1、八年级数学讲义第 11 章 三角形一、 三角形的概念1 三角形的定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接 2三角形的表示 ABC 中，边：AB，BC，AC 或 c，a，b顶点：A，B ，C 内角：A ，B ，C 二、 三角形的边1. 三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+ca(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca 时,就可构成三角形.1.2 确定三角形第三边的取值范围: 两边之差第三边两边之和.2. 三角形的主要线段2.1 三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对
2、边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. 锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； 直角三角形三条高线交于直角顶点；钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2 三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的 顶点与交点 之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点.2.3 三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。ADB CCBAD2三角形的三条中线交于三角形内部一点.三、 三角形的角1 三角形内角和定理结论 1：ABC 中：A+B+C=180 三角形中至少有 2 个锐角结论 2：在直角三角形中，两个锐角互余 三角
3、形中至多有 1 个钝角注意：在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在ABC 中，C=180（A+B） 在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角 如：ABC 中，已知A：B：C=2：3：4，求A、B、C 的度数2 三角形外角和定理2.1 外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角2.2 性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 2.3 外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等） ，可见一个三角形共有 6 个外角四、 三角形的分类(1) 按
4、角分：锐角三角形 直角三角形 钝角三角形(2) 按边分：不等边三角形 底与腰不等的等腰三角形 等边三角形五 多边形及其内角1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。3、多边形的对角线(1)从 n 边形一个顶点可以引(n3) 条对角线，将多边形分成(n2)个三角形。(2)n 边形共有 条对角线。4、n 边形的内角和等于(n 2)180(n3，n 是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于 360多边形外角和恒等于 360，与边数的多少无关.多边形最多有 3 个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形） ；多边形的外
5、角中最多有 3 个钝角，最少没有钝角.5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360；相邻的多边形有公共边。【考点三】判断三角形的形状8、若ABC 的三边 a、b、c 满足（a-b） （b-c ） （c-a）=0，试判断ABC 的形状。9、已知 a，b，c 是ABC 的三边，且满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断ABC 的形状。310、若ABC 的三边为 a、b 、c （a 与 b 不相等） ，且满足 a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0，试判断ABC 的形状。二、三角形角有关计算1.如图ABC 中 AD 是高,AE、BF 是角平分线，它们相交于点 O,A=
6、 50,C = 70求DAC,AOB 解AD 是ABC 的高,C = 70 DAC =180-90-70=20 BAC =50 ABC =180-50-70=60 AE 和 BF 是角平分线 BAO =25, ABO =30 AOB =180-25-30=125 2.如图, ABC 中, D 是 BC 边上一点，1= 2, 3=4，BAC= 63,求DAC 的度数3. 已知：P 是ABC 内任意一点. 求证：BPCA 4.如图，1=2， 3= 4，A= 100，求 x 的值 0: 0000012,3421863924xxBACD解 设又又45.已知ABC 的B 、C 的平分线交于点 O。求证：
7、 BOC=90+ A (角平分线模型)6.已知：BP 、CP 是ABC 的外角的平分线，交于点 P。 求证：P=90- A (角平分线模型)7.ABC 中，ABC 的平分线 BD 和ABC 的外角平分线 CD 交于 D，求证：A=2D (角平分线模型)58.AOB 中，AOB=90 , OAB 的平分线和ABC 的外角 OBD 平分线交于 P，求P 的度数9.如图：求证：A+B+ C=ADC (飞镖模型)6第 12 章 全等三角形一、全等三角形的概念与性质1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。（1）表示方法：两个三角形全等用符号“”来表示，记作 ABCDEF2、性质：（1）对应边
8、相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等二 、全等三角形的判定1 全等三角形的判定方法：（SAS）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角(ASA) 角角边 AAS 直角边和斜边（HL）三边对应相等的两三角形全等有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL）2全等三角形证题的思路： ）找 任 意 一 边 （ ）找 两 角 的 夹 边 （已 知 两 角 ）找 夹 已 知 边 的 另 一 角
9、 （ ）找 已 知 边 的 对 角 （ ）找 已 知 角 的 另 一 边 （边 为 角 的 邻 边 ）任 意 角 （若 边 为 角 的 对 边 ， 则 找已 知 一 边 一 角 ）找 第 三 边 （ ）找 直 角 （ ）找 夹 角 （已 知 两 边 ASASSHLA3 全等三角形的隐含条件：公共边（或公共角）相等 对顶角相等利用等边（等角）加（或减）等边（等角） ，其和（或差）仍相等 利用平行线的性质得出同位角、内错角相等7全等三角形（SAS）【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” ，几何表示如图，在 和 中，ABCDEF)(SA【典型例题】【例 1
10、】 已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.证明：在ABE 和ACD 中，AB=AC，BAE=CADAD=AEABEACD（SAS）BE=CD.【例 2】 如图，已知：点 D、E 在 BC 上，且BD=CE，AD=AE，1=2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例 3】 如图已知：AE=AF，AB=AC，A=60，B=24，求BOE 的度数.【例 4】如图，点 A、F、C、D 在同一直线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧，ABDE且 ABDE，AFDC。求证：BCEF。【例 5】如图，已知ABC、BDE 均为等边三角形。求证：BDCD=AD。AB C EDFADBEC
11、AB D E C1 2BEAF CO DAB CE8全等三角形（SSS）【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS” ，几何表示【典型例题】【例 1】如图，在 中，M 在 BC 上，DABC在 AM 上，AB=AC , DB=DC 求证：AM 是的角平分线AB证明:在ABD 和ACD 中，AB=ACDB=DCAD=ADABDACD (SSS)BAD=CAD又AB=ACMB=MCAM 是 的角平分线 (三线合一)ABC【例 2】如图：在ABC 中，BA=BC，D 是AC 的中点。求证：BDAC。DCBA例 3. 如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：B=C 。
12、例 4. 如图，在 中, ，D、E 分ABC90别为 AC、AB 上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE AB。F图图22图EDCBA910全等三角形（AAS）【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS” ， 【典型例题】【例 1】已知如图， ，求证：DEABA/, BC=EF【例 2】如图，AB=AC， ，求证：AD=AECB【例 3】已知：如图，AB=AC ，BDAC，CE AB，垂足分别为 D、E，BD、CE 相交于点 F，求证：BE=CD【例 4】已知如图， ，点 P 在 AB 上，可以得出 PC=PD 吗？试证明之43,21 AB D E CA DB E C FACBDEFABCDP1 23 4
