1、圆经典例题分析总结经典例题透析1垂径定理及其应用在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点.应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等.1某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面. (1)请你补全这个输水管道的圆形截面图；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水最深的地方的高度为 4cm，求这个圆形截面的半径.总结升华：在解答有关圆的问题时，常需要运用图中已知条件寻找线段之间、角之间、弧之间的关系，
2、从中探索出如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题的目的，此题还可以进一步求出阴影部分的周长或面积等.举一反三：【变式 1】“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为O 的直径，弦 ABCD 于 E，CE=1 寸，AB=10寸，则直径 CD 的长为( )A12.5 寸 B 13 寸 C25 寸 D26 寸2圆周角及其应用圆周角与圆心角是本章中最常用的角，在中考中经常出现，一般单独考查它的题目不多，都是隐含在其他题目中.2如图所示，ABC 内接于O ，点 D 是 C
3、A 延长线上一点，若BOC=120 ，BAD 等于 ( )A.30 B.60 C.75 D.90举一反三：【变式 1】如图所示，O 的内接四边形 ABCD 中， AB=CD，则图中与1 相等的角有_.【变式 2】如图所示，已知 AB 为O 的直径， AC 为弦，ODBC ，BC=4cm.(1)说明 ACOD ； (2)求 OD 的长.3切线的性质及判定涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别方法、切线的特征以及对切线的应用能力，所以应认真理解有关切线的内容，并能用来解答实际问题.3如图所示，直线 MN 是O 的切线，A 为切点，过 A 的作弦交O 于B、C ，连接 BC
4、，证明NAC=B.举一反三：【变式 1】如图所示，DB 切O 于点 A，AOM=66 ，则DAM=_.【变式 2】如图所示，AB 是O 的直径， 是O 的切线，C 是切点，过 A、B 分别作 的垂线，垂足分别为 E、F，证明 EC=CF.4如图所示，EB 、BC 是O 是两条切线，B 、C 是切点，A、D 是O 上两点，如果E=46，DCF=32，那么A 的度数是_.答案：99.解析：由 EB=EC，E=46 知，ECB= 67，从而 BCD=180 -67-32=81，在O 中，BCD 与A 互补，所以A=180-81 =99.举一反三：【变式 1】 如图所示，已知在ABC 中，B=90 ，
5、O 是 AB 上一点，以 O 为圆心、OB 为半径的圆与 AB 交于点 E，与 AC 切于点 D.求证：DEOC；4两圆位置的判定在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般多以选择题、填空题为主，在解答题、探究题中也经常作为主要考查目标，这部分内容不仅考查基础知识，而且考查综合运用能力.5填空题(1) 已知圆的直径为 13 cm，圆心到直线 的距离为 6cm，那么直线 和这个圆的公共点的个数是_.(2) 两个圆内切，其中一个圆的半径为 5，两圆的圆心距为 2，则另一个圆的半径是_.【变式 2】 已知两圆的圆心距 为 3， 的半径为 1. 的半径为 2，则与 的位置关
6、系为_.【变式 3】 在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3 ，0) 和(0，-4) ，半径分别是 和 ，则这两个圆的公切线有 ( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条5弧长的计算及其应用6如图所示，在正方形铁皮下剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型，设圆的半径为 r，扇形半径为 R，则圆的半径与扇形半径之问的关系为( )A. B. C. D.6图形面积的计算及其应用与圆有关的图形面积计算问题有圆的面积、扇形面积、圆柱及圆锥的侧面积与全面积.考查题型以选择题、填空题、解答题为主，考查重点是对有关公式的灵活运用. 其中是不规则图形面积的计算，应首先将
7、其转化为规则图形，然后再进行.7沈阳市某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为 12cm 的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A. B.72 C.36 D.727圆与其他知识的综合运用8如图所示，已知灯塔 A 的周围 7 海里的范围内有暗礁，一艘渔船在 B 处测得灯塔 A 在北偏东 60的方向，向正东航行 8 海里到达 C 处后，又测得该灯塔在北偏东 30的方向，渔船如果不改变方向，继续向东航行，有没有触的礁危险？思路点拨：若渔船在向东航行的过程中的每一位置到 A 点的距离都大于 7 海里，则不会进入危险
8、区域，所以只要计算航线上到 A 点最近的点与 A 点的距离.解：过点 A 作 ADBC 交直线 BC 于 D，设 AD=x 海里. ABD=90 -60=30，ACD=90 -30=60， AB=2x，AC=2CD. ， ， . ， ， .即 .这就是说当渔船航行到点 D 时，在以 A 为圆心、以 7 海里为半径的圆形暗礁内.所以，若不改变航向继续向正东航行，有触礁的危险.总结升华：解这类实际问题，只需求其最小值或最大值，与已知数据进行比较，从而得出正确的结论.9小明要在半径为 1 m、圆心角为 60的扇形铁皮中剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮，小明在扇形铁皮上设计如图 1 和图 2 所示的甲
9、、乙两种剪取方案，请你帮小明计算一下，按甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积，并估算哪个正方形的面积较大.(估算时 取 1.73，结果保留两个有效数字).思路点拨：要比较甲、乙两方案剪取的正方形的面积大小，关键在于求出边长.解：方案甲：如图，连接 OH，设 EF=x，则 OE=2OF， .在 RtOGH 中，OH 2=GH2+OG2， 即 ，解得 .方案乙：如图所示，作 于 M，交 于 N，则 M、N 分别是 和 的中点， ，连接 .设 ，则 ，在 中，即 ， .若取 ，则 ， . x2y2，即按甲方案剪得的正方形面积较大.总结升华：此类问题是生活中的一个实际问题，解决此类问题时，应先将实际问
10、题转化为数学问题.10已知射线 OF 交O 于 B，半径 OAOB，P 是射线 OF 上的一个动点(不与 O、B 重合)，直线 AP 交 O 于 D，过 D 作O 的切线交射线 OF 于 E.(1) 如图所示是点 P 在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点 P 在圆外移动时符合已知条件的图形 .(2) 观察图形，点 P 在移动过程中，DPE 的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与 DPE 的边、角或形状有关的规律.(3) 点 P 在移动过程中，设 DEP 的度数为 x，OAP 的度数为 y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围 .思路点拨：如图所示，连接 OD，因为 DE 是O 的切线，故 ODE=90，又OA=OD，故A=ODA，OAP+ OPD=90，ODA+ADC=90，故 OPD=ADC=EDP ，DEP 是等腰三角形.解：(1) 在 BF 上取点 P，连 AP 交O 于点 D，过 D 作O 切线，交 OF 于 E，如图即为所求.(2) EDP=DPE ，或 ED=EP 或PDE 是等腰三角形 .(3) 根据题意，得PDE 是等腰三角形， EDP=DPE， ，在 RtOAP 中， ， ，自变量 x 的取值范围是 且 .
