1、0二次函数知识点总结及典型例题讲解一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果 ，那么 y 叫做 x 的二次函数。)0,(2 acbaxy是 常 数 ，叫做二次函数的一般式。),(2cbax是 常 数 ，2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。abx2抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线 与坐标轴的交点：cbxay2当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到
2、点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、 M、 D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式： )0,(2 acbaxy是 常 数 ，（2）顶点式： )(kh是 常 数 ，（3）当抛物线 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程 有实根cxy2 02cbxa和 存在时，根据二次三项式的分解因式 ，二次
3、函数1x2 )(212xacbxa可转化为两根式 。如果没有交点，则不能这样表示。cbay )(21xay三、二次函数的性质 11、二次函数的性质函数二次函数 )0,(2 acbaxy是 常 数 ，a0 a 时，ab2y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当 x= 时，y 有最小值， abcy42最 小 值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x= ，顶点坐标是ab2（ ， ） ；abc4（3）在对称轴的左侧，即当 x 时，y 随 xab2的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x= 时，y 有最大值， abcy42最 大 值2、二次函数
4、中， 的含义：)0,(2 acbaxy是 常 数 ， cb、表示开口方向： 0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；2当 0 时，图像与 x 轴没有交点。补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点 A 坐标为（x 1，y 1）点 B 坐标为（x 2，y 2） 则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为 y 211yAxB 02、函数平移规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减四、二次函数的最值 如果自变量的取值
5、范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当 时，abx2。abcy42最 值如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围 内，若21xab221x在此范围内，则当 x= 时， ；ab2abcy4最 值若不在此范围内，则需要考虑函数在 范围内的增减性，21x如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当 时， ，当 时，cbxay2最 大 1x；cbxa12最 小如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，则当 时， ，当 时，1xcxy12最 大 2x。cx2最 小典型例题1. 已知函数 ，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值为（ ）2135
6、xyA0 B1 C2 D3【答案】D2. 如图为抛物线 的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且yaxbcOA=OC=1，则下列关系中正确的是 Aab= 1 B ab= 1 C b2a D ac0 3【答案】B3. 二次函数 的图象如图所示，则反比例函数 与一次函数 在同一坐标系中的2yaxbc ayxybxc大致图象是（ ）.【答案】D4. 如图，已知二次函数 的图象经过点（1，0） ， （1，2） ，当 随 的增大而增大时，cbxy2 yx的取值范围是 xxyO1（1,-2）cb2-1【答案】 1x5. 在平面直角坐标系中，将抛物线 绕着它与 y 轴的交点旋转 180，所得抛物线的解
7、析式（ 23yx） A B C D2(1)yx2(1)42(1)x2(1)4yx【答案】B6. 已知二次函数 的图像如图，其对称轴 ，给出下列结果 cbxay2 acb20b ，则正确的结论是（ ）02ba0c0A B C D 【答案】 D7抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表：2yaxbcxyx 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与 轴的一个交点为（ 3,0） ； 函数 的最大值为 6；x 2yaxbc抛物线的对称轴是 ； 在对称轴左侧， 随 增大而增大12【答案】8. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A
8、 的坐标是（2，4） ，过点 A 作 ABy 轴，垂足为4B，连结 OA(1)求 OAB 的面积；(2)若抛物线 经过点 A2yxc求 c 的值；将抛物线向下平移 m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB 的内部（不包括OAB 的边界） ，求 m 的取值范围（直接写出答案即可） 解：(1) 点 A 的坐标是（ 2，4） ，AB y 轴，AB=2，OB4， 1124OABS(2)把点 A 的坐标（2 ，4）代入 ，yxc得 ，c4()() ，22(1)yxx抛物线顶点 D 的坐标是(1，5)，AB 的中点 E 的坐标是（1，4） ，OA 的中点 F 的坐标是（ 1，2） ，m 的取值范围为
9、 lm39已知二次函数 y= x 2+ x 的图像如图14 32（1）求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 x 轴、y 轴的交点分别为A、B、C 三点，若 ACB=90，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为 M，以 AB 为直径，D 为圆心作D ，试判断直线 CM 与D 的位置关系，并说明理由解：（1）二次函数 y=- x2+ x 的对称轴为 x=3，D（3，0） 14 325（2）设抛物线向上平移 h 个单位（h0） ，则平移后的抛物线解析式为 y=- x2+ x+h14 32ACB=90，OC 2=OAOB
10、设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x 2，则 h2=- x1x2x1、x 2 是一元二次方程- x2+ x+h=0 的两个根，14 32x1x2=-4h，h 2=4h，h=4，抛物线的解析式为 y=- x2+ x+414 32（3）CM 与D 相切，理由如下：连结 CD、CM，过点 C 作 CNDM 于点 D，如下图所示：AB 是 D 的直径， ACB=90，点 C 在 D 上根据平移后的抛物线的解析式 y=- x2+ x+4 可得：OD=3，OC =4，DM = ，CD=514 32 254CN=3，MN= ， CM= CM= ，CD=5，DM= ，94 154 154 254CDM 是直
11、角三角形且 DCM=90，CM 与D 相切10. 如图 10，在平面直角坐标系 xOy 中，AB 在 x 轴上，AB10，以 AB 为直径的O 与 y 轴正半轴交于6点 C，连接 BC，AC.CD 是 O的切线，AD CD 于点 D，tan CAD ，抛物线 过21cbxay2A，B，C 三点.（1）求证：CAD CAB；（2）求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点 P，使四边形 PBCA 是直角梯形.若存在，直接写出点 P 的坐标（不写求解过程） ；若不存在，请说明理由.（1）证明：连接 OC.CD 是 O的切线， OCCD A
12、DCD，OC AD，OCACADOCOA，OCACAB， CAD CAB（2） AB 是O的直径，ACB90OCAB，CAB OCB，CAOBCO， OCBA即 tanCAOtanCAD ，OA 2OCOBAC2 1又AB10， ， OC0)210(2OCCOC4，OA8，OB2A（8，0） ，B（2， 0） ，C （0，4） 抛物线 过 A，B，C 三点.c 4cbxay由题意得 ，解之得 ， 04862231ba4231xy设直线 DC 交 x 轴于点 F，易证 AOCADC， ADAO8. 2OCAD， FOCFAD， ADCOF8(BF5)5(BF10)， ， 310B)0,6( 设直
13、线 DC 的解析式为 ，则 ，即mkxy4k43mk 由 得43xy 425)3(14231x7顶点 E 的坐标为 将 代入直线 DC 的解析式 中，)425,3()425,3(E 43xy右边 左边.抛物线的顶点 E 在直线 CD 上)(4311. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是直角梯形，BCAD，BAD= 90，BC 与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC 的中点，A、B 、D 三点的坐标分别是 A（-1，0） ，B ( -1，2)，D( 3，0)，连接 DM，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON，若抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 D、M、N（1）求抛物线
14、的解析式（2）抛物线上是否存在点 P使得 PA= PC若存在，求出点 P 的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与 x 轴的另 个交点为 E点 Q 是抛物线的对称轴上的 个动点，当点 Q 在什么位置时有 最大？并求出最大值。QEC（1）解：由题意可得 M（0，2） ，N（-3，2） ，解得：930cab 1932abcy= 2193x（2）PA= PC ，P 在 AC 的垂直平分线上，依题意，AC 的垂直平分线经过 B（-1，2） ， （1，0） ， 这条直线为 y=x+1 2193解得：， 1xy23xyP1（ ） ， P2（ ） 32,3,2（3）D 为 E 关于对称轴 x=15 对称
15、，CD 所在的直线 y=x+3yQ=45， Q（-15，45） 最大值为 CD= = 个单位/ 秒 C2（3） （ ）, 当 时， 有最大值为 ， 此时 29t 412)239,1(P12如图，抛物线 y= x2+bx2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（一 1，0）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；AB CDOEN Mxy图8判断ABC的形状，证明你的结论；点M (m，0)是x轴上的一个动点，当 CM+DM的值最小时，求 m的值（1）点A（-1，0）在抛物线y= x2 + bx-2上， (-1 )2 + b (-1) 2 = 0，解得b =11 23抛物线的解析
16、式为 y= x2- x-2. y= x2- x-2 = ( x2 -3x- 4 ) = (x- )2- ,331385顶点 D 的坐标为 ( , - ). 85（2）当 x = 0 时 y = -2, C（0，-2） ，OC = 2当 y = 0 时， x2- x-2 = 0， x 1 = -1, x2 = 4, B (4,0)13OA = 1, OB = 4, AB = 5. AB 2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,AC 2 +BC2 = AB2. ABC 是直角三角形.（3）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C，则 C（0，
17、2） ，OC =2，连接 CD 交 x 轴于点 M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD 的值最小设直线 CD 的解析式为 y = kx + n , 则 ，解得 n = 2, .8253nk124k .当 y = 0 时， ， . 214xy 0124x41x4m13. （2011 浙江金华， 10 分）在平面直角坐标系中，如图 1，将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边 OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上，设抛物线 y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点B、C.（1）当 n1 时，如果 a=1，试求 b 的值；（2）当 n2 时，如图 2
18、，在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EFMN，使 EF 在线段 CB 上，如果M，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使得点 B 落到 x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，试求出当 n=3 时 a 的值；直接写出 a 关于 n 的关系式. 解：（1）由题意可知，抛物线对称轴为直线 x= ，12NMF EyxC BAO图 1 图 2 图 3yxCBAO CD = 1.15厘厘 yxC BAOyxOCAB9 ,得 b= 1； 2a（2）设所求抛物线解析式为 ，21yaxb由对称性可知抛物线经过点 B（2，1）和点 M（ ，2）1 解得 1421.ab， 4,38.b所求抛物线解析式为 2413yx（3）当 n=3 时，OC= 1，BC=3，设所求抛物线解析式为 ，2ab过 C 作 CDOB 于点 D，则 RtOCDRtCBD， , 设 OD=t，则 CD=3t，1ODB ， 22 ， ,(3)t 10tC（ ， ）, 又 B（ ，0） ， 1031把 B 、C 坐标代入抛物线解析式，得解得:a= ； 310.0ab， 3 . 2naxyOABCDxyOC EABM NF
