1、新 目 标 教 育咨询电话：0734-8312123 投诉电话：15873442211 - 1 -二次函数题型总结【回顾与思考】 一、二次函数的定义定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx（考点：二次函数的二次项系数不为 0，且二次函数的表达式必须为整式）精典例题：例 1：在下列关系式中，y 是 x 的二次函数的关系式是（ ）A2xy+x2=1 By2-ax+2=0 Cy+x2-2=0 Dx2-y2+4=0考点：二次函数的定义分析：根据二次函数的定义对四个选项进行逐一分析即可，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a 、b、c 是常数，a0）的函数，叫做
2、二次函数解答：解：A、2xy+x 2=1 当 x0 时，可化为 的形式的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；B、y2-ax+2=0 可化为 y2=ax-2 不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；C、y+x2-2=0 可化为 y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确；D、x2-y2+4=0 可化为 y2=x2+4 的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误故选 C点评：本题考查的是二此函数的一般形式，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a 、b、c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数其中 x、y 是变量，a、b、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项
3、系数，c 是常数项y=ax2+bx+c（a 、b、c 是常数，a0）也叫做二次函数的一般形式例 2：函数 y=(m+3)xm2+m-4，当 m= 时，它的图象是抛物线考点： 二次函数的定义分析： 二次函数的图象是抛物线的，由二次函数的定义列出方程与不等式解答即可新 目 标 教 育咨询电话：0734-8312123 投诉电话：15873442211 - 2 -解答： 解：它的图象是抛物线，该函数是二次函数， ，解得 m=2 或-3 ，m-3，m=2点评： 用到的知识点为：二次函数的图象是抛物线；二次函数中自变量的最高次数是 2，二次项的系数不为 0例 3：若 y=xm-2 是二次函数，则 m=
4、考点： 二次函数的定义分析： 根据二次函数的定义列出关于 m 的方程，求出 m 的值即可解答： 解：函数 y=xm-2 是二次函数，m-2=2，m=4故答案为 4点评： 本题考查了二次函数的定义，比较简单，属于基础题学以致用：1、下列函数中，是二次函数的是 .y=x 24x+1； y=2x 2； y=2x 2+4x； y=3x；y=2x1； y=mx 2+nx+p； y =错误！未定义书签。 ； y=5x。F (4)2、在一定条件下，若物体运动的路程 s（米）与时间 t（秒）的关系式为 s=5t2+2t，则t4 秒时，该物体所经过的路程为 。3、若函数 y=(m2+2m7)x 2+4x+5 是
5、关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围为 。4、若函数 y=(m2)x m 2 +5x+1 是关于 的二次函数，则 m 的值为 。二、二次函数的对称轴、顶点、最值考点连接：如果解析式为顶点式：y=a(xh) 2+k，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为一般式：y=ax 2+bx+c，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为交点式：y=(x-x 1)(x-x2), 则对称轴为： ，最值为： 。新 目 标 教 育咨询电话：0734-8312123 投诉电话：15873442211 - 3 -精典例题：例 1抛物线 y=2x2+4x+m2m 经过坐标原点，则 m 的值为 。考点： 二次函数图象
6、与几何变换分析： 利用二次函数图象的性质解答： 解：经过原点，说明（0，0）适合这个解析式那么 m2+2m-3=0， （m+3） （m-1）=0解得：m 1=-3，m 2=1点评： 本题应用的知识点为：在函数图象上的点一定适合这个函数解析式例 2若抛物线 yax 26x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )A. B. C. D.13101514考点： 二次函数图象上点的坐标特征分析： 由抛物线 y=ax2-6x 经过点（2，0） ，求得 a 的值，再求出函数顶点坐标，求得顶点到坐标原点的距离解答： 解：由于抛物线 y=ax2-6x 经过点（2，0） ，则 4a-12=0，a=
7、3，抛物线 y=3x2-6x，变形，得：y=3（x-1） 2-3，则顶点坐标 M（1，-3） ，抛物线顶点到坐标原点的距离|OM|=故选 B点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求解析式，再求顶点坐标，最后求距离学以致用：1若直线 yaxb 不经过二、四象限，则抛物线 yax 2bxc( )A.开口向上，对称轴是 y 轴 B.开口向下，对称轴是 y 轴C.开口向下，对称轴平行于 y 轴 D.开口向上，对称轴平行于 y 轴2当 n_，m_时，函数 y(mn)x n(mn)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口_.3已知二次函数 y=mx2+(m 1)x+m1 有最小值为 0
8、，则 m _ 。三、函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质知识点：（1）当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0a新 目 标 教 育咨询电话：0734-8312123 投诉电话：15873442211 - 4 -当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.0a 越大，开口越小。（2）顶点是 ，对称轴是直线），（ abc422abx2（3）当 时，在对称轴左边，y 随 x 的增大而减小；在在对称轴右边，y 随 x 的增大0a而增大；当 时，在对称轴左边， y 随 x 的增大而增大；在在对称轴右边，y 随 x 的增大而减小。（4） 轴与抛物线 得交点为(0, ) ycbaxy2c精典例题：例 1：
9、（2002十堰）抛物线 y=-x2+2x+1 的顶点坐标是_，开口方向是_ ，对称轴是_考点： 二次函数的性质分析 ： 根据二次函数的性质解题解答 ： 解：y=-x 2+2x+1=-（ x2-2x）+1=-（x 2-2x+1-1）+1=-（x-1） 2+2，抛物线 y=-x2+2x+1 的顶点坐标是（ 1，2） ，开口方向是向下，对称轴是 x=1点评 ： 此题考查了二次函数的性质，顶点坐标、对称轴及开口方向例 2：（2010兰州）抛物线 y=x2+bx+c 图象向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图象的解析式为 y=x2-2x-3，则 b、c 的值。考点： 二次函数图象与几何变换分
10、析： 易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到 b，c 的值解答： 解：由题意得新抛物线的顶点为（1，-4） ，原抛物线的顶点为（-1，-1） ，设原抛物线的解析式为 y=（x-h） 2+k 代入得：y=（x+1） 2-1=x2+2x，b=2，c=0故选 B点评： 抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可轴 下 方轴 的 交 点 在， 抛 物 线 与 轴 上 方 ，轴 的 交 点 在， 抛 物 线 与 xy0新 目 标 教 育咨询电话：0734-8312
11、123 投诉电话：15873442211 - 5 -学以致用：1试写出一个开口方向向上，对称轴为直线 x2，且与 y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。2通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）y= x22x+1 ； （2）y=3x 2+8x2； （3）y= x2+x412 143把抛物线 y=2x 2+4x+1 沿坐标轴先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。4某商场以每台 2500 元进口一批彩电。如每台售价定为 2700 元，可卖出 400 台，以每 100元为一个价格单位，若将每台提高
12、一个单位价格，则会少卖出 50 台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？四、函数 y=a(xh) 2的图象与性质知识点回顾：填表：抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标23xy1典型例题：例 1：抛物线 y=x2-4x-3 的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标 ，函数 y 有最 。新 目 标 教 育咨询电话：0734-8312123 投诉电话：15873442211 - 6 -考点 ： 二次函数的性质。分析 ： 二次函数的二次项系数 a0，可以确定抛物线开口方向和函数有最小值，然后利用y=ax2+bx+c 的顶点坐标公式就可以得到对称轴，顶点坐标解答 ： 解：二次函数的二次项系数
13、 a0，抛物线开口向上，函数有最小值，y=x 2-4x-3，根据 y=ax2+bx+c 的顶点坐标公式为 ， ，对称轴是 ，代入公式求值就可以得到对称轴是 x=2，顶点坐标是（2，-7） 故抛物线 y=x2-4x-3 的图象开口向上，对称轴是 x=2，顶点坐标（2，-7） ，函数 y 有最小值故填空答案：向上，x=2， （2，-7） ，小点评： 本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标的考查，是中考中经常出现的问题学以致用：1已知函数 y=2x2,y=2(x4) 2，和 y=2(x+1)2。（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线 y
14、=2x2得到抛物线 y=2(x4) 2和 y=2(x+1)2？2试写出抛物线 y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。（1）右移 2 个单位；（2）左移 个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个单位。233二次函数 y=a(xh) 2的图象如图：已知 a= ，OAOC，试求该抛物线的解析式。12新 目 标 教 育咨询电话：0734-8312123 投诉电话：15873442211 - 7 -五、二次函数的增减性知识点：(1). ，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大。0a2bxayx2bxayx(2). ，当 时， 随 的增大而增大；当 时
15、， 随 的增大而减小。典型例题：例 1：已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图：（1）求函数解析式；（2）写出对称轴，回答 x 为何值时，y 随着 x 的增大而减少？考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质分析： （1）根据图示知函数经过三点：（-1，0） 、 （4，0） 、 （0，-4） ，将其代入函数解析式，列出关于 a、b、c 的三元一次方程组，然后解方程组即可；（2）根据图象求得该函数图象的对称轴，然后根据对称轴、函数图象回答问题解答： 解：（1）根据图示知，该函数图象经过点（-1，0） 、 （4，0） 、 （0，-4） ，二次函数的解析式是：y=x 2-3x-4；（
16、2）根据图象知，二次函数 y=x2-3x-4 与 x 轴的交点是（-1，0） 、 （4，0） ，对称轴是 x= ，根据图象知，当 时，y 随着 x 的增大而减小点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想，要求学生具备一定的读图能力，能从图形中寻取关键性信息例 2：（2010呼和浩特）已知：点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） 、C（x 3，y 3）是函数 图象上的三点，且 x10x 2x 3则 y1、y 2、y 3的大小关系是（ ）Ay 1y 2y 3 By 2y 3y 1 Cy 3y 2y 1 D无法确定考点 ： 反比例
17、函数图象上点的坐标特征新 目 标 教 育咨询电话：0734-8312123 投诉电话：15873442211 - 8 -分析： 对 ，由 x10x 2x 3知，A 点位于第二象限，y 1最大，第四象限，y 随 x 增大而增大，y 2y 3，故 y2y 3y 1解答： 解：中 k=-30，此函数的图象在二、四象限，点 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） 、C（x 3，y 3）是函数图象上的三点，且 x10x 2x 3，A 点位于第二象限，y 10，B、C 两点位于第四象限，0x 2x 3，y 2y 3，y 2y 3y 1故选 B点评 ： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要学会比
18、较图象上点的坐标学以致用：1.二次函数 y=3x26x+5 ，当 x1 时，y 随 x 的增大而 ；当 x 2 时,y 随 x 的增大而增大；当 x 2 时，y 随 x 的增大而减少；则当 x1 时,y 的值为 。3.已知二次函数 y=x2(m+1)x+1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 .4.已知二次函数 y= x2+3x+ 的图象上有三点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且 3x1x2x3，12 52则 y1,y2,y3的大小关系为 .六、二次函数的平移知识点：只要两个函数的 a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(
19、xh) 2+k，平移规律：左加右减，对 x；上加下减，直接加减，对 y 。典型例题：例 1：（2012扬州）将抛物线 y=x2+1 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ）Ay=（x+2） 2+2 By=（x+2） 2-2 Cy=（x-2） 2+2 Dy=（x-2） 2-2考点： 二次函数图象与几何变换分析： 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可解答： 解：将抛物线 y=x2+1 先向左平移 2 个单位所得抛物线的函数关系式是：y=（x+2）2+1；将抛物线 y=（x+2） 2+1 向下平移 3 个单位所得抛物线的函数关系式是：y=（x+2
20、） 2+1-3，即新 目 标 教 育咨询电话：0734-8312123 投诉电话：15873442211 - 9 -y=（x+2） 2-2故选 B点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键。例 2：（1）已知抛物线 y=2x2，把它向右平移 p 个单位，或向下平移 q 个单位，都能使得抛物线与直线 y=x-4 恰好有一个交点求 p、q 的值；（2）把抛物线 y=2x2向左平移 p 个单位，向上平移 q 个单位，则得到抛物线经过点（1，3） ，（4，9） ，求 p、q 的值；（3）把抛物线 y=ax2+bx+c 向左平移三个单位，向下平移两个单位后，所得
21、的图象是经过点的抛物线 y=ax2，求原二次函数的解析式考点： 二次函数图象与几何变换分析： （1）分为将抛物线向右平移和向下平移两种情况，设平移后抛物线的解析式，列方程组，消元成一元二次方程，使=0 即可得出答案，（2）首先得出抛物线 y=2x2向左平移 p 个单位，向上平移 q 个单位后的解析式，再通过经过点（1，3） ， （4，9） ，列方程组求出结果，（3）根据物线 y=ax2经过点 得出解析式，然后逆向推理得出原解析式解答： 解：（1）当抛物线 y=2x2向右平移 p 个单位时，得到抛物线解析式为 y=2（x-p） 2，联立 ，消去 y，得 2x2-（1+4p）x+2p 2+4，抛物
22、线与直线 y=x-4 恰好有一个交点，=（1+4p） 2-8（2p 2+4）=0，解得 ，当抛物线 y=2x2向下平移 q 个单位时，得到抛物线解析式为 y=2x2-q，联立 ，消去 y，得 2x2-x+4-q=0，新 目 标 教 育咨询电话：0734-8312123 投诉电话：15873442211 - 10 -抛物线与直线 y=x-4 恰好有一个交点，=（-1） 2-8（4-q）=0，解得故本题答案为：（2）当抛物线 y=2x2向左平移 p 个单位时，得到抛物线解析式为 y=2（x+p） 2，当抛物线 y=2（x+p） 2，向上平移 q 个单位时，得到抛物线解析式为 y=2（x+p） 2+
23、q，抛物线经过点（1，3） ， （4，9） ，解得：p=-2，q=1，（3）抛物线 y=ax2经过点 ，抛物线解析式为： ，抛物线 y=ax2+bx+c 向左平移三个单位，向下平移两个单位后得出抛物线解析式， 向右平移三个单位，向上平移两个单位即可得出原解析式为：。点评： 本题考查了抛物线的平移的性质、抛物线解析式的确定、抛物线与直线交点问题以及解方程组等，综合性较强，难度适中学以致用：1.抛物线 y= x2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，所得到的抛物线的关系式为 32。2.抛物线 y= 2x2， ，可以得到 y=2(x+423。3.将抛物线 y=x2+1 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得到的抛物线的关系式为 。4.如果将抛物线 y=2x21 的图象向右平移 3 个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
