数 的对称轴是 ，则 _。23yxb2xb10已知抛物线 y=-2（x+3）+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是_.1
10、1一个函数具有下列性质：图象过点（1，2） ，当 0 时，函数值 随自变量 的增大而yx增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可） 。12抛物线 的顶点为 C，已知直线 过点 C，则这条直线与两坐标轴所围2()6yx3ykx成的三角形面积为 。13. 二次函数 的图象是由 的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 22412bc个单位得到的,则 b= ,c= 。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地方，桥的高度是 ( 取 3.14). 三、解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是 ,图象经过(1,-6),且
11、与 轴的交点为(0, ).30xy52(1)求这个二次函数的解析式;(2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0?(3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值 随 x 的增大而增大?y第 15 题图16.某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式 （0t2） ，其201hvtg中重力加速度 g 以 10 米/秒 2计算这种爆竹点燃后以 v0=20 米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？（2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 17.如图，抛物线 经过直线 与坐标轴的两个交
12、2yxbc3yx点 A、B，此抛物线与 轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使 ： 5 ：4 的点 PAPSD的坐标。18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物 售 出 后 再进 行 结 算 ， 未 售 出 的 由 厂 家 负 责 处 理 ） 当 每 吨 售 价 为 260 元 时 ， 月 销 售 量 为 45 吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7. 5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家
13、及其它费用 100 元设每吨材料售价为 x（元） ，该经销店的月利润为 y（元） （1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ；（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大 ”你认为对吗？请说明理由二次函数应用题训练1、心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（分）之间满足函数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0x30). （1）当 x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当 x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步减
14、弱？（2）第 10 分钟时，学生的接受能力是多少？（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？2、如图,已知ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm.若在ABC上截出一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D、G 分别在边 AB、AC 上.问矩形 DEFG 的最大面积是多少?FEBGDCA3、如图,ABC 中, B=90,AB=6cm,BC=12cm.点 P 从点 A 开始,沿 AB 边向点 B 以每秒1cm 的速度移动;点 Q 从点 B 开始,沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动.如果 P,Q 同时出发,问经过几秒钟PBQ 的面积最大?最大
15、面积是多少?BQCPA4、如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;(2)该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.4 m(0,3.5)3.05 mx yO5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少 m？(
16、2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数) 道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x6、某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m(件)与每件的销售价 x(元)满足关系：m=1402x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？二次函数对应练习试题参考答案一，选择题、1A 2C 3A 4B 5D 6B 7C 8C 二、填空题、9 10 -3 11如bx等（答案不唯一） 24,
17、yy121 13-8 7 1415三、解答题15(1)设抛物线的解析式为 ,由2bxcya题意可得解得所以15,3,22abcyx(2) 或-5 (2)13x16 （1）由已知得， ，解21520tt得 当 时不合题意，舍去。所以23,tt当爆竹点燃后 1 秒离地 15 米 （2）由题意得， ，可知顶点的250ht2()0t横坐标 ，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升17 （1）直线 与坐标轴的交点3yxA（3，0） ，B（0，3） 则 解得903bc2b所以此抛物线解析式为 （2）抛物线的顶点23yxD（1，4） ，与 轴的另一个交点 C（1
18、，0）.设P ，则2(,)a.化简得3:(4)5:225当 0 时， 得a23aP（4，5）或 P（2，5）,当 0 时， 即23，此方程无解综上所述，满足a条件的点的坐标为（4，5）或（2，5） 18 （1） =60（吨） （2）5.7102463265bac，化简得： 260(1)457.5)xyx （ 3）2340154xy 2(10)975x红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨 210 元 （4）我认为，小静说的不对 理由：方法一：当月利润最大时，x 为 210 元，而对于月销售额 )5.710265(xxW来说，23)94当 x 为 160 元时，月销售额 W 最大当x
19、为 210 元时，月销售额 W 不是最大小静说的不对 方法二：当月利润最大时，x 为 210 元，此时，月销售额为 17325 元； 而当 x 为 200 元时，月销售额为 18000 元1732518000， 当月利润最大时，月销售额 W 不是最大小静说的不对二次函数应用题训练参考答案1、 （1）0x13，13 x 30；（ 2）59；（3）13. 2、过 A 作 AMBC 于 M,交 DG 于 N,则 AM= =16cm.201设 DE=xcm,S 矩形=ycm 2,则由ADG ABC,故 ,即 ,故ANDGMBC614xDG= (16-x).32y=DGDE= (16-x)x=- (x2
20、-16x)=-3(x-8)2+96,3从而当 x=8 时 ,y 有最大值 96.即矩形DEFG 的最大面积是 96cm2.3、设第 t 秒时,PBQ 的面积为 ycm2.则AP=tcm,PB=(6-t)cm;又 BQ=2t.y= PBBQ= (6-t)2t=(6-t)121t=-t2+6t=-(t-3)2+9,当 t=3 时,y 有最大值 9.故第 3 秒钟时PBQ 的面积最大,最大值是 9cm2.4、解：(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c.由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05). .53,02.,5.1.0.3,2cbaacb得抛物线的表达式为 y=0.2x 2+3.5.(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05) m,h+2.05=0.2( 2.5) 2+3.5,h=0.2(m).5、解：(1)依题意得鸡场面积 y= .35012xy= x2+ x= (x2 50x)3= (x25) 2+ ,16当 x=25 时，y 最大 = ,35即鸡场的长度为 25 m 时，其面积最大为 m2.365(2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为
