1、- 1 -函数的图像及变换一、函数图像的变换对 称 变 换 (|)翻 折翻 折 变 换 翻 折左 右 平 移平 移 变 换 上 下 平 移横 坐 标 不 变 ， 纵 坐 标 伸 缩伸 缩 变 换 纵 坐 标 不 变 ， 横 坐 标 伸 缩yfx（1）对称变换 （几种常用对应点的对称变换）关于 轴对称： 关于 轴对称：x(,),)yxy(,),)xy关于原点对称： 关于 对称：(y(x关于 对称： 关于直线 对称： （轴对称）yx,),)xxa,)2,)yay关于 对称： 关于 对称：b(ybyb(xbx关于点 对称： （点对称）(,)Pa,)(2,)xax例 1：已知 ，且 与 关于点 对称，
2、求 的解析式.（相关点法）2fg(f(1,2)()gx例 2：已知函数 的图像关于直线 对称，且当 时，有 ，则当()yfx1x(0,)x1()fx时， 的解析式是（ ）.(,)xA. B. C. D. 112x2x2x例 3：下列函数中，同时满足两个条件“ ， ；当R()()01ff6x时， ”的一个函数是（ ）()0fxA. B. ()sin(2)6f()cos(2)3fx- 2 -C. D. ()sin(2)6fx()cos(2)6fx（2）翻折变换关于形如 的图像画法：()yfx当 时， ；当 时，0x0()yfx为偶函数，关于 轴对称，即把 时 的图像画出，然后 时的图像与()yf
3、0()yf 0x的图像关于 轴对称即可得到所求图像.xy关于形如 的图像画法()fx当 时， ；当 时，()0fxy()0fx()yfx先画出 的全部图像，然后把 的图像 轴下方全部关于 轴翻折上去，原 轴上方()fx xx的图像保持不变， 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例 3：画出下列函数的图像.（1） （2）12logyx28yx例 4:设函数 .2()45fx（1）在区间 上，画出函数 的图像；,6()fx（2）设集合 ， .试判断集合 之间的关系，并给出()Axf,20,46,)BAB、证明；（3）当 时，求证：在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方.k1,53ykx()fx
4、- 3 -（3）平移左右平移把函数 的全部图像沿 轴方向向左（ ）或向右（ ）平移 个单位即可得到函()yfxx0a0a数的图像()fa上下平移把函数 的全部图像沿 轴方向向上（ ）或向下（ ）平移 个单位即可得到函()yfxy0a0a数的图像()fa例 4：将函数 按向量 平移后得到新的图象解析式为 lg(32)1yx(2,3)a例 5:把一个函数的图象按向量 平移后得到的图象的解析式为 ，(,)8 sin(2)4yx则原来函数的解析式 . （4）伸缩变换.将函数 的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长 或缩短 为原来的()yfx (1)a(01)a倍得到函数 的图像.a0)a. 将函数
5、 的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长 或缩短 为原来的()yfx ()()倍得到函数 的图像.1a)例 6：已知函数 ，把函数 的图像关于 轴对称，然后向右平移 1 个单21()lg(xf ()yfxy位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 2 倍得到 的图像，求 的解析式.g()gx例 7：已知函数 ，将 的图像向左平移 1 个单位，再将图像上所有点纵坐标伸2()log(1)fx()yfx长到原来的 2 倍，得到函数 的图像.- 4 -（1）求 的解析式和定义域；()ygx（2）求函数 的最大值.1)(Ffgx【练习】1.为了得到函数 的图像，只需要把函数 的图像上所有的点（ ）.
6、32xy2xyA.向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度B.向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度C.向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度D.向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度2.下面四个图形中，与函数 的图像关于 对称的是（ ）.2log()yxyx3.若函数 满足 ，且 时， ，则函数()yfxR(2)(fxf1,x()fx的图像与函数 的图像的交点的个数为（ ）.f 4logyA.3 B.4 C.6 D.84.将函数 的图像向右平移 2 个单位长度后又向下平移 2 个单位，所得到的函数图像与原图byax像如果关于直线 对称，那
7、么（ ）.A. B. C. D. 1,0a1,bR1,0ab0,abR5.已知 ，且 与 关于点 对称，求 的解析式.2()fx()gxf(,)()gx6.画出下列函数的图像.（1） （2）lnyx26yx- 5 -7. 函数 和 的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点 ，()2xf3()g 1(,)Axy，且 .2,Bxy1（1）请指出示意图中曲线 分别对应于哪一个函数；12,C（2）若 ，且 ，指出 的值，并说明理12,xaxb,12,3456,78910,2ab,ab由；（3）结合函数图像的示意图，判断 的大小关系.(6),(0),()fgfg8.已知函数 和 的图像关于原点对称，
8、且 .()fxg2()fx（1）求函数 的解析式；（2）解不等式 ；()1xfx（3）若 在 上是增函数，求实数 的取值范围.hg,6. 已知函数 ，把函数 的图像向左平移 1 个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为()yfx()yfx原来的 3 倍再向下平移 3 个单位得到 的图像，g求 的解析式.()gx- 6 -补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格. ； ； ； ； ； ； ；32xy2xy21xy1xy31xy23xy34xy函数代号 - 7 - 21xy； .35H I图象代号- 8 -常规函数图像有： 指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小 幂函数：逆时针旋转，指数越来越大 。记住口诀指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 对数函数：逆时针旋转,底数越来越小 幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其它象限图象看函数奇偶性确定。- 9 -对称性结论1.函数 图象关于 对称)(xfya)()(xaff )2(xaf；2(af2.若函数 定义域为 R，且满足条件 ，则函数 的图象关于直线y)(xf )()(xbff )(xfy对称.2bx3.函数 图象关于 成中心称)(xfy),(baxaff2)()(b24.若函数 定义域为 R，且满足条件 （ 为常数） ，则函数)(xfy cxff)()(,的图象关于点 对称.f )2,cba
