1、一元一次方程专题总结 本章的内容是等式和它的性质、方程和它的解、一元一次方程的解法及其应用。其中一元一次方程的解法及其应用是本章的主要内容。 思想方法总结 1化归方法 所谓化归的思想方法，是指在求解数学问题时，如果对当前的 问题感到困惑，可把它先进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，从而使问题得以解决的思维方法。如本章解方程的过程，就是把形式比较复杂的方程，逐步化为最简方程 ax b(a 0)，从而求出方程的解 x 。 2分析法和综合法 分析法是从未知， 看已知，逐步推向己知，即由果索因；综合法是从已知，看未知，逐步推向未知，即由因索果，研究数学问题时，一般总是先分析，在分析的基础上
2、综合。列方程解应用题就是运用了这种分析和综合的思想方法。 3方程思想方法 方程思想方法是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算。这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志。本章列方程解应用题，是方程思想的具体应用。 学习方法总结 如何检验一个数是否是某个方程的解，是必须掌握的最基本的技能技巧。 检验某个给定 的数是否为某方程的解，只要将该数代入方程，看能否使方程左、右两边相等，这种方法是一种重要的数学思想方法和解题方法，今后我们在学习二元一次方程及方程组、一元二次方程、分式方程、无理方程等方程中，都可以用这种方法检验一个数 (或一对数 )是否是某个方程 (
3、或方程组 )的解。利用这种方法还可以检查所求的方程的解是否正确，从而检验自己的运算能力。 注意事项总结 1通过本章的学习，可以体会到对于解方程和列方程解应用题，代数解法具有居高临下、省时省力的优点。所以，今后要从算术解法转到习惯于代数解法。 2不要死记硬背例题题型和解法，而要努力学会分析问题的本领。为此要适当做一些与例题不同类的题，通过老师的指导，自己去进行分析并解决它们。 3要注意检验求得的结果是不是方程的解，方程的解是不是符合应用题题意的解。如果方程有解，但这个解不符合应用题题意，我们就说这道应用题无解。一般说来，违背实际情况的应用题都是无解的。 4在解一元一次方程时，要灵活安排各个步骤的
4、次序 (不一定每个步骤都要用到 )，这样往往可使计算简便。在整个求解过程中，要注意避免去分母、去括号、移项时易犯的错误。在整个初学阶段，最好把 方程的解代入方程进行检验。 综合题目举例 例 1 已知式子 -2y- +1 的值是 0，求式子 的值。 分析： 由 -2y- +1 的值是 0，可得方程，从而求出 y 的值，再把 y 的值代入所求式子中即可。 解： 由题意，得 -2y- +1=0 解这个方程，得 y=2, 当 y=2 时， 。 说明： 本题是利用方程来解决求另一式子的值的问题，故解方程的过程不必全部写出来。 例 2 已知方程 4x=-8 的解也是关于 x 的方程 x=1+k 的解，求式
5、子 的值。 分析： 从已知方程 4x=-8 中，求 出 x 的值，把 x 的值代入 x=1+k 中，求出 k 的值，再把 k的值代入所求式子中。 解： 解方程 4x=-8, 得 x=-2. 把 x=-2 代入 x=1+k, 得 -2=1+k, k=-3. 当 k=-3 时， 。 例 3 有一列客车长 190 米，另有一列货 车长 290米。客车的速度与货车的速度比为 5 3，已知它们同向行驶时，两车交叉时间为 1 分钟，问它们相向行驶时，两车交叉的时间是多少 ? 分析： 此题属于应用题中的难题，难在相等关系在题目中有一定的隐蔽性，不易找准，为充分弄清题意，我们按同向行驶和相向行驶两种过程来进行
6、分析： (1)同向行驶时，客车利用与货车交叉的时间 (1 分钟 )赶超货车，这期间客车的车尾走了两个车长，实际上客车上的每一部分都走了两个车长，即客车走了 (190+290)米。同向行牧时，两车的前进方向相同，所以速度应取两车的合成速度 (速度之差 ) 相等关系是：路程速度时间 (2)相向行驶时，两车对开，客车所走的路程仍是两个车长 (190+290)米，但这时两车的合成速度是两车的速度之和。 相等关系是：路程速度时间 按题目要求是求时间，所以 时间路程速度 解： 设客车的速度是 x米分，则货车的速度是 x 米分， 根据题意，得 解这个方程，得 x 1200 x=720. 所以相向行驶时，两车
7、交叉的时间为 (190+290) (1200+720)= (分 ) 答：两车相向行驶时， 交叉的时间是 15秒。 注意： （ 1）所设未知数的单位名称是“米 /分”，对列方程很有利。 （ 2）列出方程如写成 x- x=480 就不合理了，这实际上是在方程中没有完整体现已知条件。 （ 3）题目中有两个相等关系，要注意区别，它们一个是用于列 方程；另一个是用于列算式求时间的，所起的作用不同。 例 4 一个六位数，如果它的前三位数与后三位数的数字完全相同，顺序也完全相同，求证：7、 11、 13 必为此六位数的约数。 分析： 要求证出六位数是 7、 11、 13的约数，只要证出这个六位数是一个能被
8、7、 11、 13整除的数与一个整数的积即可。 证明： 设该六位数为 100000x+10000y+1000z+100x+10y+z 即为： 1001(1000x+10y+z) 1001 分别能被 7、 11、 13整除，故该六位数也分别能被 7、 11、 13整除。 例 5 一项工程，甲队独做 10 小时完成，乙队独做 15小时完成，丙队独做 20小时完成，开始时三队合做，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，从开始到工程完成共用了 6 小时，问甲队实际做了几小时？ 分析： 此题是工程问题，题中没有给出总工作量，故看做整体 1，题中叙述了开始时三队合做，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，则有
9、相等关系如下： 甲、乙、丙合作的工作量 +乙、丙合作的工作量 =1。甲、乙、丙合作的工作量是( )x，乙、丙合作的工作量是（ ）（ 6-x），由题意，得 ( )x+( )(6-x)=1 解得 x=3. 答：甲队实际工作了 3 小时。 注意： 甲队实际工作的时间就是甲、乙、丙合作的时间，完成任务的时间是 6 小时，乙、丙合作就用了 (6-x)小时。 综合检测题 （时 间： 45分钟 满 分： 100分） 一、填空题： （每小题 4 分） 1当 x=_时，式子 的值为 0？ 2若 x=1是方程 2x-a=7的解，则 a=_。 3在等式 3y-6=5两边同时 ，得到 3y=11。 4已知三个数的比是
10、 2： 3： 7，这三个数的和是 144，则这三个数为 _。 5若 3x:2=4 :0.8，则 x=_。 6某化肥厂第一季度和第二季度共生产化肥 4300吨。已知第二季度比第一季度增长 15%，则第一季度的产量是 _。 二、选择题： （每小题 4 分） （ 1）方程 的解 为（ ）。 A、 0 B、 1 C、 2 D、 -2 （ 2）方程 2m+x=1和 3x-1=2x+1是同解方程，则 m 的值为（ ） A、 0 B、 1 C、 -2 D、 - （ 3）若使方程 (m+2)x=n-1 是关于 x 一元一次方程，则 m 取值 是（ ）。 A、 m -2 B、 m 0 C、 m 2 D、 m2
11、（ 4） ax-b=0, (a 0), a,b 互为相反数，则 x 等于（ ）。 A、 1 B、 -1 C、 -1 和 +1 D、任意有理数 （ 5） ax-b=bx-a(a b)时 x 等于（ ）。 A、 0 B、 -1 C、 +1 D、任意有理数 （ 6）在下列方程中，解为 x=2的是（ ）。 A、 3x=x+3 B、 -x+3=0 C、 2x=6 D、 5x-2=8 （ 7）水结成冰体积增大 ，冰化成水体积减少（ ）。 A、 B、 C、 D、 （ 8）甲池有水 xm3，乙池有水 ym3，甲池每分钟流入乙池 zm3, n 分钟两池水水量相等，则 n 等于（ ）。 A、 B、 C、 D、 （
12、 9）在 800米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑 320米，乙每分钟跑 280米，两人同时同地同向出发跑， t 分钟后第一次相遇 ,t等于（ ）。 A、 10分 B、 15分 C、 20分 D、 30分 （ 10）在梯形面积公式 S= (a+b)h中，已知 S=24cm2, a=3cm, h=6cm, 则 b=( )cm。 A、 1 B、 5 C、 3 D、 4 三、解方程 （每小题 6 分） 1. =1 2. (x-1) 30%-(x+2) 20%=2 3. 21- (x- )=3 四、列方程解应用题： （每小题 9 分） 1甲车在早上 5 时以每小时 32千米的速度由 A 地向 B 地行
13、驶， 6 时 30分钟乙车才开始出发，结果在 9 时 30分时乙车追上了甲车，问乙车的车速是多少？ 2一水池安有甲、乙、丙三个水管，甲独开 12小时注满水池，乙独开 8 小 时注满水池，丙独开 24小时可排掉满池的水，如三管齐开多少小时后，刚好水池的水是满的？ 答案： 一、 1. 解： 由题意，得 =0，解方程得 x= 。 2分析： 因为 x=1是方程 2x-a=7的解，所以 x=1满足 2x-a=7，把 x=1代入 2x-a=7，从而求得 a 的值。 解： 把 x=1代入 2x-a=7中， 2 1-a=7, a=-5。 3分析： 根据等式的基本性质 1，加上 6。 4分析： 因为 2 3 7
14、 是三个数的比，所以可设每份为 x。 解： 设每份为 x，则三个数分别为 2x, 3x,7x, 2x+3x+7x=144, 解得 x=12。 2x=24, 3x=36, 7x=84, 这三个数为 24， 36， 84。 5分析： 根据内项之积等于外项之积，得关于 x 的一元一次方程，即 2.4x=9, x= 。 6分析： 设第一季节产量是 x 吨，第二季节 (1+15%)x 吨，第一季度产量 +第二季度产量 =4300。 解： 设第一季度产量是 x 吨， x+(1+15%)x=4300 x=4300 x=2000。 第一季节的产量是 2000吨。 二、 （ 1）解： 去分母，得 3x-2(x-
15、1)=3 3x-2x+2=3 x=1, 选 B。 （ 2）分析： 因为 2m+x=1和 3x-1=2x+1是同解方程， 所以的解 x=2满足， 2m+2=1, m=- ,选 D。 （ 3）分析： 根据一元一次方程概念 ax=b(a 0),所以 m+2 0, m -2，选 A。 （ 4）分析： 由 a,b互为相反数，可得 a=-b。 ax-b=0, ax=b, x= , x= =-1, 选 B。 （ 5）解： ax-b=bx-a ax-bx=b-a (a-b)x=-(a-b) , x=-1，选 B。 （ 6）解： 把 x=2分别代入每个方程进行检验，选 D。 （ 7）分析： 1 升水结成冰后，体
16、积增大 升，此时冰的体积为 (1+ )升（把 1 升水的体积看作整体 1），设 1 升冰化为水后 为 x 升，则 1:( 1+ )=x:1，解得 x= 升，故体积减少为 1- = 升，故选 C。 （ 8）分析： 甲池有水 xm3, n 分流出 nzm3， n 分后甲池剩水 (x-nz)m3, 同样， n 分钟后乙池水为 (y+nz)m3。 相等关系为： n 分钟两池水量相等。 解： 依题意，得 x-nz=y+nz 解得 n= , 选 C。 （ 9）分析： 由两人同时同地同向出发跑，七分钟后第一次相遇可得：甲 t 分钟跑的路程一乙 t 分钟跑的路程 =800 解： 依题意得 320t-280t=
17、800 解得 t=20分，故选 C。 （ 10）分析： 把 S,a, h 的值代入公式 S= (a+b)h中，求出 b 的值。 解： 依题意，得 24= (3+b) 6 ，解得 b=5，选 B。 三、解方程 1解： 去分母，得 2(2y-5)+3(3-y)=12 去括号，得 4y-10+9-3y=12, 移项，合并，得 y=13。 2解： (x-1) -(x+2) =2, 去分母，得 30(x-1)-20(x+2)=200 去括号， 30x-20-20x-40=200, 移项，合并，得 10x=270, x=27。 3解： 去中括号，得 2- (x- )= (2x- ) 去小括号，得 2- ,
18、 去分母，得 36-12x+4(x+1)=9x-54x+90-63x 100x=50 x= 。 四、列方程解应用 题 1. 甲车 5 时出发，乙车 6 时 30分出发，说明甲车先走了 1 小时；结果在 9 时 30分乙车追上甲车，说明乙出发 3 小时后追上甲车，若设乙车的速度为 x 千米 /时，则乙行驶的路程为 3x千米，甲车先走 1 小时的路程为 1 32千米，乙出发后，甲车走的路程为 3 32千米。此题相等关系为：甲 1 小时的路程 +甲 3 小时的路程 =乙 3 小时的路程 （如图）。 解： 设乙车的速度为 x 千米 /时，依题意，得 1 32+3 32=3x。 解得 x=48。 答：乙车的速度为 48千米 /时。 2分析： 若把满池水看作总工作量 1，则甲的工作效率为 ，乙为 ，丙为 ，相等关系为：注入的水一排掉的水 =1。 解： 设三管齐开 x 小时后，刚了水池的水是满的依题意，得 , 解得 x=6。 答：三管齐开 6 小时后，刚好水池的水是满的。
