1、1二次函数难点总结知识点利用二次函数解决实际问题 由于抛物线的顶点总是抛物线的最高点或最低点,故在顶点处函数取最大值或最小值,因此对于某些与二次函数有关的牵涉到最大(小)值的实际问题,我们可将实际问题抽象为二次函数的数学模型,求出二次函数的解析式,借助最值求法解决实际问题.求解此类问题的一般步骤如下:(1)列出二次函数解析式;(2)结合实际意义,确定自变量的取值范围;(3)求二次函数的最大值或最小值;(4)解决实际问题.拓展点一求自变量的取值有一定范围的二次函数的最值例 1 已知二次函数的图象 y=ax2+bx+c(0x3)如图所示 .关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是( )
2、A.有最小值 0,有最大值 3B.有最小值 -1,有最大值 0C.有最小值 -1,有最大值 3D.有最小值-1,无最大值例题 1 为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克 20 元,市场调查发现,该产品每天的销售量 y(千克)与销售价 x(元/ 千克)有如下关系:y=-2x+80. 设这种产品每天的销售利润为 w 元.(1)求 w 与 x 之间的函数解析式 .(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?分析:(1)根据销量乘以每千克利润等于总利润进而得出答案;(
3、2)利用二次函数最值求法得出 x=-b/2a 时,w 取到最值,进而得出答案.2拓展点利用二次函数确定最大利润问题例 3 某商店如果将进货价为 8 元的商品按每件 10 元售出,每天可销售 200 件,现在采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨价 0.5 元,其销量就减少 10 件.(1)要使每天获得利润 700 元,请你帮忙确定售价;(2)问售价定在多少时能使每天获得的利润最多? 并求出最大利润.解:(1)设每件商品涨价 x 元 ,则每件利润为(10+x-8)=(x+2) 元,每天销售量为(200-20x)件,依题意,得(x+2)(200-20x)=700.整理得 x2-8
4、x+15=0,解得 x1=3,x2=5.把售价定为每件 13 元或 15 元能使每天利润达到 700 元.答:把售价定为每件 13 元或 15 元能使每天利润达到 700 元.(2)设应将售价定为 x 元时,才能使每天获得的利润最大为 y 元,根据题意得 y=(x-8) =-20x2+560x-3 200=-20(x2-28x)-3 200=-20(x2-28x+196)-3 200+20196=-20(x-14)2+720,x=14 时,y 最大 ,最大值为 720.答:应将售价定为 14 元时,才能使每天获得的利润最大 ,最大利润为 720 元.拓展点利用二次函数解答运动路线或运动距离问题
5、例 4 立定跳远时,以小明起跳时重心所在竖直方向为 y 轴(假设起跳时重心与起跳点在同一竖直方向上),地平线为 x 轴,建立平面直角坐标系(如图),则小明此跳重心所走过的路径是一条形如 y=-0.2(x-1)2+0.7 的抛物线 ,在最后落地时重心离地面 0.3 m(假如落地时重心与脚后跟在同一竖直方向上 ).3(1)小明在这一跳中,重心离地面最高时距离地面多少米?此时他离起跳点的水平距离有多少米?(2)小明此跳在起跳时重心离地面有多高?(3)小明这一跳能得满分吗?(2.40 m 为满分)解:(1)y=-0.2(x-1)2+0.7,(2)当 x=0时 ,y=-0.2(0-1)2+0.7=0.5
6、, 小 明 此 跳 在 起 跳 时 重 心 离 地 面 有 0.5 m高 . (3)当 y=0.3时 ,0.3=-0.2(x-1)2+0.7, 解 得 x1=1-2(舍 去 ),x2=1+2, 小 明 的 成 绩 为 (1+2)m. 1+22.4, 小 明 这 一 跳 能 得 满 分 . 拓展点利用二次函数解决方案选择问题例 5 某超市计划上两个新项目:项目一:销售 A 种商品,所获得利润 y(万元)与投资金额 x(万元)之间存在正比例函数关系 y=kx.当投资 5 万元时,可获得利润 2 万元;项目二:销售 B 种商品,所获得利润 y(万元)与投资金额 x(万元)之间存在二次函数关系 y=a
7、x2+bx.当投资 4 万元时,可获得利润 3.2 万元;当投资 2 万元时,可获得利润 2.4 万元.(1)请分别求出上述的正比例函数解析式和二次函数解析式;(2)如果超市同时对 A,B 两种商品共投资 12 万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案获得的最大利润是多少解:(1)销售 A 种商品,所获得利润 y(万元) 与投资金额 x(万元)之间存在正比例函数关系 y=kx,当投资 5 万元时,可获得利润 2 万元,yA=0.4x.销售 B 种商品,所获得利润 y(万元)与投资金额 x(万元)之间存在二次函数关系y=ax2+bx,当投资 4 万元时,可获得利润 3.2 万元
8、,当投资 2 万元时,可获得利润 2.4 万元, 3.2=16+4,2.442,解 得 =-0.2,1.6, yB=-0.2x2+1.6x. 4(2)设投资 B 种商品 x 万元,则投资 A 种商品(12-x) 万元.由(1)可知所获得的利润 W=-0.2x2+1.6x+0.4(12-x)=-0.2(x-3)2+6.6.当 x=3 时,W 取最大值.投资 A,B 两种商品的金额分别为 9 万元,3 万元, 可获得最大利润 6.6 万元.例 2 把一张边长为 40 cm 的正方形硬纸板,进行适当的裁剪,折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).(1)如图,若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小
9、的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.要使折成的长方体盒子的底面积为 484 cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由.(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.若折成的一个长方体盒子的表面积为 550 cm2,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况). 解:(1)设剪掉的正方形的边长为 x cm,则(40-2x)2=484,即 40-2x=22,解得 x1=31(不合题意,舍去),x
10、2=9.答:剪掉的正方形的边长为 9 cm.侧面积有最大值,设剪掉的小正方形的边长为 a cm,盒子的侧面积为 y cm2,则 y 与 a 的函数关系为 y=4(40-2a)a,即 y=-8a2+160a=-8(a-10)2+800,-80,y 有最大值,即当 a=10 时,y 最大=800,即当剪掉的正方形的边长为 10 cm 时,长方体盒子的侧面积最大为 800 cm2.(2)设长方体盒子的高为 x cm,则长为 40-2x,宽为 20-x,表面积为 2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550,解得 x1=-35(不合题意,舍去 ),x2=15,即长方体盒子的高为 15 cm,则长为 40-2x=40-215=10(cm),宽为 20-x=20-15=5(cm),此时长方体盒子的长为 10 cm,宽为 5 cm,高为 15 cm.
