1、第 7 章 概率模型第一节 简单的概率模型在现实生活中存在一些不确定性问题，它遵循某种随机规律，因此要研究这些实际问题，就需要借助以概率统计为基础的数学工具，按照研究目的和对象的客观规律来建立数学模型，这就是概率模型。例 1、取球问题盒中放有 12 个兵乓球，其中有 9 个是新的，第一次比赛时从盒中任取 3 个，用后仍放回盒中，第二次比赛再从盒中任取 3 个，求第二次取出的球都是新球的概率。分析：第二次取球是在第一次比赛之后，所以当第二次取球时何种就不一定有 9 个新球了，因为第一次用的 3 个球可能有 0、1、2、3 个新球，所以第二次全取新球直接受这四种可能性的影响，可用全概率公式求解。解
2、：设 表示 “第二次取出的球都是新球 ”的事件；A表示“第一次比赛时用了 个新球”的事件，则由题意得：),210(iBi3129CPii3129)|(BAi于是由全概率公式： 146.0325)|()(3019230 i iiii CBAPP例 2、客车停站问题一辆送客汽车载有 20 位乘客从起点站开始开出，沿途有 10 个车站可以下车，若到达一个车站没有乘客下车就不停车，设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。设随机变量 表示停车次数X)10,2(01iii ，站 没 人 下 车， 第 站 有 人 下 车， 第则由题意可知：10iiX因为每位乘客在每一车站下车是等可能的，
3、所以每一位乘客在第 站不下车的概率为i，于是 20 位乘客在第 站不下车的概率为 ，在第 站有人下车的概率为109i 20)19(i，所以2)(20)19(iXP)(i于是202020 )19()(1)9()( iE从而得汽车平均停车次数87.)109()0()()() 2121010 iiiiiXEX第 2 节 报童的诀窍报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回，设报纸每份的购进价为 b，零售价为 a，退回价为 c，这就是说，报童售出一份报纸赚 a-b，退回一份赔 b-c，报童每天如果购进的报纸太少不够卖的，会少赚钱；如果购进太多卖不完，将要赔钱，请你为报童筹划一下，他应如何
4、确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入. 附表 : 159 天报纸需求量的分布情况需求量 100 119 120139 140159 160179 180199 200219 220239 240259 260279 280天数 3 9 13 22 32 35 20 15 8 2根据这些数据,并假定 a=1 元,b=0.8,元 c=0.75 元,为报童提供最佳决策.1模型假设（1）报纸每份的购进价为 b，零售价为 a，退回价为 c; 报童售出一份报纸赚 a-b，退回一份赔 b-c；只考虑利润最大，不考虑其他成本因素。（2）报童每天购进报纸 n 份,每天需求量为 r,为随机变量，其概率是 f(
5、r).（3）不考虑市场竞争影响。2模型建立及求解报童每天的收入是随机的，应考虑他长期的日平均收入设为 G(n)则：)()()()( 10 rfnbarfncbranGnr 通常需求量 r 和购进量 n 都相当大，将 r 视为连续变量， f(r)转化为概率密度函数p(r).上式变为： n ndrpbadrpncbraG0 )()()()()nn nrdrpcbd)()()(00令 (*)cbardGn)(:,得 到adprp001)(， 所 以因 为3模型解释报纸需求量 r 大致服从正态分布， (*)式的几何意义。prn12p图 7.1 结果分析(1) 当 ab=c 时, 即购进价 b 与退回价
6、 c 相等，而零售 a 大于它们，这时报童不承担任何风险,会造成发行商的损失;(2) a=bc 时, 报童无利可得,不会从发行商处购进报纸;(3) 只有当 abc 时, 报童和发行商均获利。 .)(,)( ,)( 201021 nnnn drpdrpcbadrp令a-b 即售出一份赚的钱, b-c 即退回一份赔的钱,当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时,他购进的份数应越多(见图 7.1)。具体计算：利用 MATLAB 和表中的数据 ,求出需求量的平均值为 199,标准差为 38.7，据正态分布求 n当 a=1 元,b=0.8,元 c=0.75 元时,n=232。第 3 节 花店
7、老板的进货问题某花店对鲜花需求量的概率分布如下：商品数量（百打） 0 1 2 3 4 5 6 7 8概率 0.05 0.1 0.1 0.25 0.2 0.15 0.05 0.05 0.05每出售百打鲜花，老板可获利 250 元，若当天不能出售，每百打老板将损失 325 元，在这种价格和需求结构下，要求确定店主每天进多少百打鲜花方能获取最大利润？这属于一个存贮问题，我们首先根据这一简单模型应用枚举法求解，然后引入边际分析的方法进行讨论，最后给出这一存储问题的一般解法。1. 枚举法假设不满足需求时，对店主没有任何损失。由需求量的概率分布中，我们可以计算出需求量的期望值为 3.65 百打。由此可以排
8、除进货量 1 或 5 的可能性，因这样做不如进货 2，3，4 件那样有利可图（若从这三数字还不能得到最优结果，我们不妨也可检查其余数字） 。为此我们定义纯利润为出售的获利中减去因未出售而受的损失的值，负的利润即表示损失的值。由表 4.2.1 显见，每天进 300 百打可获最大利润。三种数量的纯利润需求量（百打） 概率2 3 40 0.05 -650 -975 -13001 0.10 -75 -400 -7253 0.10 500 175 -1504 0.25 500 750 4255 0.20 500 750 10006 0.15 500 750 10007 0.05 500 750 1000
9、8 0.05 500 750 10009 0.05 500 750 1000利润期望值 385 491.25 453.752边际分析边际分析就是人们将利用价格结构方面的信息来检查和判断再多增加一个单位的需求量是否合算。假设已知持有 件商品合理，要求通过分析再增加一件商品所增加的利润和导致的损n失，来判断持有 件商品是否合算。最后增加的单位称边际单位。我们亦定义边际利润1（MP ）为由增加的那件商品所得的纯利润。类似的可定义边际损失（ML）为由增加的那件商品所导致的损失。最后增加的那件商品出售的概率为（7.3.1）)1(nPp需 求 量它未被出售的概率为 。如果边际利润的期望值大于边际损失的期望
10、值，就断定持有1n+1 件商品是合理的。注意到这时期望值即为价值与相应的概率的乘积。因而我们可把上述条件改写成)()()1() MLpLpMPp整理后可得(7.3.2)由（7.3.1）注意到，概率 是由需求量的概率分布的右尾部给出的（1 减去累计分布p函数） 。有了上述准备，我们再回到我们的花店有 =250， =325 于是由(7.3.2)PL562.032MLPp即仅当出售概率 0.5652 时，老板再增加 1 百打才是合算的。从需求量的概率分布中，我们有 7.)(需 求 量 504需 求 量p说明第 4 个商品出售的概率小于 0.5652，即进货量最好是 3 百打。最后，我们给出边际分析法
11、的步骤：1） 确定边际损失2） 确定边际利润3） 计算比值 )(MLPp4） 从概率分布上界开始依次逐个计算累计概率，当累计概率超过 时就停止，相应的需p求量就是应持有的最优数量。3一般解法假设每天购进量为 ，因为需求量为随机变量，可能大于 、小于 、等于 ，从而老nnn板的收入也随机。因而作为优化的目标函数，不能是其每天的收入，而应是其日平均收入即每天收入的期望值记花店老板每天购进 百打花的平均收入为 ，需求量为 的概率为 ，有)(Gr)(rf（4.2.18）nr nrrffnG0 1250)(325)(则我们的问题归为求 ，使 最大把问题中的数值代入，可见当 =3（百打）是可使 达最大，即
12、每天进 3 百打)3(G花可使花店老板获取最大利润。第4节 博弈问题 设有两人对垒，每人手中各有三种硬币，其分值分别为5分、10分、25分；每次两人各自同时出示一枚硬币，如属同一分值，则该币归第一位局中人所有，否则就属于第二位局中人，最后以得分值多者为胜。 问：(1)该游戏对双方是否公平？(2)如不公平，则受益方采取何种策略可稳操胜券，而另一方则如何尽可能输得少些？1问题分析如果只进行一次或很少几次游戏，则双方都不具有保证稳操胜券的策略。如果运气不佳，双方均有可能每次都输。所有，这里公平性或获胜策略只有在统计意义下讨论才有意义，即需在长期进行游戏或进行较多次游戏的情况下，才有意义讨论该问题。显
13、然，任何一方采取一种有规律的策略，一旦被对方知晓，则必输无疑。所以，双方的策略应是以某种随机的方式选择出示的硬币，而各类硬币的出现概率予以固定。直观地看，该游戏对第一位局中人显然是不公平的。事实上，设 表示甲取出第i个硬币，A表示乙取出第i个硬币，BW表示甲取胜这一事件则 ， , 31)(iP31)(iB,2i,9iiiPA所以甲嬴的概率.31)()21BW下面我们试图解决问题(1)和(2)，为双方找到各自的最佳策略。2问题的解决首先，必须用数学语言清晰地把问题表示出来，这在数学模型的建立过程中是较难也是较关键的一步。如果用A、B、C分别表示分值为5分、10分和25分的硬币，而以(X,Y)表示
14、每次游戏的结果，其中X,YA,B,C,且X表示第一位局中人（以后简称 ）显示的硬币，Y表示第二位局中人（以后简称 ）显1P2P示的硬币。显然，所有可能出现的结果为：(A,A), (A,B), (A,C),(B,A), (B,B), (B,C),(C,A), (C,B), (C,C).对第一位局中人有利的结果只有(A,A), (B,B), (C,C).假设 分别以 的概率出示A、B、C硬币，而 则分别以 的概率出示1P321,x2P321,yA、B、C，当然有, 1321.y假设 , 出示硬币都是相互独立的，那么对第一位局中人而言，分值支付矩阵如下：1P2乙甲 A B CA 5 -5 -5B -
15、10 10 -10C -25 -25 25 他每次游戏的期望值为3221231211 0055),( yxyxyxyxE - 33,矩阵表示为:，TyxyE25105),(其中 .,321T),(31显然，作为游戏者， 希望无论 采取何种策略，他的期望值E(x,y)尽可能大，而P2则希望E(x,y)尽可能小。2P因此，对 希望找到 1(4.3-1),(minaxyEy的解。而对 ，希望找到2(4.3-2),(maxinyEy的解。式(4.3-1)表示在 采用最佳策略时， 的最大收益；而式(4.3-2)表示在 采用最佳2P1P1P策略时， 的最小损失。2本世纪20年代后期，john Von Ne
16、amann在其论文公司博弈理论（1928年载于数学年刊第100卷P194.4-320）中证明了以下的结论：),(minaxyEy ),(axinyE或者，用另一种方式表示：存在 ， 使对任意x,y有*),(),(),(*yxyx显然， ， 就是两位局中人的最佳策略，（读者思考其中的原因）。*xy因此，现在的问题就是：求 ， 使*),(minax),(*yEEy),(axinyE称E( ， )为博弈的值。*xy利用Lagrange乘数法不难求出 ， 。令*,1),(1),(),(),( 21 TTyxyExf 由 , 0jif 3,ji得方程,025105321*y,)1,(),( 2*321
17、x再由 与 得：*32*1x1*32*1y, ,172570*31x341547*2y即有 .1750),(*yxE这说明每局游戏 损失 。当然这并不是说每局 一定能得到 ，这只是期望值。P2P1750正如抛掷一枚无偏差的钱币，出现正面的机会是百分之五十只是一种期望而不是保证一样。所以，在长期赌赛时， 须用全部时间的 出5分币， 的时间出10分币，而余下2P347342的 时间出示25分币，但每次出示何种硬币则需随机选择，那么平均每局 可得 。3415 2P1750习 题 七1.某工厂用 200 台机器来加工两种零件，需要安排 4 周完成任务，根据以往的经验指导机器加工第一种零件一周后损坏的概
18、率是 ；加工第二种零件一周后的损坏率为 ，如果9110机器加工第一种零件一周收益为 90 元，加工第二种零件一周的收益为 元。问怎样分5.8配机器的任务，才能使总收益最大？2.三门问题：三门问题是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目Lets Make a Deal。这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否
19、会增加参赛者赢的几率？3.某厂有 4 个车间生产同一种产品，其产量占总产量的比例分别为 0.15、0.35、0.1、0.4，各车间的次品率分别为 0.04、0.02、0.05、0.03，有一用户买了该厂的产品，其中 1 件产品是次品，对该用户造成了重大损失，用户按规定进行了索赔。厂长要追究生产车间的责任，但是该产品是哪个车间生产的标志已经脱落，问厂长应如何追究生产车间的责任？4.在一个城市里有绿色和黄色两种出租车， 其中绿色的占 70%，黄色的占 30%。某天夜间，发生一起出租车肇事逃逸事故，有一位目击者声称肇事的出租车是绿色的，法庭在与出事当夜相同环境下测试目击者的可信度，并得出结论，在 8
20、0%的时间里，目击者能正确识别这两种颜色，20%的时间里不能，问：在目击者声称肇事的出租车是绿色的的情况下，肇事车辆是绿色的概率大还是黄色的概率大？5.某地举办的福利彩票，每张面额 2 元，一万张为一开奖组。中奖等级和中奖金额如下：一等奖 1 张，奖金 5000 元；二等奖 2 张，奖金 2000 元；三等奖 10 张，奖金 100 元；四等奖 50 张，奖金 20 元；五等奖 500 张，奖金 2 元。某人买了 10 张彩票，求此人获奖的平均值。6.有甲乙两种股票可供投资，其年回报率及其概率如下甲股票的回报率 X -5% 0% 8%P 0.1 0.6 0.3乙股票的回报率 Y -10% 0% 10% 15%P 0.2 0.4 0.3 0.1（1）若将 10 万元全部投资甲种股票，求期望收益和标准差。（2）若将 10 万元全部投资乙种股票，求期望收益和标准差。（3）判断两种股票的收益高低和风险大小。（4）若甲、乙两种股票的回报率之间的协方差 cov(X,Y)= -0.0024，甲、乙股票各投 5 万元，求期望收益和标准差。( )22()()()cov(,DaXbYbDYaXY
