1、1第一单元 分数乘法 （一） 、分数乘法的计算法则：1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。 （整数和分母约分）2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。（二） 、规律：（乘法中比较大小时）一个数（0 除外）乘大于 1 的数， 积大于这个数。一个数（0 除外）乘小于 1 的数（0 除外） ，积小于这个数。一个数（0 除外）乘 1， 积等于这个数。（三） 、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。（四） 、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘
2、法也同样适用。乘法交换律： a b = b a乘法结合律： ( a b )c = a ( b c )乘法分配律： （ a b ）c = a c b c a c b c = （ a b ）c常见乘法计算（敏感数字） ：254100 12581000 加法交换律简算例子 加法结合律简算例子 乘法交换律简算例子 乘法结合律简算例子0.875+ + + +0.8 0.433 230.3752318 235152 163= + + = + + = 33 =23 782318 23 45 25 52 38 163= + + = +( + ) = 33 =23 ( )781823 23 145 25 25
3、38 163=1+ = +1 =13 =23223 23含加法交换律与结合律 含乘法交换律与结合律 数字换减法式 数字换加法式0.875+ + + 0.375 35 101231813 297 163 729 536 910= + + + = = (36-1) = (100+1) 78231813 38 297 163 729 536 910= + + + = =36 -1 =100 +17818 2313 38 163 297 729 536 536 910 9102= ( + )+ ( + ) = ( )( ) =5- =90+7818 2313 38 163 297 729 536 91
4、0=1+1 =21 乘法分配律提取式 乘法分配律提取式 乘法分配律(添项) 乘法分配律(添项) 1010.9- 1 95.51.6-15.51.6 1010.9- 52 +29 -0.625 910 910 58 58=101 - 1 =(95.5-15.5)1.6 =101 - =52 +29 - 910910 910910 58 5858=101 -1 =801.6 =101 -1 =52 +29 -1 910 910 910 910 58 58 58=(101-1) =80016 =(101-1) =(52+29-1) 910 910 58=100 =100 =80 910 910 58
5、减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 数字换乘法式18- -0.375 1 - -0.75 12 -( +0.4) 0.5612558 34716 25 716=18- - =1 - - =12 -( + ) =0.70.81255838 3471634 25 71625=18-( + ) =1 - - =12 - - =0.7(0.8125)5838 3434716 2525716=18-1 =1- =12- =0.7100716 716除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 数字换乘法式32002.50.4 27002.52.7 5900(2.55
6、.9) 3333333333=3200(2.50.4) =27002.72.5 =59005.92.5 =11111333333=32001 =10002.5 =10002.5 =1111199999同级运算中，第一个数不能动，后面的数可以带着符号搬家 =11111(100000-1)1 + - 2500.80.4 1 - + 290.250.292371623 2371613=1 - + =2500.40.8 =1 + - =290.290.252323716 2313716=1+ =1000.8 =2- =1000.25716 716二、分数乘法的解决问题（如果单位 1 是已知的, 要求它
7、的几分之几，就用乘法）1、找单位“1”： 在分率句中分率的前面； 或 “占” 、 “是” 、 “比”的后面2、求一个数的几倍： 一个数几倍； 3求一个数的几分之几是多少： 一个数几分之几 。3、写数量关系式技巧： （1） “的” 相当于 “” “占” 、 “是” 、 “比”相当于“ ”（2）分率前是“的”： 单位“1”的量分率=分率对应量（3）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量（1 分率）=分率对应量第二单元 位置与方向1.位置是相对的，要指出一个物体的位置，必须以另一个物体为参照物。以谁为参照物，就以谁为观测点。2.东偏北 30。也可说成北偏东 60。 ，但在生活中一般先说与物体所在
8、方向离得较近（夹角较小）的方位。3.确定一个物体的准确位置，只知道方向或距离是不可以的，要同时知道这两个条件才行。4.根据方向和距离确定物体位置的方法：（1）确定好方向并用量角器测量出被测物体所在的方向（角度） ；（2）用直尺测量出被测物体和观测点之间的图上距离，结合单位长度计算出实际距离；（3）根据方向（角度）和距离准确判断或描述被测物体的位置。5.要标出物体的位置必须先确定方向，再确定在这一方向上的距离。6.绘制平面图时，要根据实际距离确定好单位长度，即 代表多长距离。7.在平面图上标出物体位置的方法：先确定方向，再以选定的单位长度为基准来确定距离，最后找出物体的具体位置，标上名称。8.描
9、述物体的位置与观测点有关，观测点不同，物体位置的描述就不同。两地的位置具有相对性，方向相反（其夹角度数不变） ，距离相同。9.两地的位置关系具有相对性，以这两个不同地点为观测点描述对方所在的方向时，方向正好相反（甲在乙东偏南 30100 米，则乙在甲西偏北 30100 米）10.在平面图上确定物体的位置与方向关键要做到三点：（1）确定好观测点及单位长度；（2）找准方向；（3）线段上每一段的长度要与单位长度统一。11.以谁为观测点就以谁为中心画出方向标，然后判断出另一点所在的方向和距离12.绘制路线图的步骤画出北，确定方向标和单位长度比例尺( )确定起点的位置。4根据描述，从起点出发，找好方向和
10、距离，一段一段地画。画每一段都要以每一段新的起点为观测点以谁为观测点，就以谁为中心画出“十字”方向标，然后判断下一点的方向和距离。标出数据、名称、角度。(绘制的路线图只有一条线，所作的线是首尾相连的) 第三单元 分数除法 1、倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数。强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。（要说清谁是谁的倒数） 。2、求倒数的方法：（1） 、求分数的倒数：交换分子分母的位置。 （2） 、求整数的倒数：把整数看做分母是 1 的分数，再交换分子分母的位置。 （3） 、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。（4） 、求小数的倒数： 把小数化为
11、分数，再求倒数。3、1 的倒数是 1； 0 没有倒数。 因为 11=1；0 乘任何数都得 0， （分母不能为 0）4、对于任意数 a(a0)，它的倒数为 。非零整数 a 的倒数为 。分数 的倒数是 1a 1a ba ab5、真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；带分数的倒数小于 1。一、分数除法1、分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。2、分数除法的计算法则： 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。3、 规律（分数除法比较大小时）：当除数大于 1， 商小于被除数；当除数小于 1（不等于 ） ，商大于被除数； 当除
12、数等于 1， 商等于被除数。4、 “ ”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。二、分数除法解决问题（已知单位“1”的几分之几是多少，单位“1”的量是要求的问题。就用除法）1、数量关系式和分数除法解决问题中的关系式：（1）分率前是“的”： 分率对应量 分率=单位“1”的量5（2）分率前是“多或少”的意思： 分率对应量（1 分率）=单位“1”的量2、解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程： 根据数量关系式设未知量为 ，用方程解答。（2）算术（用除法）： 分率对应量对应分率 = 单位“1”的量 3、求一个数是另一个数的几分之几：就一个数另一个数4
13、、求一个数比另一个数多（少）几分之几： 求多几分之几：大数小数 1 求少几分之几： 1 - 小数大数 或求多几分之几(大数-小数)比后面的数 求少几分之几(大数-小数)比后面的数求的不是单位“1” 单位“1”的量对应分率 单位“1”的量对应分率 200 200 25%14200 ( 1+ ) 200 ( 1+ 25%)14200 ( 1- ) 200 ( 1-25%)14求的是单位“1” 分率对应量 对应分率 分率对应量 对应分率200 200 25%14200 ( 1+ ) 200 ( 1+ 25%)14200 ( 1- ) 200 ( 1-25%)146第四单元 比和比的应用 （一） 、比
14、的意义1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如 15 ：10 = 1510= （比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示） 前项 比号 后项 比值3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程速度=时间。4、区分比和比值比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。6、比和除法、分数的联系： 比 前 项 比
15、号 “：” 后 项 比 值除 法 被除数 除 号“” 除 数 商分 数 分 子 分数线“” 分 母 分数值7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为 0。 体育比赛中出现两队的分是 2：0 等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。（二） 、比的基本性质1、根据比、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外） ，商不变。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0 除外） ，分数值不变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变
16、。72、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。4.化简比： 用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。如： 1510 = 1510 = 325按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。如： 已知两个量之比为 a ：b ，则设这两个量分别为 a b6、 路程一定，速度比和时间比成反比。 （如：路程相同，
17、速度比是 4：5，时间比则为5：4）工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。（如：工作总量相同，工作时间比是 3：2，工作效率比则是 2：3）8第五单元 圆 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示。直径是一个圆内最长的线段。5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。6、在同圆或等圆内，有
18、无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。7在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的 12用字母表示为：d2r 或 r d 128、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 （经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线）9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。10、只有 1 一条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有 2 条对称轴的图形是： 长方形只有 3 条对称轴的图形是： 等边三角形只有 4 条对称轴的图形是： 正方形;有
19、无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。二、圆的周长1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 C 表示。92、圆周率实验：在圆形纸片上做个记号，与直尺 0 刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（） 。3圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母 （pai） 表示。（1） 、一个圆的周长总是它直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率 是一个无限不循环小数。在计算时，一般取 3.14。（2） 、在判断时，圆周长与它直径的比值是 倍，而不是 3.14 倍。（3） 、世界上第一个把圆周率算
20、出来的人是我国的数学家祖冲之。4、圆的周长公式： C= d d = C 或 C=2r r = C25、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。6、区分周长的一半和半圆的周长：（1）周长的一半：等于圆的周长2 计算方法：2r 2 即 r （2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：r2r 三、圆的面积1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母 S 表示。2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。3、圆面积公式的推导：（1） 、用逐渐逼近的转化思想： 体现化圆为方，
21、化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。（2） 、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。（3） 、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半 = 长方形的长 因为： 长方形面积 = 长 宽所以： 圆的面积 = 圆周长的一半 圆的半径10S 圆= r r圆的面积公式： S 圆= r 4、环形的面积：一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r。 （Rr环的宽度 ）S 环 = R 或 S 环 = （R）5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：在
22、同一个圆里，半径扩大 3 倍，那么直径和周长就都扩大 3 倍，而面积扩大 9 倍。6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：两个圆的半径比是 23，那么这两个圆的直径比和周长比都是 23，而面积比是 497、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：48、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。9、确定起跑线：（1） 、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。（2） 、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。 （因此起跑线不同）（3） 、每相邻两个跑道相隔的距离是： 2跑道的宽度（4） 、当一个圆的半径增加厘米时，它的周长就增加厘米；当一个圆的直径增加厘米时，它的周长就增加 厘米。C 长=(a+b)2 a=C2-b b=C2-a C 正 =a4 a=C4 S 长=ab a=Sb b=SaS 正 =aa S 圆=r C 圆 =d C 圆 =2r r=d2 r=C2 d=C圆周长的一半=r r=圆周长的一半 半圆周长=(+2)r
