1、1对于数码相机定位问题的分析摘要：本文针对双目定位的数码相机相对位置的标定问题进行了深入研究。对于问题一，建立了世界坐标系和相机成像坐标系之间的转换矩阵，可以根据相机与靶面任意的相对位置关系求得靶标圆心的像坐标；对于问题二，针对所给靶标的特征提出了质心模型、切线模型、解析法模型三种求靶标圆心在像坐标投影点的模型，并就所给的靶标相片求出了圆心投影的像坐标。对于问题三，应用了问题一中转换矩阵，建立了判定问题二中模型优劣的仿真算法，对问题二中提出的三种模型进行了优劣分析。对于问题四，应用 Roger Y. Tsai 的单部相机内部和外部参数的标定算法，不用求解多元非线性方程组，直接用最小二乘法求解超
2、定线性方程组，即可求得相机坐标系的变换矩阵和像距，从而能够确定两相机的相对方位和位置关系。本文得到的主要结论如下：问题一：求解靶标圆心像坐标的算法为世界坐标系和相机成像坐标系之间的坐标变换；问题二：利用三种模型得出问题所给靶标相片中靶标圆心投影位置的像坐标，如下表所示；质心模型 切线模型 解析法模型X Y X Y X YA 322.8948 189.4935 323.2771 189.9167 323.0474 189.6938B 422.9960 196.9423 423.2943 197.3401 423.0209 197.0611C 639.8994 213.1522 640.1433
3、213.3946 640.1127 213.2289D 582.7329 502.9824 583.0062 503.2098 582.8821 503.1650E 284.6657 501.7731 284.9940 502.0426 284.8034 502.0957问题三：在像平面和物平面夹角不是很大的情况下，三种模型的精度相差不大；像平面和物平面夹角比较大时，切线模型的精度大于解析法模型，质心模型的精度最差。问题四：运用相机内外参数的标定算法和问题二得到的靶标圆心和切点坐标，得题图三对应相机的相机坐标系的旋转矩阵与平移向量分别为， 。0.93765.190.386-24-517.4.2
4、 -.3094.关键词：机器视觉、坐标变换、透视投影、相机标定2对于数码相机定位问题的分析一、 问题重述双目视觉定位系统是机器视觉学科的主要研究内容，系统通过处理放在两个不同位置的摄像机捕捉到的图像，对空间中的某点或某物体进行定位。这种技术在交通、医疗、工业、军事等领域都有广泛的应用。要使定位系统进行准确的定位，必须知道两台相机精确的相对位置关系，可以使用如下方法对两台相机进行标定以获得相机的相对位置：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何
5、尺寸的“点” 。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标） ，它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。本课题要求完成下列任务：（1） 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y 平面平行于像平面；（2） 由靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标（3） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。二、 问题分析该问题实际上是求解不同坐标系中的点的对应关系的问题。对于第一个问题
6、，首先需要解决的是空间圆成像的映射问题。由于实际情况中维度的差距，可以考虑将成像的模型设置为小孔成像的模型，从而省略了成像的畸变对定位造成的影响对问题进行简化，对于由此造成的误差在后面的模型分析中进行讨论。空间圆小孔成像中有一些基本的原则和理论需要进行分析，然后以此进行建模，考虑空间中各个参考系之间的坐标变换关系，通过旋转、平移等方式达到点的映射的目的。对于问题二，即考虑上述过程的反向过程：已知像的信息和原象的信息，要求得出原象的圆心在像上的位置。一个朴素的想法就是考虑质心的对应关系，如果能找到像和原象的质心的对应关系，就求出了圆心在像平面上的坐标。但是此种做法缺乏理论依据，只是根据生活经验得
7、出，但不失为一种参考的方法，3可以将其与其他方法进行对比，选出更优的方法。再者，还可以通过切线的垂线的交点来确定圆心。首先对给出的像的信息进行处理，拟合出像中的曲线方程，接着在物的由物平面中的切点求出它们在相平面中的坐标（用问题一的方法） ，之后就可以由切点求出切线的方程从而得出圆心的坐标。另一个想法是解析的方法。通过空间解析几何和平面上线、角的关系计算出圆心相对于空间坐标系的坐标，并由第一问中各坐标系的坐标变换关系就可以得出圆心在像平面上的坐标。以上方法都在理论推导的过程中进行了一些近似从而会导致系统误差，所以在由上述一些方法对问题进行分析过后还需要对它们的精确程度和稳定性进行分析。此即问题
8、三的要求。而对于不同的方法，应采用不同的误差分析方法以得出他们的精度和稳定性。对于质心的方法，由于其缺乏理论根据，所以只能将其结果与其他的方法的结果进行比较以考虑其精度；对于切线的方法，由于计算机拟合的过程很精确（点足够多的情况下） ，且在之后的处理过程中没有进行近似处理，其精度的讨论应该也着重与其他方法的比较；对于解析的方法，由于其通过公式的推导，经过适当的近似得到结果，因此应着重讨论其近似时产生的误差。而对于稳定性的讨论，应朝着考虑靶标的移动、标定形状、噪声对方法精度的影响。最后一问要求通过靶标的世界坐标系坐标和靶标在两部相机的成像坐标系中的像点坐标来确定两部相机的相对位置。具体来说，即已
9、知靶标上若干物点的世界坐标和成像坐标，寻找标定两个相机坐标系相对世界坐标系的旋转矩阵 和平移向量 以及相机的内部参数的算法。由这四个矩阵能够自然地求得两相机的相对位置。三、 模型假设1本题中不考虑镜头畸变；2本题中相机模型为小孔模型；3各空间坐标轴均为右手系。四、 符号与术语说明透射投影：坐标变换中的旋转矩阵。R：坐标变换中的平移向量。T：像距，光心到像平面的距离。f世界坐标系： ，被拍摄物体所在坐标系。wXYZ 相机坐标系： ，以相机光轴为 ，光轴平行于相机像平面。cc cZ4成像坐标系： ，像平面坐标系。uv 五、 模型的建立与求解问题一该问要求靶标上圆的圆心在相机像平面上的坐标，即世界坐
10、标系（） 、相机坐标系（ ）和成像坐标系（ ）三个坐标系之间wZYX, ccZYX, vu,的点坐标的转换。1 世界坐标系和相机坐标系之间的转换该转换用旋转矩阵 和平移向量 来描述，世界坐标和相机坐标间满足下RT式： ZYXRwcc其中 （具体确定见下文） ， ，即世界坐标先旋转987654321rR zyxT矩阵，再将坐标原点平移 向量成为相机坐标。为方便表达，上式亦可表示T为，111wwTcc ZYXMORZYX 其中 ，而旋转矩阵 的确定有多种方法，如绕坐标轴的旋转变换，TO)0,(欧拉角旋转变换等，考虑到直观易用性，本文选取绕坐标轴的旋转变换来确定矩阵 ， 分别为坐标系旋转变换时绕固定
11、的世界坐标系坐标轴的旋转R，夹角，此时 为，cossinsicosincosinsincosii 5图 1 坐标系的旋转又应用 z-x-y 旋转顺序，即先绕世界坐标系的 z 轴旋转 ，再绕其 x 轴旋转 ，最后绕其 y 轴旋转 ，但每次旋转都是以固定的世界坐标系坐标轴为转轴的。图 2 相机坐标系和成像坐标系2 相机坐标系和成像坐标系之间的转换对于该问题，用小孔模型代表相机工作原理，相机坐标系以小孔（光心）为坐标原点，以光轴为 轴正方向，而成像平面坐标系 则平行于相机坐标cZuov系的 平面，如图 2 所示。原理上说，成像平面应当在物点 P 和光心 O 连cXOY线的延长线上，完成小孔成像，但由
12、于成倒像，为处理和讨论方便，将成像平面放置在光心和物点之间，距光心 的位置上， 此处为像距。由小孔成像原ff6理和相似三角形知识，得到相机坐标系和成像坐标系之间的关系为：，ccZfYvZfXu 其中， 为 P 点的成像坐标， 为 P 点在相机坐标系中的空间坐标。),(yx ),(c矩阵形式表示为：。011cc cXufYZvZ综上所述，可得世界坐标系和成像坐标系之间的变换关系为：(1)0111wwc TXuf YRZv MOZ 在相机内部参数都确定的情况下，M 为一常矩阵， 为随着世界坐标系中c点坐标变化的量，为列向量 的第三项元素。因而得到了世界坐标1wTXYROZ系和成像坐标系之间的变换关
13、系。对于本小问，输入为世界坐标系中靶标的 5 个圆心位置以及数码相机的 6个位置参数（旋转矩阵 中的 3 个旋转角度和平移向量 的 3 个变量） ，要求输RT出靶标圆心在像平面上的坐标。对于靶标，定义如图 3 的世界坐标系，5 个圆心放置在 xoy 平面上，其坐标如表 1 所示；相机的位置参数则由外部设定 6 个参数 。用 Matlab 编写程序（代码见附录） ，可得到应用上述zyxT,坐标变换式所得圆心对应的像坐标的 和 。由于题中要求坐标系的原点定在光uv心，因而最终像坐标为 。),(fvu7图 3 世界坐标系表 1 世界坐标系中靶标圆心的坐标圆编号 圆心 x 坐标 圆心 y 坐标 圆心
14、z 坐标A -50 50 0B -20 50 0C 50 50 0D 50 -50 0E -50 -50 0问题二问题二要求根据靶标图像和靶标的像，靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。1 图像的预处理由于题中靶标图像的照片给出的是灰度图像，并且实际摄像头拍摄的照片也是灰度图像，所以提取圆心工作以前，必须对图像进行预处理工作。图像预处理流程如图 4 所示，读入图像利用软件提取图形文件中像素的颜色信息，由于圆心投影只与边缘有关，所以用软件算法实现边缘的提取，本文利用了 Sobel边界探测器，由于原图像灰度及阈值设定的原因，完成边界探测后会有许多与边界不连续的点，我们称之为噪声，这里我们手工去除这些噪
15、声点，然后将边界点坐标存入数组。同时我们将图像做二值化处理，作为求质心的原始数据。图 5 显示了图像预处理的效果，A 为初始读入图像数据，是灰度图像， B为经过 Sobel 边界探测后的结果，有噪点存在，C 为手工去除噪声点后的图像，D 为原始图像做二值化处理后的图像。8读入图像噪声点去除边缘提取 读入数据A B C二值化处理D图 4 图像预处理流程A B C D图 5 图像预处理阶段示意2 圆空间透视投影的分析本小节介绍推导模型必须证实的几个定理定理 1：空间内圆的投射投影为椭圆证明：如图 6 所示以 为圆心的圆经过小孔投影到像平面上，以透镜的光心为坐rO标原点建立空间三位坐标系，Z 轴垂直
16、于像平面向下，O 到像平面的距离为 ，fO 到 圆所在的平面的距离为 。r l9图 6 空间圆的透视投影设圆 以 为轴旋转角度 ，再像平面形成一个封闭曲线，下面证明该封rOy闭曲线为椭圆。圆 的参数方程为：rcosinirrXYZl根据相似三角形比例原则，圆 上一点与象平面中该点的坐标 有如rO(,)xyz下关系 cossincosinzfxyzrrlr整理得： 2222sinco()1()isinrfxyl rfl此方程为一椭圆的标准方程，由此可知圆通过照相机在像平面上成的像为椭圆（在 时为圆） 。010定理 2：透射投影中，物圆的圆心的像不是所成椭圆像的中心。证明：图 7 XOZ 平面 AB 剖面图过图 6 的 的面作圆锥的剖面如图 7 所示： xOz其中 ， 为圆 在像平面上所成的像，过 作 的平行线 分ACBr CABm别交 的反向延长线为 ，交 于 。DBOE假设圆心 的像 为椭圆的中心，则有 A由相似三角形边的关系有： C将上式代入下式有 。分别从 、 向 作垂线垂足分别为 、 ，由于 为 的中点，所以有ABmFGCAB，由图易知： 。与上述矛盾，故假设不成立，即：物圆的圆FCGED心的像不是所成椭圆像的中心定理 3：空间圆圆心的投影在投影椭圆的短轴上证明：首先说明圆 的圆心的像、椭圆中心都在 。rOAB由于 是直径，易知圆 的圆心的像 上。ABr
