1、函数的单调性一、 函数单调性的的判断方法除了用差分法（又称定义法）判断函数的单调性外，常用的方法还是有以下几种：1.直接法直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记以下几种函数的单调性：(1)正比例函数 ：(0)ykx当 时，函数 在定义域 上是增函数； 当 时，函数 1 0kR 2 0k在定义域 上是减函数 .yxR(2)反比例函数 ：(0)kyx当 时，函数 的单调递减区间是 ，不存在单调递增区 1 0k(,0)间； 当 时，函数 的单调递增区间是 ，不存在单调递增 2 kyx区间.(3)一次函数 ：(0)b当 时，函
2、数 在定义域 上是增函数； 当 时，函数 1 0kykxR 2 0k在定义域 上是减函数 .yxbR（4）二次函数 ：2(0)yaxbc当 时，函数 的图像开口向上，单调递减区间是 ， 1 0a (,2ba单调递增区间是 ； 当 时，函数 的图像开口向下，,)2 2 a2yaxbc单调递增区间是 ，单调递减区间是 .(b,)注意： 在定义域 上是增函数，其图3)yfxR像如右图：2.图像法画出函数图象，根据其图像的上升或下降趋势判断函数的单调性.3.运算性质法（1）函数 ，当 时有相同的单()fxaf与 0调性，当 时有相反的单调性；如函数 与 的单调性相反，0a()fx3()fx函数 与 的
3、单调性相同；()fx3()fx（2）当函数 恒为正（或恒为负）时 与 有相反的单调性，如：函f ()fx1f数 是递 增函数，则 在区间 是递减函1()0fx(,)x()xf(,0)数；（3）若 ，则 与 具有相同的单调性，如：函数()fx()fx()f，在定义域 上， ，且 是 上的递减函数，2()4fxR0x()fx3,4是 上的递增函数，所以函数 是 上的递减函数，,2()f(是 上的递增函数；3)4（4）若 ， 的单调性相同，则 的单调性与 ， 的单(fx)g()fxg()fxg调性相同.如 ，令 ，即21Fx1,fx，因为函数 在 上单调递减， 的单调递减区间是()()xfgx()f
4、R()g，所以函数 的单调递减区间是,0）21xx；(,)）(5) 若 ， 的单调性相反，则 的单调性与 的相同.因为()fxg()fxg()fx与 的单调性相同，所以 的单调性与 的相同.()gx()f ()f二、抽象函数单调性的判定没有具体函数解析式的函数，我们称为抽象函数，判断抽象函数单调性是一类重要的题型，其解法采用差分法.实例 1 已知定义在 上的函数 对任意 ，恒有(0,)()fx,(0,)y，且当 时 ，判断 在 上的单调性.()fxyfy1x0fx解 设 ，则,(,h()()()fhfxhxh.()()()()xxfxhffhf， ，所以函数01,0,0()(0fxhf在 上的
5、单调递减.()fx,)二、 复合函数单调性的判定方法求复合函数 的单调性的步骤：()yfgx（1） 求出函数的定义域；（2） 明确构成复合函数的简单函数（所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数）: ;(),()yfux（3） 确定简单函数的单调性；（4） 若这两个函数同增或同减（单调性相同） ，则 为增函数；若()yfgx这两个函数一增一减（单调性相异）则 为减函数简记为“同增异减”.()yfgx如下表所示：函数 ()ugx()yfu复合函数 ()f增 增 增减 增 减增 减 减单调性减 减 增实例 2 求函数 在定义域上的单调区间2()34fxx解：由解析式得 ，即函数的定义域为 .令0|41
6、x或，则 . 是增函数，而 在 上是减函数，234txytt23t(,在 上是增函数， 函数 的递增区间为 ，递减区间为1,)2()34fxx,).(三、 单调性的应用1. 用函数的单调性比较大小利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，即已知函数在定义域的某个区间上为增函数，若对区间内的任意两个值 且()yfx 12,x，则 .减函数也有类似的性质.1212()f示例 3 已知函数 在 上是减函数，试比较 与 的大yx0,)3()4f2)fa小.解： ， 与 都在区间 内.2213()4a21a0,)又 在区间 上是减函数，()yfx0,3().4ff注意：解答这类型的题目首先
7、要判断函数的自变量是否在所给区间内.示例 4 已知 是定义在 上的增函数，且 ，求 的取值()f1,(1)(3)fxfx范围.解 是定义在 上的增函数，且 ， 可得不等式组()fx,()()ff即 解得 ，所以所求 .1,3,x02,31.2x102x10,)2x2. 用函数的单调性求最值在利用单调性求最值或值域时要注意以下结论：（1） 若 在定义域 是增函数，则当 时， 取得最小值 当()fx,abxa()fx()fa， 取得最大值 如图 2.b()f（2） 若 在定义域 是减函数，则当 时， 取得最大值 ，()fx,x()fx()f当 ， 取得最小值 如图 3.f()fb（3）已知函数 ，
8、如果 在 上是单调递增（减）(),yxac()fx,ac函数，在 上是单调递减（增）函数，则 在 时取得最大（小）值，在,cbf或 时取得最小（大）值，如下图 4,5.xa示例 5 求函数 的最大值.3284yxx解：令 ， ，则 .由题意得函数的定义域()f()g()yfxg为 . 在 上递增， 在 上递减，但(,2x,84(,2在 上递增， 在 上为递增函数，)84gx(,232yxx当 时， 有最大值 4.y注意：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性.3.利用单调性求参数的取值举例应用：课本 40 页例 34.解含“ ”的不等式f根据函数 在某区间上的单调性及函数值的大小，可以求自
9、变量的取值范()yx围即已知函数 在定义域内的某个区间上为增函数，若 则f 12(),fxf；若已知函数 在定义域内的某个区间上为减函数，12x()yx若 则 ，就是增（减）函数定义的逆应用.2(),ffx12示例 6 已知函数 是 上的减函数，且 ，求实数 的()yfxR(23)(56)fxfx取值范围.解： 函数 是 上的减函数，且 ，()f ()()ff， .2356x3,x函数的定义域和值域一、复合函数的定义域复合函数 的定义域，是函数 的定义域中，使中间变量 属于()yfgx()gx()ugx函数 的定义域全体.()fu示例 1 若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域.()fx1,4
10、(4)fx解： 函数 的定义域为 ， 使得 有意义的条件是,即 ，则 的定义域为 .4x30x()fx3,0注意：这类型的题目简记为“对应法则相同，括号内的取值范围相同”.示例 2 已知 的定义域为 ，求函数 的定义域.()f0,()fx解题分析：函数 和 中的 并不是同一个量，若设 ，则3x()fx3ux变成 ，那么 的取值范围才是函数 的定义域，即“对应法则相(3)fx()fu()f同，括号内的取值范围相同”.解： 的定义域为 ， ，则 ，所以()f0,33x36x函数 的定义域为 .)x,6二、求函数值域的常用方法1.公式法：适用于初中所学的一次函数、二次函数、反比例函数及以后学习的基本
11、初等函数，形如 （ 且分式不可约）的值域为 .axbycd0|ayc示例 3 求函数 的值域31解： 函数 ， ，xyy的值域为 .1|32.图像法：适用于能画出图像的函数.如的图像如右图所示，所25(,2)yx以值域为 .6,3.不等式性质法（包括配方法、分离常数法、有界性法）适用于解析式只含“一个” 或通过x变形能化成只出现“一个” 的函数，如x由 ，则 ，可得1|,yx|01|；又如 ，因为 ，(2217()4yxx217()4x所以 ，所以 .21407()x4(0,7y示例 4 求函数 的值域3(21)1xf x且解： ，由 ，得)5()fx21x且.130且令 ，则 .结合反比例函
12、数 的图像可知，当tx13t且 5yt，即 时， .且 ,)(,53t或. .55131xx或 12()271fxfx或的值域为 .2()()f且 -,（ ，4.换元法：适用于无理式中含自变量的函.示例 5 求函数 的值域.1yx解：函数的定义域是 .令 ，则 ， ，|xt0,)2+1xt， ，结合二次函数的图像2221()()ytttt， 原函数的值域为 .（ -， 注意：解这类型的题目要注意函数的定义域,在利用换元法求函数值域时，一定要注意新变量 的取值范围，若忽视了这点，就容易造成错误.t5.判别式法：适用于形如 的函数.2(, )axbcyddef不 全 为 零 且 分 式 不 可 约示例 6 求函数 的值域.2473xy解：由 得 ，当 时，方程无解；2x2()()370yxyx2y当 时，要使关于 的方程有解，必须 ，y 24()370解得 92.原函数的值域为 .9-， 2)6.方程思想（包括判别式法、反解法）适用于可解出 的解析式的函数.x示例 7 求函数 的值域21xy解：由 得 ，当 时，方程无解：当 时，要2x2()10y1y1y使关于 的方程有解，必须 ，解得 .4()原函数的值域为 .-， 示例 7：求函数 的值域.31xy解：由 得 ， 1()(3)103yyxx只要 ，就有 .30,y即 1x原函数的值域为 .y|3
