1、二次函数与相似的结合题型一：动点在线段上如图，平面直角坐标系 中，已知 ，一次函数 的图像与 轴、 轴xOy(1,0)B5yxxy分别交于点 、 两点，二次函数 的图像经过点 、点 ；AC2yxbcAB（1 ）求这个二次函数的解析式；（2 ）点 是该二次函数图像的顶点，求 的面积；PAPC（3 ）如果点 在线段 上，且 与 相似，求点 的坐标；QBOQ如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（ 在 的左侧） ，2yaxc(0)ax(3,0)ABA与 轴交于点，抛物线的顶点为 ；(0,3)CM（1 ）求 、 的值；c（2 ）求 的值；tanA（3 ）若点 是线段 上一个动点，联结 ；问是否存在点 ，使
2、得以点 、 、PCOPPOC为顶点的三角形与 相似？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由；B如图，已知抛物线 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点为 A（-2yaxc1， 0） ，顶点为 B. 点 C（5 ， m）在抛物线上，直线 BC 交 x 轴于点 E.（1） 求抛物线的表达式及点 E 的坐标；（2） 联结 AB，求B 的正切值；（3） 点 G 为线段 AC 上一点，过点 G 作 CB 的垂线交 x 轴于点 M（位于点 E 右侧） ，当CGM 与ABE 相似时，求点 M 的坐标. 【参考答案】24 （本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 3 分，第（3 ）小
3、题5 分）解：（1）抛物线 的对称轴为直线 x=1， .2yaxc1a抛物线与 x 轴的一个交点为 A（-1，0） ， .32c抛物线的表达式为 .（2213yx分）顶点 B（1 ， -2）.（1 分）点 C（5，m）在抛物线上， . C 点坐标为（5，6）. m设直线 BC 的表达式为 y=kx+b（k0） ，则 ， 即 BC 的表达式为 y=2x-4. 62kb,4.E（ 2,0）.（1 分）（2 ）作 CHx 轴，垂足为 H，作 BPx 轴，垂足为 P，C（5，6 ） ，A（-1 ，0 ） ，CH=6= AH. CAH= 45.B（1，-2） ， A（-1，0） ，BP=2=AP.BAP
4、= 45.CAB=90. （1 分）CH=6=AH，CH x 轴， 62.CxyABECO（第 24 题图）BP=2=AP，BPx 轴， 2.AB （2 分）tan3.CB（3 ） CAB=90，B+ACB=90.GM BC， CGM+ACB=90.CGM=B. （1 分）CGM 与 ABE 相似，BAE =CMG 或BAE= MCG.情况 1：当BAE=CMG 时，BAE=45，CMG=45. GMBC，MCE=45.MCE=EAB.AEB=CEM，ABECME. （1 分） .即 .EM=5. M（7，0 ）. （1 分）BEAMC53情况 2：当BAE=MCG 时，BAE=CAM，MCG
5、=CAM.MC=MA. （1 分）设 M（ x，0） ，C（5，6） ， A（-1，0） ， x=5.22(1)(5)6.xM （5，0）. （1 分）题型二：动点在线段的延长线上如图 7，已知抛物线 与 轴交于点 和点 （点 在点 的左侧） ，与32bxyAB轴交于点 ，且 ,点 是抛物线的顶点，直线 和 交于点 。yCOBDCDE（1）求点 的坐标；D（2）联结 ，求 的余切值；、 C（3）设点 在线段 延长线上，如果 和 相似，求点 的坐标。MAEM M【答案】 （1） （2 ）3 （3）D,4（ ） 6,)5（ -【解析】 （1）抛物线 与轴的交于点 和点 （点 在点 的左侧） ，2y
6、xbAB与 轴交于点 ， ,且 ,yC)0(OCB)03( 93,=b解 得 2;D1,4yx （ ）（2 ） OBC 5OBCy=45D。 ；802=90 ；3cotD(3)由 ，可得,在 AOC 和 BCD 中， ,2yx 3CBAOD，90AOCBAOCB又 ; E;45E当 相似时，可知 ;M和又点在线段的延长线上， ,可得 ;ABMBAC;32BC由题意，得直线的表达式为 ;设 .y3x(,3)x,解得 （舍去）2()18x12605点 M 的坐标是63,)5（ -题型三：动点在对称轴上如图，抛物线 经过点 , ， 为抛物线的顶点。cbxy2)03(BCD（1）求抛物线的解析式及顶点
7、坐标；（2）点 关于抛物线 的对称点为 点，联结 ， ，求 的正C2EBECB切值；（3）点 是抛物线对称轴上一点，且 和 相似，求点 的坐标。MMBCM【答案】 （1） ； （2）（3）或32xy)4,1(D2,1M3,【解析】 （1）抛物线 经过点 ,cb)0(BC 可解得 309c32 顶点坐标2xy)4,1(D（2）过点 作 垂直于 交于点EHBCH点 与点 关于对称轴 对称 , , 平行于 轴)3(Ex OC ,45B23C在等腰直角三角形 中,H 2E在直角三角形 中, ,B22EH 21tanBHEC 的正切值为 （3）设抛物线对称轴 交 轴与点1xF在直角三角形 中， ,D42
8、 , 2tanBFCBE点 在点 的下方M当 与 相似时，有下列两种情况：CE当 时，即 可解得 BD10352M6D 2,1当 时，即 可解得 CE235D310 32,1M综上所述： 或,32,12）动点在平移后的对称轴上在平面直角坐标系中，点 是抛物线 上的一点，将此抛物线向下平)0,4(Acxay2移 个单位以后经过点 ，平移后的新抛物线的顶点记为 ，新抛物线的对称轴和线62BC段 的交点记为 。ABP（1 ） 求平移后得到的新抛物线的表达式，并求出点 C 的坐标；（2 ） 求 的正切值；C（3 ） 如果点 是新抛物线对称轴上的一点，且 和 相似，试求点 的坐标。QBQ AP Q【答案
9、】 （1） ； （2 ） （3） 或2xy)3,1(C1tanCAB)25,(1Q)1,(【解析】（1 ） 点 是抛物线 上的一点，代入得： )0,4(Acxay2 086ca又抛物线向下平移 个单位以后经过点 ，平移后的抛物线解析式为：6),0(。2cxay代入得： ，由得：8,8,1ca平移后得到的新抛物线的表达式： ，顶点22xy)3,1(C（2 ） 、 、 ，易得)0,4(A)2,(B)3,1(C52,BAB由勾股定理逆定理得 是直角三角形， 3tan（3 ） 设抛物线对称轴与 轴相交于点xH， ，ABOPH 231APCP易得 ，45C23,点 只能在对称轴点 的下方， 和 相似，有
10、以下两种情况：QBQ A ， ， ，CAPB231)25,( ， ， ，Q24CQ),(2综上， 或)25,1(Q)1,(题型四：动点在某直线上如图，已知抛物线 经过 的三个顶点，其中点 ，点 ，2yaxcABC(0,1)A(9,0)B轴ACx（1 ）求这条抛物线的解析式；（2 ）求 的值；tanB（3 ）若点 D 为抛物线的顶点，点 E 是直线 AC 上一点，当 与 相似时，求点 E 的坐标CEA【参考答案】24解：（1）抛物线 经过点 和点2yaxc(0,1)A(9,0)B 1 分810ca解得 2 分3c这条抛物线的解析式为 1 分213yx（2 ）过点 作 ，垂足为BHAC， ，ACx
11、 轴 (0,)(9,), （ ）又 0是等腰直角三角形 1 分45B， ，点 也在该抛物线上Ax 轴 (0,1)C6,C （ ）过点 作 ，垂足为点GG1 分sin4532 coA又在 Rt 中，BH92sin45BA 1 分9236GyAOCBx（第 24 题图）在 Rt 中， 1 分BCG1tan2CGAB（3 ）过点 D 作 ，垂足为K点 是抛物线 的顶点 1 分213yx(3,)D (,) 又 是等腰直角三角形C90C K 45DK又 BA 1 分当CDE 与 ABC 相似时，存在以下两种情况：1 分1EC6=923 E2(4,)1 分2ADB C9(3,)题型五：动点在 轴上x如图 9，在平面直角坐标系 xoy中，顶点为 M的抛物线 2(0yaxb） 经过点 A和x轴正半轴上的点 B， AO= 2， 012AB（1 ）求这条抛物线的表达式；（2 ）联结 M，求 的大小；（3 ）如果点 C在 x轴上，且 C与 O相似，求点 C的坐标 MABOxy图 92017 年青浦一模 24】已知，如图 8，在平面直角坐标系中，抛物线 与142axy轴正半轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，且 ，点 是第一象限内的点，xAByCOB3P联结 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形.BCP（1）求这个抛物线的表达式；
