1、- 1 -函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用例 1、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，则 f xfy21x(1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_.【考点分析】本题考查函数的周期性解析： 得 ，假设0ff0f0fn因为点（ ，0）和点（ ）关于 对称，所以n1,n12x10fnffn因此，对一切正整数 都有： 0f从而： 。本题答案填写：012345ff例 2、 （2006 福建卷）已知 是周期为 2 的奇函数，当 时，()fx01x()lg.fx设 则63(),(),52afbf5,c（A） （B ） （C） （D）bac
2、cbacab解：已知 是周期为 2 的奇函数，当 时，()fx01x()lg.fx设 ， ， 0，b+c0 ，c+a0 ，证明：f（a）+f（b）+f（c ）0。 （12 分）解：（1）f（x）是定义域 R 上的奇函数且为增函数。（2）由 a+b0 得 a-b，由增函数 f(a)f(-b)，且奇函数 f（-b）=-f（b），得 f（a）+f（b）0。同理可得 f（b）+f（c）0，f（c）+f（a）0。相加得：f（a）+f（b）+f（c）0。例 9、 设函数 f（x）的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的 ，有21x，试判断 f（x）的奇偶性，并证明你的结论。 （12 分）)(1)(122
3、21ffxf解： )()()( 1212221 xfxffxf ，)()()( 2112221 fffff 设 ，则 ，f（-x）=-f（x）；xx又f（x）的定义域关于原点对称， f（x）为奇函数。例 10、 设 f（x）的定义域为（0，+） ，且在（0，+）是递增的，)()(yyf- 4 -（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f （x）+f（y） ；（2）设 f（2）=1，解不等式 。 （12 分）2)31()f证明：（1） ，令 x=y=1，)()(yfxyf则有：f（1）=f （1）-f（1）=0，。)()(1)()()( yfxyfxfyfxyfxf （2）解： )3()()31(
4、) ffxf，(2xf 2=21=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4）， 等价于： ，)31()f )4(3(2fxf且 x0，x-30由 f（x）定义域为（0， +）可得。 ，40，又 f（x）在（0，+）上为增函数，)(2x 。又 x3，4143原不等式解集为：x|30，又 ，21x)(2x则 恒成立,21x 42102212 xxx- 6 -，由、 知 。4解题点 拨 本题综合性较强，考 查的是复合函数解析式求法、恒等式成立的条件、复合函数单调性等知 识点。对于第（2）问，通常可用函数单调性定义来求解，也可以从复合函数角度结合二次函数性质来求解。作业：1、 为 上的减函数， ，则 （
5、 ）)(xf),Ra（A） （B） （C） （D ）2(af)(2ff)(1(2aff)(2af2、如果奇函数 f(x)在区间3 ，7上是增函数，且最小值为 5，那么在区间7，3 上是（ ）A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为53、定义在 上的函数 是减函数，且是奇函数，若1，)(xfy，求实数 的范围。054()(2afaf a4、已知二次函数 满足 ，且方程 有两个相2xb(1)()fxf()fx等实根，若函数 在定义域为 上对应的值域为 ，求 的值。()f,mn2,mn,5、已知二次函数 的二次项系数为 ，且不等式 的解集为 。)(xf axf)()3,1(（）若方程 有两个相等的根，求 的解析式；06ax（）若 的最大值为正数，求 的取值范围。)(xf设 的最大值 ，最小值 。)1(,2x)(aM)(am试求 的表达式，),(amM并求出函数 的最值。
