1、1发表于数学通讯2014 年第 10 期学好概念才能学好数学以“函数的对应关系”为例李素波 山西省阳泉市平定一中 045200学好概念是学好数学的内在要求,概念学不好，数学课程目标的实现就失去了根基. 李邦河院士指出， “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”因此，作为学生必须重视数学概念的学习.而函数概念又是高中数学中的重中之重，尤其是三要素之一的对应关系 不易理解.f一 问题提出在我校组织的一次观摩课上，教师在课上讲到如何判断两个函数相等. 在互动环节，教师让学生甲讲解了课本例题：引例 下列函数中哪个与函数 相等？xy(1) ; (2) ; (3) ; (4) .2)(xy23
2、xyxy2为便于讨论，下面给出学生甲对(1), (2)两个问题的解析学生甲剖析：学生甲首先指出教材中判断两个函数相等的依据，指的是它们的定义域相同， 对应关系也相同.而后分析了课本例题：(1) ，这个函数与函数 虽然解析式相同，但是定义)0()(2xy )(Rxy域不相同.所以，这个函数与函数 不相等.)(xy(2) ,这个函数与函数 的定义域都是实0,2 Rxy )(xy数集 ，但是当 时，它的解析式与函数 不相同.所以，这个函数与函数R)(xy不相等.)(xy该教学片断给笔者留下印象最深的是，学生甲多次强调“函数的对应关系即为函数解析式” ，从上文教师例题的过程中也可以证实这一点.然而在场
3、的所有学生却均未提出异议，可以看出，有此认识的学生应不在少数.笔者却认为这一观点还有待商榷.2那么究竟什么是对应关系？又何为对应关系相同呢？二 举证反驳有很大一部分学生不自觉地将对应关系与函数解析式等同起来.正如在引例的解析中，将两个函数对应关系相同认为是指两函数的解析式相同，在这里包括将解析式化简后相同.真是这样吗？那么请看这个例子：函数 和 这两个函数相1,)(xf 1,)(3xg等吗？显而易见，这两个函数有相同的定义域，那么问题的关键就在于两个函数的对应关系是否相同.但在这里若将对应关系视为解析式，那么结论就是这两个函数不相等.然而换另一个角度考虑，在同一坐标系中作出这两个函数的图像却是
4、完全相同的.毋庸置疑，两个图像完全相同的函数一定是相等的. 由此例可知，函数的对应关系并不完全等同于函数解析式.那么对应关系该怎么理解呢？更何况，并非每个函数都可以用解析法表示，尤其是在实际问题中，函数多用列表法和图像法表示，这其中的对应关系又该如何看待？请再看下面的例子下表为某天一昼夜温度变化情况时刻 0:00 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00 24:00温度/() -2 -5 4 9 8.5 3.5 -1实际上，在本例中，温度就是时刻的一个函数，那么此时的对应关系又指什么？对于由图像法表示的函数对应关系又如何体现呢？三 概念解读对应关系，在一些教材上也称为对应法则，通
5、常被理解为施加在自变量 上的运算关x系.比如：在函数 中，对应关系可叙述为“乘 2 再加 1”. 在其它的Rxf,12)(函数中，对应关系还可以是“取倒数” 、 “求平方” 、 “取不超过 的最大整数”等等.x然而这仅仅是一个层面的理解.仍以“函数 和1,)(f这两个函数相等吗？” 为例来说，前者的对应关系为取 的倒数，1,)(3xg x而后者的对应关系为求 的立方.在本例中，极易理解为两者的对应关系不同，而这与两个函数相等的事实是矛盾的.可见这种用文字叙述的作用在自变量 上的运算规则还不是对应x关系的真意所在.在函数 中，笔者认为若将对应关系叙述Rxf,12)( 94 73 52 31图13
6、为 更能揭示本质，即将实数 对应到实数 .12:xf x12x具体体现为如图 1 所示的箭头图：又如在函数 中，对应关系就是 ，即使任意实数都对应 1.)()Rf:f而在“某天一昼夜温度随时刻变化情况”的例子中，对应关系可用如图 2 所示的箭头图表示：其实，用列表法表示的函数较解析法更加直观，不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系.在如上的箭头图中，实际上已经内隐了函数的对应关系.在用图像法表示的函数 中，对自变量 的某一取值，过 轴这一点作 轴的)(xfyxxx垂线与 的图像交于点 A，然后过点 A 作 y 轴的垂线， 与 y 轴交点的纵坐标即为)(xfy函数值 y(如图 3) .这样就
7、找到了图像法中函数的对应关系.在日常生活以及生产实践中，大多函数都不能用解析法表示，在列表和图像中各变量大多已经“天然地”建立了对应关系.用德国数学家狄里克莱的观点：“怎样去建立 与x之间的关系无关紧要，只要对于 的每一个值， 总有完全确定的值与之对应，这就是yxy对应关系.事实上，函数 和 有着异曲同工之妙，两者1,)(xf 1,)(3xg的函数解析式虽然不同，然而对应效果却是一样的，均为 ， .因此，笔者认为两个对应关系相同的本质是指对自变量 的同一个取值，都有相同的函数值 与之对应.换句话说，对于函数 和 ，若对任意实数 ，都有y)(xfgx成立，那么就可以称这两个对应关系 和 是相同的
8、.)(xgffxy图3y=f(x)yxOA图2 -1243.520 8.5161284 94-5-204同样的例子不胜枚举，再比如：函数 和 ； 4,2,)(xf 4,2,)(xg和 ； ,4,sin)( Zkxxf ,cosZkg和 ，这里每组的两个函数都是相等的. 3,21,fx 3,21,)(2xg所以，更深一层理解，对应关系强调的是对应结果，或者说对应效果，即使解析式不同，也有可能达到同样的对应效果.之所以许多学生会形成这种错误认识，笔者分析这跟高中阶段主要研究的是连续函数有关.而对于两个连续函数而言，它们相等，当且仅当定义域和解析式完全相同，相同的解析式必然会导致相同的对应效果.然则，在理论上，对于两函数 和 ，即便它们的)(xfg对应关系相同，解析式却未必相同.当前不重视概念学习是一个比较普遍的现象，在对概念还没有基本理解的时候就进行概念的综合应用，表面看来不影响解题，实则为祸至深.许多学生甚至认为学概念不如多练习几道题目更“实惠” . 所以作为学生，必须深入理解教材，学好数学概念才有利于长远学习.
