1、二次函数与几何综合典题题例 1已知抛物线 的顶点坐标为（3，-2） ，且与 轴两交点间的距)0(2acbxy x离为 4，求其解析式。例 2.已知二次函数 的图像与 轴交于不同的两点 A、B，点 A 在)0(2acbxyx点 B 的左边，与轴交于点 C，若AOC 与BOC 的面积之和为 6，且这个二次函数的图像的顶点坐标为（2，-a） ，求这个二次函数的解析式。例 3.已知二次函数 的图像过点 E（2，3） ，对称轴为 1，它的)0(2acbxy x图像与 轴交于两点 A 。x 10,),0(2121 xB且（1）求二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点 P，使POA 的面积等于
2、EOB 的面积？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。例 4.如图，抛物线 与 轴、 轴分别相交于 A（-1 ，0） 、)0(2acbxyxyB（3，0） 、C(0，3)三点，其顶点为 D。（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）求四边形 ABDC 的面积；（3）试判断BCD 与COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似请说明理由。例 5：如图，已知抛物线 的图像与 X 轴交于 A、C 两点。4:21xyl（1）若抛物线 与 关于 轴对称，求 的解析式；2l 2l（2）若点 B 是抛物线 上一动点（ B 不与 A,C 重合） ，以 AC 为对角线，A ，B ，C 三
3、点为1顶点的平行四边形的第四个顶点记为 D，求证：点 D 在 上；2l（3）探索：当点 B 分别位于 在 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形 ABCD 的面1lx积是否存在最大值或最小值？若存在，判断它们是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。例 6.如图，已知： ， 是方程 的两个实数根，且 ，抛物线mn0562xmn的图像经过点 A（ ，0） 、B（0， ） 。cbxy2 n（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与 轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为 D。试求出点 C、D 的坐x标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上一点，过点 P 作 PH 轴，与抛
4、物线交于 H 点，若直线 BC 把xPCH 分成面积之比为 2：3 的两部分，请求出 P 点坐标。答案：1根据题意得： ， ，32ab24b。联立以上三式得： ， ，4)()(2212121 acxxx 21a3b。抛物线解析式为： 。5c 532xy另解：由顶点坐标（3，-2）可知，对称轴为： ，又与 x 轴两交点间的距离为 4，两交点坐标分别为（1,0） 、 （5,0） 。设表达式为 ，代入顶点坐标得：)5(1ay，解得： ， 。)53(12a21a232x2.顶点坐标（2，-a）代入顶点坐标公式得：， （太好了，一箭三)3(1)4(34)(22 xaxxy雕！） ，点 A、点 B 的坐标
5、分别为：（1,0） 、 （3,0） ，AB=2.c3 ， ，62a1这个二次函数的解析式为 。343422xyxy或3 （1）由题意知： ， ，cba431a又 。0)(2)(2112cxx联立式可得： ，解析式为：3, 32xy（2）存在这样的点 P。由（1）可知 ，4)1()(22 xy点 A 的坐标为（ ） ，点 B 的坐标为（3，0） ，顶点坐标（1，4） 。,设点 P 的坐标为（t ， ） ，则POA 的高为 ，底边 OA=1。2t 2tEOB 的底边为 3，高为 3，EOB 的面积= 。93令 ，29122t ，94， = ，解得： 。t 2t9131或t点 P 的坐标为（ ， ）
6、或（ ， ）.13134 （1）设抛物线的解析式为 ，代入点 C 的坐标（0，3）得：)(xay，解得： 。解析式为 。)10(3a1a 32)1(3xxy（2）由（1）可知 ，点 D 的坐标为（1,4）.4)1(322xxy作 DEAB，垂足为 E，则点 E 的坐标为（1,0） 。四边形 ABDC 的面积= 。9212）（梯 形 BDOCASS（3）BCD 与COA 相似。理由如下：由 A、B、C 、 D 四点的坐标可得：OA=1，CO=3，CA= ；1032BC= ，CD= ，2322)4(BD= 。 ，BCDCOA。54)13(2OACDB5 （1） 与 关于 x 轴对称， 。2l )(
7、2xy（2）设点 B 的坐标为（ ） ，四边形 ABCD 为平行四边形，点 A、C 关于4,2m原点 O 对称，点 B 和点 D 关于原点 O 对称，点 D 的坐标为（ ） 。代4,2m入 的表达式可知左边等于右边，点 D 在 上。2l 2l（3）点 A、C 是抛物线 与 x 轴的交点，点 A、C 的坐标分别为42y（ ）和（2,0） ，AC=4. 平行四边形 ABCD 的面积=2ABC 的面积=0,。142y当点 B 在 x 轴上方时， ， 随 的增大而增大，14ySABCD四 边 形 ABCDS四 边 形 1y此时 既没有最大值也没有最小值；ACDS四 边 形当点 B 在 x 轴下方时，
8、，且 ， 随 的增大1yABCD四 边 形 01yABCDS四 边 形 1y而减小， 有最大值没有最小值。当 取最小值 时， 有最大ACD四 边 形 4四 边 形值，最大值为 16；此时点 B、 D 在 轴上，ACBD，平行四边形 ABCD 是菱形。综上所述，当点 B 在 x 轴下方时，平行四边形 ABCD 有最大面积 16，此时的四边形为菱形。6 （1）解方程 得： ，m n，05625,12x ，点 A、B 的坐标分别为（1，0） ， （0，5） 。把 A、B,nm的坐标代入 得： 解这个方程组，得 ，cbxy2501cb5,4cb抛物线的解析式为 。42（2）由（1）知 ，点 D 的坐标
9、为（ ） ，抛物9)2(xxy 92，线对称轴为直线 ，点 C 的坐标为（ ） 。05，由点 B、C 的坐标可知直线 BC 的表达式为 ，过点 D 直线 DE，交直线 BCy于点 E（如图 1） ，则点 E 的坐标为（ ） ，线段3,2DE=6，BCD 的面积= .156)(2CBxD（3）如图 2，设点 P 的坐标为（t，0） ，则点 H 的坐标为（t， ） ，若 HP 与直线 BC 交于点 F，点 F 的坐标54t为（t，t+5） 。若 ，则 ，3:2:PCFHS PCHPCS 53即 ， ，PFC215321 )4(52tt解得： ；若 ，则 ，（ 舍 去 ）,1tt :3:PCFH PCHPCFS 52，解得： 。)4(2（ 舍 去 ）,231tt综上所述，若直线 BC 把PCH 分成面积之比为 2：3 的两部分，则点 P 的坐标为（）或（ ）0,3,
