1、初中二次函数知识点总结一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 2yaxbca，0a这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零二次函数的定义域是全0bc，体实数2. 二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项bc， bc二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性质：2yaxc上加下减。3. 的性质：2yaxh左加右减。的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
2、 性质0a向上 0，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大xx值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 c向下 ，轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大x0x值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0h，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 04. 的性质：2yaxhk三、二次函数图象的平
3、移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax，2. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”hk概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： 沿 轴平移: 向上（下）平移 个单位， 变成cbxay2ymcbxay2（或 ）mcbxa2 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成cxy2 cxy2（或 ）ba)()( mxbxy)()(2四、二次函数 与 的比较2yaxhk2ac从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前yxb者
4、，即 ，其中 224bacyax 242achk，五、二次函数 图象的画法2yxbc0a向下 0h，X=h 时， 随 的增大而减小； 时，xhyxxh随 的增大而增大； 时， 有最大y值 0的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 k向下 ，X=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大yxxh值 五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、2yaxbc2()yaxhk对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与
5、轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与y0c，0c， h， 102x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.x画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.xy六、二次函数 的性质2yaxbc1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 0 2bxa24bac，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最2bxayxyx2bxay小值 4c2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 当 时，0a 2bxa24bac，2bxa随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 yx
6、2bxay2xy4c七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2yaxbcbc0a2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；()hkahk3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.12x01x2x注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析4bc式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 中， 作为二次项系数，显然 2yxbca0a 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小
7、，反之 的值越小，开口越大；0 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大a总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大aa小2. 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴ab 在 的前提下，0当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；02y当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；ba当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧0b02ay 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；0b02ay当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧总结起来
8、，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是abax2y0aby0ab“左同右异”总结：3. 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；0yxy 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； 0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置c总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的ab，二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式
9、必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 轴对称x关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yabcx 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；xhk hk2. 关于 轴对称y关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2abcy 2yaxbc关于 轴对称后，得到的
10、解析式是 ；yxhk hk3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是 ；2abc 2yaxbc关于原点对称后，得到的解析式是 ；2yaxhk 2yaxhk4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）关于顶点对称后，得到的解析式是 ；2bc22bca关于顶点对称后，得到的解析式是 yaxhk yaxhk5. 关于点 对称 mn，关于点 对称后，得到的解析式是2yaxhkn， 2yaxhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不a变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式
11、已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：x一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况.20axbc2yabc0y图象与 轴的交点个数： 当 时，图象与 轴交于两点 ，其中的 是一元二次24x120AxB， ， ， 12()x12x，方程 的两根这两点间的距离 . 20axbca214bac 当 时，图象与 轴只有一个交点； x 当 时，图象与 轴没有交点 .当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；10ax0y当 时，图象
12、落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 2 x 2. 抛物线 的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ， ； 2yaxbcy(0)c3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；x 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二次函数中 ， ， 的符2yaxbcabcabc号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的x一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式
13、 本身就是所含字母 的二次函数；2(0)axbc下面以 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0a二次函数图像参考：抛物线与 轴有x两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与 轴只有一个交点二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与 轴无x交点二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y= -x2y= -x22y=2x2-4y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2 y=-2(x-3)2y=-2x2
