1、1三次函数的性质三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆性质一 单调性以 a0 为例，如图 1，记 =b23ac 为三次函数图象的判别式，则图 1 用判别式判断函数图象当 0 时，f(x)为 R 上的单调递增函数；当 0 时，f(x)会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值性质一的证明 f(x)的导函数为f(x)=3ax3+2bx+c,其判别式为 4(b23ac)，进而易得结论例 1 设直线 l 与曲线 y=x3+x+1 有三个不同的交点 A,B,C，
2、且|AB|=|BC|=5，求直线 l 的方程解 由 |AB|=|BC|可知 B 为三次函数的对称中心，由性质一可得 B(0,1)，进而不难求得直线 l 的方程 y=2x+1性质二 对称性如图 2，f( x)的图象关于点 P(b3a,f(b3a)对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于 P 对称）图 2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为(m,n)，则其解析式可以设为2f(x)=(xm)3+(xm)+n,其中 0性质二的证明 由于f(x)=a(x+b3a)3+(cb23a)(x+b3a)bc3a+2b327a2+d,即f(x)=(x+b3a)3+(cb23a)(x+b3a)+f
3、(b3a),于是性质二得证例 2 设函数 f(x)=x(x1)(xa)，a1（1）求导数 f(x)，并证明 f(x)有两个不同的极值点 x1，x2；（2）若不等式 f(x1)+f(x2)0 成立，求 a 的取值范围（1）解 f(x)的导函数f(x)=(x1)(xa)+x(xa)+x(x1)=3x22(a+2)x+a,而f(0)f(1)f(a)=a0,=1a0,于是 f(x)有两个变号零点，从而 f(x)有两个不同的极值点（2）解 根据性质二，三次函数的对称中心(a+13,f(a+13 )是两个极值点对应的函数图象上的点的中点于是f(x1)+f(x2)=2f(a+13)0,即2a+13a232a
4、+130,结合 a1，可得 a 的取值范围是2,+)注 本题为 2004 年高考重庆卷理科数学第 20 题性质三 切割线性质如图 3，设 P 是 f(x)上任意一点（非对称中心），过 P 作函数 f(x)图象的一条割线 AB 与一条切线 PT（P 点不为切点），A、B、T 均在 f(x)的图象上，则 T 点的横坐标平分 A、B 点的横坐标图 3 切割线性质3推论 1 设 P 是 f(x)上任意一点（非对称中心），过 P 作函数 f(x)图象的两条切线 PM、PN，切点分别为 M、P ，如图则 M 点的横坐标平分 P、N 点的横坐标，如图 4图 4 切割线性质推论一推论 2 设 f(x)的极大值
5、为 M，方程 f(x)=M 的两根为 x1、x2（x 10 时，b ma0 时为 1 个公共点，bma=0 时为 2 个公共点，bma 0 时为 3 个公共点，bma=0 时为 2 个公共点，bma 0，如果过点(a,b)可作曲线 y=f(x)的三条切线，证明： a0曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0)处的切线方程为 y=1（1）确定 b,c 的值；（2）设曲线 y=f(x)在点(x 1,f(x1)及(x 2,f(x2)处的切线都过点(0,2)证明：当x1x2 时， f(x1)f(x2)；（3）若过点(0,2) 可作曲线 y=f(x)的三条不同切线，求 a 的取值范围解 （1）f( x)的
6、导函数为f(x)=x2ax+b,于是该函数在 x=0 处的切线方程为y=bx+c,因此b=0,c=1.（2）函数 f(x)在 x=t 处的切线方程为y=(t2at)(xt)+13t3a2t2+1,当切线过点(0,2) 时可得23t3a2t2+1=0,于是 x1,x2 是该方程的两个不等实根考虑f(x1)f(x2)=(x21ax1)(x22ax2)=(x1x2)(x1+x2a),而23x31a2x21+1=0,23x32a2x22+1=0,两式相减并约去 x1x2，得x21+x1x2+x22=34a2,而x21+x1x2+x22=(x1+x2)2x1x2(x1+x2)214(x1+x2)2=34
7、(x1+x2)2,于是x1+x2a,进而可得f(x1)f(x2).（3）函数 f(x)的对称中心为 (a2,a312+1)，于是在对称中心处的切线方程为y=a24(xa2)a312+1,根据性质四的结论 ，可得1233,7即 a 的取值范围是(233,+) 注 此题为 2010 年高考湖北卷文科数学第 21 题（压轴题）练习题练习 1、已知函数 f(x)=13x3+ax2+bx，且 f(1)=0（1）试用含 a 的代数式表示 b；（2）求 f(x)的单调区间；（3）令 a=1，设函数 f(x)在 x1,x2（x 11 时，函数 f(x)的单调递增区间是(12a)和(1,+)，单调递减区间是(1
8、2a,1)（3）此时f(x)=13x3x23x,而f(x)=x22x3,于是 M(1,53)，N (3,9)根据性质二，该公共点为三次函数 f(x)图象的对称中心(1,113)注 本题为 2009 年高考福建卷文科数学第 21 题（压轴题）练习 2、根据题意，x=0 为 f(x)的导函数f(x)=3x2+2bx+c的零点，于是 c=0又 f(2)=0，于是98+4b+d=0,即d=4b8,从而f(x)=x3+bx2(8+4b)=(x2)x2+(b+2)x+2b+4,因此()2=(+)24=(2b)216.另一方面，由 f(x)在(0,2)上是减函数得 f(2)0，即12+4b0,于是可得 b 的取值范围是b1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(,12a)和(1,+)，单调递减区间为(12a,1)；当 a=1 时，函数 f(x)的单调递增区间为 R；当 a1 时，函数 f(x)的单调递增区间为(,1)和(12a,+) ，单调递减区间为(1,12a)（2） t 的最小值为 2，证明从略； m 的取值范围为 (1,3注 本题为 2009 年高考福建卷理科数学第 21 题（压轴题）
