1、智浪教育 -普惠英才文库 3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题 例 1 2017 年杭州市中考第 22 题 如图 1，在 ABC中， BC AC， ACB 90，点 D 在 AB边上， DE AC 于点 E （ 1）若 13ADDB， AE 2，求 EC的长； （ 2）设点 F 在线段 EC上，点 G 在射线 CB 上，以 F、 C、 G 为顶点的三角形与 EDC有一个锐角相等， FG 交 CD 于点 P问：线段 CP 可能是 CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由 图 1 智浪教育 -普惠英才文库 例 2 2017 年安徽省中考第 23 题 如图 1，正六边形 ABCDEF 的
2、边长为 a， P 是 BC边上的一动点，过 P 作 PM/AB 交 AF于 M，作 PN/CD 交 DE 于 N （ 1） MPN _； 求证： PM PN 3a； （ 2）如图 2，点 O 是 AD 的中点，联结 OM、 ON求证： OM ON （ 3）如图 3，点 O 是 AD 的中点， OG 平分 MON，判断四边形 OMGN 是否为特殊的四边形，并说明理由 图 1 图 2 图 3 智浪教育 -普惠英才文库 例 3 2018 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题 已知二次函数 y x2 bx c 的图像经过点 P(0, 1)与 Q(2, 3) （ 1）求此二次函数的解析式； （ 2）若点
3、A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点 A 作 x 轴的平行线交二次函数图像于点 B，分别过点 B、 A 作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、 D，且所得四边形 ABCD 恰为正方形 求正方形的 ABCD 的面积； 联结 PA、 PD， PD 交 AB于点 E，求证： PAD PEA 智浪教育 -普惠英才文库 3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题答案 例 1 2017 年杭州市中考第 22 题 如图 1，在 ABC中， BC AC， ACB 90，点 D 在 AB边上， DE AC 于点 E （ 1）若 13ADDB， AE 2，求 EC的长； （ 2）设点 F 在线段 EC上，点 G
4、 在射线 CB 上，以 F、 C、 G 为顶点的三角形与 EDC有一个锐角相等， FG 交 CD 于点 P问：线段 CP 可能是 CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由 图 1 动感体验 请 打开几何画板文件名“ 15 杭州 22”，拖动点 D 在 AB上运动，可以体验到， CP 既可以是 CFG 的高，也可以是 CFG 的中线 思路点拨 1 CFG 与 EDC 都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况 2高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来
5、满分解答 （ 1）由 ACB 90， DE AC，得 DE/BC 所以 13AE ADEC DB所以 213EC 解得 EC 6 （ 2） CFG 与 EDC 都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况： 如图 2，当 1 2 时，由于 2 与 3 互余，所以 2 与 3 也互余 因此 CPF 90所以 CP 是 CFG 的高 如图 3，当 1 3 时， PF PC 又因为 1 与 4 互余， 3 与 2 互余，所以 4 2所以 PC PG 所以 PF PC PG所以 CP 是 CFG 的中线 综合、，当 CD 是 ACB 的平分线时， CP 既是 CFG 的高，也是中线（如图 4） 图 2
6、图 3 图 4 考点伸展 这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆： 如图 5，在 ABC中，点 D是 AB 边上的一个动点， DE/BC交 AC于 E， DF/AC交 BC智浪教育 -普惠英才文库 于 F，那么四边形 CEDF 是平行四边形 如图 6，当 CD 平分 ACB 时，四边形 CEDF 是菱形 图 5 图 6 如图 7，当 ACB 90，四边形 CEDF 是矩形 如图 8，当 ACB 90， CD 平分 ACB 时，四边形 CEDF 是正方形 图 7 图 8 智浪教育 -普惠英才文库 例 2 2017 年安徽省中考第 23 题 如图 1，正六边形 ABCDEF 的边长为 a， P
7、 是 BC边上的一动点，过 P 作 PM/AB 交 AF于 M，作 PN/CD 交 DE 于 N （ 1） MPN _； 求证： PM PN 3a； （ 2）如图 2，点 O 是 AD 的中点，联结 OM、 ON求证： OM ON （ 3）如图 3，点 O 是 AD 的中点， OG 平分 MON，判断四边形 OMGN 是否为特殊的四边形，并说明理由 图 1 图 2 图 3 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 安徽 23”，拖动点 P 运动，可以体验到， PM PN 等于正六边形的 3 条边长 AOM BOP， COP DON，所以 OM OP ON还可以体验到， MOG 与 NOG 是两个
8、全等的等边三角形，四边形 OMGN 是菱形 思路点拨 1第（ 1）题的思路是，把 PM PN转化到同一条直线上 2第（ 2）题的思路是，以 O 为圆心， OM 为半 径画圆，这个圆经过点 N、 P于是想到联结 OP，这样就出现了两对全等三角形 3第（ 3）题直觉告诉我们，四边形 OMGN 是菱形如果你直觉 MOG 与 NOG 是等边三角形，那么矛盾就是如何证明 MON 120 满分解答 （ 1） MPN 60 如图 4，延长 FA、 ED 交直线 BC 与 M、 N，那么 ABM、 MPM、 DCN、 EPN都是等边三角形 所以 PM PN MN MB BC CN 3a 图 4 图 5 图 6
9、 （ 2）如图 5，联结 OP 由（ 1）知， AM BP， DN CP 由 AM BP， OAM OBP 60， OA OB， 得 AOM BOP所以 OM OP 同理 COP DON，得 ON OP 智浪教育 -普惠英才文库 所以 OM ON （ 3）四边形 OMGN 是菱形说理如下： 由（ 2）知， AOM BOP， DON COP（如图 5） 所以 AOM DON BOP COP 60所以 MON 120 如图 6，当 OG 平分 MON 时， MOG NOG 60 又因为 AOF FOE EOD 60，于是可得 AOM FOG EON 于是可得 AOM FOG EON 所以 OM O
10、G ON 所以 MOG 与 NOG 是两个全等的等边三角形 所以四边形 OMGN 的四条边都相等，四边形 OMGN 是菱形 考点伸展 在本题情景下，菱形 OMGN 的面积的最大值和最小值各是多少？ 因为 MOG 与 NOG 是全等的等边三角形，所以 OG 最大时菱形的面积最大， OG 最小时菱形的面积最小 OG 的最大值等于 OA，此时正三角形的边长为 a，菱形的最大面积为 232a OG 与 EF 垂直时最小，此时正三角形的边长为 32a，菱形的最小面积为 2338a 智浪教育 -普惠英才文库 例 3 2018 年上海市黄浦区中考模拟第 24 题 已知二次函数 y x2 bx c 的图像经过
11、点 P(0, 1)与 Q(2, 3) （ 1）求此二次函数的解析式； （ 2）若点 A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点 A 作 x 轴的平行线交二次函数图像于点 B，分别过点 B、 A 作 x 轴的垂 线，垂足分别为 C、 D，且所得四边形 ABCD 恰为正方形 求正方形的 ABCD 的面积； 联结 PA、 PD， PD 交 AB于点 E，求证： PAD PEA 动感体验 请打开几何画板文件名“ 13 黄浦 24”，拖动 点 A 在第一象限内的抛物线 上运动，可以体验到， PAE 与 PDA 总保持相等， PAD 与 PEA 保持相似 请打开超级画板文件名“ 13 黄浦 24”，拖动
12、点 A 在第一象限内的抛物线 上运动，可以体验到， PAE 与 PDA 总保持相等， PAD 与 PEA 保持相似 思路点拨 1数形结合，用抛物线的解析式表示点 A 的坐标， 用点 A 的坐标表示 AD、 AB 的长，当四边形 ABCD 是正方形时， AD AB 2通过计算 PAE 与 DPO 的正切值，得到 PAE DPO PDA，从而证明 PAD PEA 满分解答 （ 1）将点 P(0, 1)、 Q(2, 3)分别代入 y x2 bx c，得 1,4 2 1 3.c b 解得 0,1.bc 所以该二次函数的解析式为 y x2 1 （ 2）如图 1，设点 A 的坐标为 (x, x2 1)，当
13、 四边形 ABCD 恰为正方形时， AD AB 此时 yA 2xA 解方程 x2 1 2x，得 12x 所以 点 A 的横坐标为 21 因此正方形 ABCD 的面积等于 22 ( 2 1) 1 2 8 2 设 OP 与 AB 交于点 F，那么 21 2 ( 2 1 ) 3 2 2 ( 2 1 )P F O P O F 所以 2( 2 1 )ta n 2 121PFPAE AF 又因为 t a n t a n 2 1ODP D A D P O OP ， 所以 PAE PDA 又因为 P 公用 ，所以 PAD PEA 智浪教育 -普惠英才文库 图 1 图 2 考点伸展 事实上，对于矩形 ABCD，总有结论 PAD PEA证明如下： 如图 2，设点 A 的坐标为 (x, x2 1)，那么 PF OP OF 1 ( x2 1) x2 所以 2ta n PF xPAE xAF x 又因为 t a n t a n ODP D A D P O xOP ， 所以 PAE PDA因此 PAD PEA
